曲线的公切线问题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高二数学专题练习曲线的公切线问题 题型一：求曲线的公切线 例1.[安徽芜湖2024高二期末]已知函数f(x)=x²+x与函数g(x)=lnx+2x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程； (2)求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点处的公切线方程. 思考题1.[四川绵阳中学2024高二月考]已知函数f(x)=ex-2. g(x)=ex+1-1. (1)O是坐标原点，曲线f(x)在x=2处的切线与x,y轴分别交于A,B两点，求△OAB的面积； (2)若直线y=k x +b是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，求k,b的值. 规律方法：设公切线l与曲线y=f(x)的切点为P₁(x₁,f(x₁)),与曲线y=g(x)的切点为 P₂(x₂,g(x₂)),则必定满足两切线的斜率相同，且两切点都在直线1上，从而得到关于x₁和x₂的方程组，消去x₁或x₂得关于x₂或x₁的方程，解方程进而求公切线. 题型二：判断或证明公切线条数 例2.[江苏连云港2024调研]已知函数f(x)=lnx, x∈(0,+ꝏ), g(x)=x²-x+1,x∈R (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,+ꝏ)上的极值； (2)(选做)判断曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有几条公切线，并予以证明. 思路导引：（1）先写出函数h(x)的解析式，在求其导数h'(x)，利用导数和单调性、极值的关系，即可求解； （2）设直线l分别切f(x)，g(x)的图像于点(x1, lnx1)，(x2, x22-x2+1)，并分别求切线方程，比较两个方程后可得关于x₁，x₂的方程组，消去x₂后可得关于x₁的方程，再构造对应的函数，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，可判断零点个数，即为公切线条数. 思考题2.（选做）曲线f(x)=ex-1与曲线g(x)=lnx的公切线条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 归纳总结 判断两曲线公切线的条数的基本步骤 ①分别设切点，求出切线方程； ②利周两切线重合，建立关于切点横坐标的方程组； ③消元得某一切点横坐标的方程； ④通过判断方程在规定范围内解的个数判断公切线的条数. 题型三：已知公切线或公切线条数求参数值(范围) 例3.(多选)[山西运城2024高二期末]若直线y=-x+m是曲线y=2x²+3x+4与曲线y=-ex+n的公切线，则（ ） A.m=-1 B.m=2 C.n=3 D.n=-3 例4.[河北保定2024高二月考]若曲线与g(x)=eˣ有三条公切线，则实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 思考题3.已知曲线y=2x+lnx在点(1,2)处的切线与曲线y=x²+(a+3)x+3相切，则a= 思考题4.[江苏苏州2023高二期中]已知函数f(x)=lnx，.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有公切线，则实数m的取值范围为 . 归纳总结 （1）已知公切线条数求参数取值范围的基本步骤：①分别设切点坐标，②求出两曲线的切线方程，③利用两切线方程的斜率和纵截距分别相同，建立关于切点横坐标的方程组，④消元得关于某一切点横坐标的方程（含参数），⑤分离参数化为a=F(x)形式，曲线有几条公切线，即直线y=a与曲线y=F(x)有几个交点，从而确定参数a的取值范围. 特别提醒：消去变量时，要注意变量的取值范围. (2)经常用的三个关系：①切点处的导数是切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 学科网（北京）股份有限公司 $