已知空间的角求参数的运用 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第六讲：已知空间的角求参数的运用（提升） 题型一：已知平行垂直关系求参数 例1.如图，在多面体 1 RCDEF中，平面ADEFL年面MBCD.四 四边形ADEF 为正方形， 四边形ABC 为梯形，且D1/BC,△1BD是边长为1的等边三角形，M为线段BD中 BC=3 点， E C (I)求证：AF⊥BD; ②求直线MF与平面CDE 成角的正弦值； BN (③)线段BD上是否存在点N,使得直线CE//平面AFN？若存在，求BD的值；若不存 在，请说明理由 第1页共14页 题型二：已知异面直线夹角求参数 制2.在如因所示的儿何体中，四边形ABCD是正方形，四边形1DP是播形，PD QA,∠PDA= 2,平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2 (1)求证： ∥平面PDC. QB (2)求二面角C-PB-D的大小； 75 (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为15，求线段DH 长 D ---- 第2页共14页 题型三：已知线面夹角求其他量 例3.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四 ∠BCD=T 边形，且 4.PD⊥BC (1)求证：PC=PD; π (2)若底面ABCD是菱形，PA与平面ABCD所成角为6，求平面PAD与平面PBC 所成锐二面角的余弦值· w 第3页共14页 例4.如图，△MBC为正三角形，且BC=CD=2,CD L BC,将△MBC沿BC翻折. (1)若，点A的射影在BD上，求AD的长； V165 (2)若，点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为15，求 AD的长· 第4页共14页 变式训练 1.如图，四边形 ABCD为矩形，平面BEFL平面1BCD,BFIIAB,∠BMF=90 4D=2,B=1F1,点P在线段 DE 上. E )）求证：FL平面 ABCD 6 (2)若二面角D-AP-C的余弦值为3，求PF的长度. 第5页共14页 2.如图所示，三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,△MBC是边长为4的正三 角形，△BCD是顶角∠BCD=120°的等腰三角形，点P为BD的上的一动点. (1)当BD=3BP时，求证：AP⊥BC; (2)当直线AP与平面BCD所成角为60°时，求二面角P-AC-B的余弦值， 第6页共14页 题型四：已知二面角求参数 例5如图，在四棱维P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，为AD的中点. (1)若PA=PD,求证：AD⊥PB; (2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,,点M在线段PC上，试确定，点M PM 的位置，使二面角M-B0-C大小为60°，并求出PC的值. D : : 9. A B 第7页共14页 制6.巴知正方形约遮长为4E,F分到为1D,BC的中点，以BF为战背正方形48CD新 成如图所示的60的二面角，点M在线段4B上 (①)若M为1B的中点，且直线MF,由4D,E三点所确定平面的交点为0，试确定 点O的位置，并证明直线OD/平面EMC. 平面 第8页共14页 (2)是香存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60；若存在，求此时二面 角M-EC-F 的余弦值，若不存在，说明理由， 变式训练 1知图，已知长方形ABCD中，AB=2V2,AD=V2,M为DC的中点.将 △MDM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM. 第9页共14页 D C B (1)求证：AD⊥BM； (2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值 5 为5 2.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD, 第10页共14页第六讲:已知空间的角求参数的运用(提升) 题型一:已知平行垂直关系求参数 例1.如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF为正方形, 四边形ABCD为梯形,且AD IIBC, ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中,点, BC=3. (I)求证:AF⊥BD; (②)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值; BN (③)线段BD上是否存在点N,使得直线CE//平面AFN?若存在,求 的值;若不存在, BD 请说明理由 解析:(I)证明:因为ADEF为正方形,所以AF⊥AD. 又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEFO平面ABCD=AD, 所以AF⊥平面ABCD.所以AF⊥BD. (②)取AD中点O,EF中,点K,连接OB,OK.于是在 ABD中,OB⊥OD,在正方ADEF 中OK⊥OD,又平面ADEF⊥平面ABCD,故OB⊥平面AFEF,进而OB⊥OK, 即OB,OD,OK两两垂直. 分别以OB,OD,OK为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系(如图). 第1页共22页 B .90oc509- awF9别小 DE=(00,1 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z), CD.n=0 则 即 2 2y=0 令x=-5,则y=V5,则n=(-5,3,0), DE.n=0 z=0 设直线MF与平西CDE所成角为0,sin0cos<M派,十MF:刀- |MF‖n14 (③)要使直线CE/平面AFN,只需AN/CD, √332,z=0 22 1,ym=2 1 又而-90,求西w2话 √3 21 2 2 5 解得2=二∈[0,1] 3 2 2 所以线段BD上存在点N,使得直线CE//平面AFN,且 BN 2 BD 3 题型二:已知异面直线夹角求参数 第2页共22页 例2.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,PD∥ Q4,∠PDA=平面ADP0L平面ABCD,且AD=PD=20A=2 (1)求证:QB∥平面PDC; (2)求二面角C-PB-9的大小; (3)已知点H在校PD上,且并面立线AH与P8所成角的奈孩值为7 ,求线段DH长. 15 解析:(1)平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD, PDc平面ADPQ,PD⊥AD,∴.直线PD⊥平面ABCD 由题意,以,点D为原,点,分别以DA,DC,DP的方向为X轴,Y轴,z轴的正向建立如图空 间直角坐标系, 则可得:D(0,0,0,B(2,2,0),C0,2,0,A2,0,0),92,0,1,P(0,0,2). 依题意,易证:AD=-2,0,0是平面PDC的一个法向量, 又QB=(0,2,-1,.QB.AD=0,又直线QB4平面PDC,.QB/平面PDC. (2)PB=2,2,-2),PC=0,2,-2 设n1=x1,y1,Z1为平面PBC的法向量, n1 PB=0∫2x1+2y-2z1=0 则 即 m P =0’2y-2z=0 .不妨设21=1,可得n1=(0,1,1 设m=(x2,2,2)为平面PB0的法向量,又PB=(2,2,-2),P0=(2,0,-1, n, PB=0∫2x2-2=0 元P0=0即{25,+2,-2,=0不坊发,=2,可程元=l2列, 则 第3页共22页 .∴.c0s<n1,n2>= 2n25 网 百2,又二面商C-PB-0为纯二面角, 二面角C-PB-Q的大小为 6 (3)设H(0,0,h)(0≤h≤2),则AH=(-2,0,h),又PB=2,2,-2), 又co PB,An=75,即,4-2孙75 =15’25V4+F15, .6h2-25h+24=0,解得h= 或h=8(含去》. 2 3 3 故所求线段DH的长 2 pf* 0 X 题型三:已知线面夹角求其他量 第4页共22页 例3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四 达形,且∠ACD-晋,PD18C. (1)求证:PC=PD; (2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成角为元,求平面PAD与平面PBC所 6 成锐二面角的余弦值 解析:(1)证明:过P作PE⊥BC,垂足为E,连接DE, ,平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC, PE⊥平面ABCD,:PE⊥DE, 又PD⊥BC,PE⊥BC,PD∩PE=P,.BC⊥平面PDE,则DE⊥BC, 在RtADEC中,由∠BCD-子,得DE=EC, 在Rt PED与Rt PEC中, :PE=PE,DE=EC,∴. PED≈ PEC,∴PD=PC; (2)解:法一、 :BC/IAD,BC丈平面ADP,ADC平面ADP,∴.BC//平面ADP, 设平面PBC 平面PAD=直线I,则I/BC, BC⊥平面PDE,I⊥PE,I⊥PD, ∠DPE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角, :PE⊥平面ABCD, 故LPAE是直线PA与平面ABCD所成角,即∠PAE=T 6 设PE=a,则AE=V3a,PA=2a, 设DE=m,则EC=m,DC=V2m,.(3a)2=m2+(N2m)2,即m=a, 故∠DPE=年,划eos∠DrE=5 2 第5页共22页 即平面P1D与平西PBC所成锐二西角的余孩值为2 法二、BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD, 故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角,即∠PAE= 6 且DE⊥BC,DE⊥PE, 设PE=a,则AE=√3a,PA=2a, 在 DEC中,设DE=m,则EC=m,DC=V2m, 在 EDA中,.(3a)2=m2+(2m)2,则m=a, 以E为坐标原点,分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 则D(a,0,0),A(a,√2a,0),P(0,0,a),则平面PBC的法向量d=(1,0,0), 设平面PAD的法向量b=(x,y,z), Ap=(-m,-V2m,m),AD=(0,-V2m,0), [a.AP=0.「-√2my=0 、即 故取z=1,得b=(1,0,1), aAD=0’-mx+√2my+mz=0 设平面PBD与平面PAC的夫角为0,则cos0=-b-1=V2 |ahb122, √2 故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 I:: 例4.如图, ABC为正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,将 ABC沿BC翻折, (1)若,点A的射影在BD上,求AD的长; 第6页共22页 (2)若点A的射彩在ABCD内,且直线AB与平西ACD所成角的正孩值为V6的 15 ,求 AD的长. 解析:(1)过A作AE⊥BD交BD于E,则AE⊥平面BCD 取BC中,点O,连接AO,OE, :AE⊥平面BCD,BCC平面BCD,AE⊥BC, ABC是正三角形,∴.BC⊥AO, 又AE∩A0=A,AE,AOc平面AOE,BC⊥平面AOE,.BC⊥OE. 又BC⊥CD,O为BC的中点,.E为BD的中点 6c=CD=2,0E=CD=1,A0=5,8D=25, :DE=√2,AE=VA02-0E2=V2..AD=VAE2+DE2=2; (2)以O为原,点,以BC为x轴,以BE为y轴, 以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示: 设二面角D-BC-A为日,则A(0,V3cos日,V3sin0),B(-1,0,0),C1,0, 0),D1,2,0) .BA=1,V3cos0,√3sin0),CD=(0,2,0),CA=(-1,V3cos0, √3sin8), 设平面ACD的法向量为i=(x,y,z), ii.CD=2y=0 则 ,令z=1,得元=(W3sin0,0,1). nC4=-x+3 cos0.y+3sin0.z=0 cos<,B4> 2V3im0+i5,解得sin0=33 2v3sin0 165 6 第7页共22页 A0,,西,又D0,2,0 2’2 D-V0-+2+(-0r=6 E B 变式训练 1.如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF//AB,∠BAF=90 , AD=2,AB=AF=1,点P在线段DF上. E D (1)求证:AF⊥平面ABCD; 第8页共22页 (2)若二面角D-AP-C的余孩值为Y6 求PF的长度, 3 解析:(1)证明:.∠BAF=90 ,.AB⊥AF, 又平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AFC平面ABEF, .AF⊥平面ABCD (2)以A为原点,以AB,AD,AF为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A0,0,0),B(1,0,0),C1,2,0),D0,2,0,F(0,0,1, .FD=(0,2,-1,AC=(1,2,0),AB=(1,0,0 由题知,AB⊥平面ADF, .AB=1,0,0)为平面ADF的一个法向量, 设Fp=FD(0≤2<1,则P(0,22,1-元),.AP=(0,2元,1-元), m AP=0 设平面APC的一个法向量为m=x,y,z),则 m.AC=0' y+1-九)2=0,令y=1,可行m= x+2y=0 2,122)) -1 cos m,4B m AB 2 6 1 m AB 3 ,得1=。或1=-1(舍去), 3 3 2.如图所示,三棱维A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,, ABC是边长为4的正三 角形, BCD是顶角∠BCD=I20 的等腰三角形,,点P为BD的上的一动,点 (1)当BD=3BP时,求证:AP⊥BC; (2)当直线AP与平面BCD所成角为60 时,求二面角P-AC-B的余弦值 第9页共22页 解析:(1)证明,取BC中,点为M,连接MA,MP, 由 ABC为正三角形知BC⊥AM, 在ABCD中,BD=4W5,可得BP=号BD=4N5 3 3’ 4 在 BMP中,由余弦定理可得MP2=BM2+BP2-2BM BPc0s30 = 3 从5MP产+BM:=4+号=BP,BCLMP. .BC⊥平面AMP, 于是BC⊥AP,即AP⊥BC; (2)解:由(1)知AM⊥平面BCD,则AP与平面BCD的夹角为∠APM=60 , 在直角 APM中,可得PM=2,则,点P为线段BD的中点, 以,点M为坐标原点,MB,MQ,MA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐 标系(由(1)知,点Q为靠近B的三等分,点), 则点40.a282a0,c-2a00,2g50. X两4C=(2.0,-2V3),AB=2.0,-23),B0=(-2,,,0) 于是AP=AB+BP=AB+BD=AB+3B0=(-山,5,-25, 设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z), m4C=0x+3z=0 则 mP=0xVy+2V5:=0不坊取=1,号m=(5,L, 又平面ABC的一个法向量为MQ=(0, 2W 3,0, 第10页共22页