上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一上学期开学初态检测数学试卷

参考答案及评分标准 参考答案： 填空题（1~12题） 1． {(x,y)|x= -2, y=5} （如果直接写x=，y=不是解集的形式，是解的形式，本次均扣1分） 2． (-∞，-1] （注意A集合是关于x的，高考会挖这种坑，一定要看仔细了） 3． (2, （提示：△≥0，()()＞0） 4． 1 （提示：把A中元素往B里带，发现都不成立，∅只有1个子集，这是思维题） 5． 8cm2 （本次单位不写不扣分） 6． （写并集也给分） 7．[3,﹢∞) 8． 2028 （提示：） 9． 10． 11． （提示：对方程降次，2024市西月考，作业帮可扫） 12． (n-2)·2n-1+1 （提示：设A中最大元素为k，进行子集选择配对） 选择题（13~16题） 13．C （所有学校第一个月必考题，容易傻傻选充要，反例：；，＞0，均恒成立不一定成比例） 14．C 15．B 16．D 解答题（17~21题） 17． （1）a∈{1,2,3} 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此M等价于{1}∪{A}（7分） （2）证明正确即可（推荐反证法）（7分） 18． 若n=0，m=12，则a∈（-∞，]（3分） 若n=0，m=-12，则a∈[，﹢∞）（3分） 若n=1,m=4，则a∈（-∞，] （此时△=0）（3分） 若n=1，m=6，则a∈（-∞，]（此时△=0）（3分） 若n=，m=，则a∈（-∞，] （此时△=＞0）（2分） 19．（1）s 当且仅当v=6（7分） （2）72km/h（7分） 严格评分：两句答句1句1分 20．（1）由得到， （1分） 当时，由得到，当时，由得到， 当时，由得到， 综上所述，当时，原不等式的解集为，（2分） 当时，原不等式的解集为，（1分） 注意，区间写法左≠右，凡是合并a=1到一项还采用区间写法均扣1分 当时，原不等式的解集为.（2分） （2） 由得到， 由得到或， （1分） 当时，得到恒成立，所以满足题意， （2分） 当时，得到，解得，不合题意， （1分） 当时，由题有，解得或， （2分） 综上，实数的取值范围为或. （3） 由，得到， 由题知的两根为和， 则且，得到， （2分） 又由，且，得到，即， 解得或， （2分） 当时，，所以， （1分） 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时， （1分） 再用基本不等式亦可，不一定要用耐克函数单调性 综上所述，正实数的取值范围为或. 21． （1）当k=1时，A={2,3,4,6}；当k=3时，A={-1,1,2,3}（6分） （2）28 当k=1时，B={2,3,4,6}；当k=3时，B={-1,0,3,5}或{-1,1,3,6}或{0,1,3,7} 分别求A∩B的真子集数为13+3+7+3=28 （6分） （3） 由题意可得：A={1,3,x,9}，B={1,9,81,} 分类讨论x=0或2或4或5可得：{2,5,6,8}或{1,3,5}或{0,4,5,6}或{0,2,4,5}（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年复旦大学附属中学新高一开学初态检测试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程，特别地，本卷所有问题仅在实数范围内考虑 1. 试卷共5页，请自行打印完成在原卷上，用扫描全能王生成PDF私信提交， 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．方程组的解集为__________． 2．已知集合，，则__________． 3．已知方程的两根都大于1，则a的取值范围为__________． 4． 已知集合，集合，则集合A∩B的子集数为_______． 5．若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为__________． 6．已知命题p：x＞m＋3或x＜m，命题q：－4＜x＜1，且命题p是命题q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是__________． 7．已知ab＞0，a+b=1，则的取值范围为__________． 8．设，是方程的两个实数根，则________． 9． 已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 10．已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为 ． 11．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则______． 12．设有限集合M={1,2,3,4,…n}，其中n为大于1的正整数，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 种（用含n的代数式表示）． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13． ”是“不等式与同解”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 14．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（     ）    A． B． C． D． 15．已知x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．2 D．4 16．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A． B． A C．若，则 D．若，则 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，每小问均为7分） 在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①：设，集合，若M是{1,2,3}的充分条件，求：a的取值集合 问题②：设bZ，cZ，x+3，18-x，求证：c-a和c-b至少有一个数是奇数 （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于{1,a}∈{1,2,3}，解得a的取值集合为{2，3}，张老师判断小明解题错误，请解出正确的a的取值集合并写出M集合的等价变形； （2）对于问题②，小红认为既然Z，只需根据c是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明． 18．（本题共14分） 已知集合，集合，若A∩B=A，设m的取值集合为D，若C∩D，求: m的值及其对应a的取值范围． 19．（本题共14分，每小问均为7分） 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v（单位：m/s），且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9）． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1=0.8s t2=0.2s t3 距离 d0=20m d1 d2 d3=m （1） 请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当k=0.9时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t； （2） 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，求：车辆设计的最高速度应小于多少km/h． 20．（本题共18分，每小问均为6分） 解决下列含字母参数的不等式问题： （1）解：关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求：实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求：正实数的取值范围． 21．（本题共18分，每小问均为6分） 设集合，，，新定义：集合A中所有含n个元素的子集中n个元素之和的不同值组成的集合为“n元和集”，集合A中所有含n个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“n元差集”，特别地，当n=1时，认为“剩余所有元素的和”的值为0． （1）若A的“k元和集”为C，求：集合A； （2）在（1）的条件下，若B的“k元差集”为C，求：所有满足条件的A∩B的真子集个数之和； （3）若集合A,B中的元素均为自然数，设，；若A∩B为2元集且元素之和为10且A的“2元和集”中最大元素不超过14，求：所有满足条件的A的“3元差集”． 第 1 页 共 2 页 复旦大学附属中学 2025学年 高一上学期初态检测 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $