第五章 二元一次方程组课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的加减消元法，从直接消元到变形消元，再到综合应用与拓展探究，层层递进地构建知识体系。通过基础训练、中档提升和素养拓展三类题型，形成清晰的学习支架，帮助学生在已有方程认知基础上自然过渡到复杂问题解决。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”。例如第10题通过观察系数规律发现x-y=1的结构特征，引导学生用整体思想简化运算，培养符号意识与逻辑推理；第9题将两组方程解相同作为桥梁，建立参数求解模型，强化代数思维。这种由浅入深、由具体到抽象的教学设计，既提升学生分析问题的能力，又助力教师精准把握学情，实现高效课堂。

第五章 二元一次方程组 专题训练（六） 二元一次方程组的解法 1 类型1 用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组 1.用指定的方法解方程组： （1） （代入消元法） 解：由①，得 .③ 将③代入②，得 ， 解得 . 将代入③，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 2 （2） （加减消元法） 解：，得. ，得 ，得，解得 . 将代入②，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 3 2.用合适的方法解方程组： （1） 解：原方程组变形为 ，得,解得 . 将代入②，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 4 （2） 解：将②代入①，得,解得 . 将代入②，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 5 （3） 解：，得.解得 . 将代入①，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 6 （4） 解：原方程组变形为 ，得.解得 . 将代入①，得 . 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 7 类型2 用换元法解二元一次方程组 3.【新考向：解题方法型阅读理解题】先阅读，再解方程组. 解方程组： 设， ，#1.1.1 分层训练 构建学科思维 8 则原方程组变为 变形为 解这个方程组，得即 解得 #1.1.5 分层训练 构建学科思维 9 请用这种方法解下面的方程组： #1.2.1 解：设， ， 则原方程组变为 解得即解得 分层训练 构建学科思维 10 $第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第2课时 加减消元法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组 1.用加减消元法解方程组时，由 得( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（1）【答题模板】用加减消元法解方程组 可用 ________，消去；也可用________，消去 分层训练 构建学科思维 4 （2）【针对训练】用加减消元法解方程组： ①（乐山中考） 解：，得，解得 ． 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 5 ②（苏州中考） 解：，得，解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组 3.用加减消元法解方程组时，消去 最简便的方 法是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 4.用加减消元法解方程组： （1） 解：，得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 8 （2） 解：，得，解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 9 （3） 解：，得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 10 5.在解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元 的是( ) C A. B.由①变形得 ，将③代入② C. D.由②变形得 ，将③代入① 分层训练 构建学科思维 11 6.（2025·凉山州）若 ，则 的平方根是( ) C A.8 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 7.【易错题】已知一个等腰三角形的两边长， 满足方程组 则此等腰三角形的周长为___. 5 8.用加减消元法解方程组： 分层训练 构建学科思维 13 解：由①，得 ③ ，得，解得 将代入②，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 14 9.已知方程组和有相同的解，求， 的值． 解：解方程组得 把代入方程组 分层训练 构建学科思维 15 得解得 所以的值是， 的值是1． 分层训练 构建学科思维 16 10.阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即 ③ ，得 ，得，解得 分层训练 构建学科思维 17 将代入③，得 所以原方程组的解为 （1）请你仿照上面的解法解方程组： 分层训练 构建学科思维 18 解：，得 ，得，解得 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 19 （2）猜测关于， 的二元一次方程组 的解是_ ________. 分层训练 构建学科思维 20 微专题5 二元一次方程组中整体思想的应用 【方法指导】利用整体思想求与二元一次方程组的未知数相关的 代数式的值，一般先观察要求的代数式，看能否直接由两个方程 相加或相减得到，若能，则直接得出结果；若不能，则通常将直 接相加或相减的结果除以一个系数，就能得出结果. 分层训练 构建学科思维 21 1.已知，满足方程组则 的值为___. 2.（枣庄中考）已知，满足方程组则 的值 为____. 3.已知关于，的方程组的解满足 ， 则 的值为___. 8 2 分层训练 构建学科思维 22 $第五章 二元一次方程组 章末复习 二元一次方程组 1 复习点1 二元一次方程（组）的有关概念 1.在下列方程组中，不是二元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.已知是二元一次方程的一个解，则 的值 为___. 3.写出二元一次方程 的一组整数解： _ _____________________. 2 （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 3 复习点2 解二（三）元一次方程组 4.小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时， 利用消去，则， 的值可能是( ) D A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 4 5.（无锡中考）二元一次方程组 的解为_ ______． 6.已知关于，的方程组且，则 ____． 分层训练 构建学科思维 5 7.（宿迁中考）若关于、的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的方程组 的解是 _ ________． 分层训练 构建学科思维 6 8.解方程组： （1） 解：整理，得 ，得，解得 把代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 7 （2） 解：，得 ④ ，得 ⑤ ，得，解得 分层训练 构建学科思维 8 把代入④，得 把，代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 9 复习点3 二元一次方程组的应用 9.（2025·眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题： “九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七 个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共 买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱 可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果个，苦果 个，根据题意可列方程组为( ) 分层训练 构建学科思维 10 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 11 10.如图是由同一种长方形墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放 的墙砖比一块竖放的墙砖高 ，两块横放的墙砖比两块竖放 的墙砖低，则每块长方形墙砖的周长是_____ ． 100 分层训练 构建学科思维 12 11.某校八（1）班和八（2）班的学生一块到航天科普教育基地进 行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中八（1）班的学生比 八（2）班的学生少，教育基地门票价格如下： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 12元 10元 8元 原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列 问题： 分层训练 构建学科思维 13 （1）八（1）班有多少人？ 解：设八（1）班有人，则八（2）班有 人， 因为，所以 ①当， 时， ，不符合题意. 分层训练 构建学科思维 14 ②当 时， 解得 或解得 （舍去） 答：八（1）班有48人. 分层训练 构建学科思维 15 （2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？ 解：两个班一起购票最省钱，比原计划节省 （元）. 分层训练 构建学科思维 16 复习点4 二元一次方程（组）与一次函数 12.点在直线上，坐标 是二元一次方程 的解，则点 的位置在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分层训练 构建学科思维 17 13.甲、乙两人参加从地到 地的长跑比赛，两人在比赛时所跑 的路程（米）与时间 （分）之间的函数关系如图所示，请你根 据图象，回答下列问题：#1 分层训练 构建学科思维 18 （1）____ 先到达终点（填“甲”或“乙”）； 乙 （2）根据图象，求出甲的函数关系式； 解：设甲跑的路程（米）与时间 （分）之间的函数关系式为 ， 则，解得 所以甲的函数关系式为 分层训练 构建学科思维 19 （3）甲、乙何时相遇？ 解：当时，设乙跑的路程（米）与时间 （分）之 间的函数关系式为，把， 代入， 得解得 所以 联立解得 答：甲、乙在12分钟时相遇． 分层训练 构建学科思维 20 $第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第2课时 利用表格梳理等量关系解决实际问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 利用表格梳理等量关系解决实际问题 1.某校去年原计划招收初一新生1000人,今年实际招到初一新生 1240人，其中男生超,女生超 .设该校去年原计划招收男 生人,招收女生 人. 分层训练 构建学科思维 3 （1）依据题意完成下列表格： 年份 男生/人 女生/人 新生总人数/人 去年 1000 今年 ____________ ____________ 1240 （2）根据上表，可以列出方程组为 [答案] . 分层训练 构建学科思维 4 2.学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出 发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发 2小时后，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相 距11千米．小明、小强每小时各走多少千米? 设小明每小时走千米，小强每小时走 千米，填写下表并求出 ， 的值. 分层训练 构建学科思维 5 两种情况 第一种情况 （小明早出发30分 钟） 第二种情况（同时出发） 小明走的路程 ___________ ___ 小强走的路程 ____ ____ 9 分层训练 构建学科思维 6 两种情 况 第一种情况 （小明早出发30分钟） 第二种情况（同时出发） 小明和 小强走 的路程 之和 ____ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 解：根据题意，得 解得 答：小明每小时走4千米，小 强每小时走5千米. 20 续表 分层训练 构建学科思维 7 3.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了 如下调整：甲地上涨 ，乙地降价5元．已知销售单价调整前 甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两 地该商品的销售单价． 分层训练 构建学科思维 8 解：设调整前甲地该商品的销售单价为 元，乙地该商品的销售 单价为 元. 根据题意，得 解得 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 价为50元． 分层训练 构建学科思维 9 4.健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品， 已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1 单位蛋白质和0.8单位铁质． （1）依据题意，填写下表． 项目 甲原料 克 乙原料 克 其中所含蛋白质/单位 ___ 其中所含铁质/单位 ______ ______ 分层训练 构建学科思维 10 （2）如果一个运动员每餐需要32单位蛋白质和40单位铁质，那 么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？ 解：根据题意，得 解得 答：每餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足运动员的需要． 分层训练 构建学科思维 11 5.某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100 元．捐款情况如下表： 捐款/元 1 2 3 4 人数/人 6 _________________________ _________________________ 7 分层训练 构建学科思维 12 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设 捐款2元的有名同学，捐款3元的有 名同学，根据题意，可得方 程组为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 6.某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今 年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学的 对话． 小明说：“去年两个超市的销售额共为150万元，今年两个超市的 销售额共为170万元．” 分层训练 构建学科思维 14 小亮说：“甲超市今年的销售额比去年增加 ．” 小颖说：“乙超市今年的销售额比去年增加 ．” 根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为( ) D A.100万元 B.50万元 C.60万元 D.110万元 分层训练 构建学科思维 15 7.某水果店前后两次购进和售卖某种水果，第一次购进 ， 第二次购进 ，两次购进的单价不同，并且每次售卖时销售 的单价都比该次购进的单价提高了 .由于水果易坏，从购进 到全部售完会有部分损耗.第一次购进的水果有 的损耗，第 二次购进的水果有 的损耗.已知两次购进该水果的总价为 1 600元，两次售卖该水果共获利500元，求两次购进该水果的单 价各为多少元. 分层训练 构建学科思维 16 解：设第一次购进该水果的单价为 元，第二次购进该水果的单 价为 元.根据题意，得 解得 答：第一次购进该水果的单价为12元，第二次购进该水果的单价 为2元. 分层训练 构建学科思维 17 8.某品牌运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某 天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 _________ ___________ 20 下午的销售量 合计 10 ____________ _____________ （1）根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含， 的代数 式表示）； 分层训练 构建学科思维 18 （2）已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一 天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双.求， 的值. 解：根据题意，得 解得 答：的值为2， 的值为4. 分层训练 构建学科思维 19 9.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费； 寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北 京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价/元 超过1千克的部分/元·千克 上海 北京 分层训练 构建学科思维 20 实际收费 目的地 质量/千克 费用/元 上海 2 9 北京 3 22 求， 的值． 分层训练 构建学科思维 21 解：根据题意，得 解得 答：的值为7， 的值为2． 分层训练 构建学科思维 22 $第五章 二元一次方程组 专题训练（八） 二元一次方程组的实际应用 1 1.为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、 两 种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套 型一体机的价 格比每套 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买 500套型一体机和200套型一体机，求今年每套型、 型一体 机的价格各是多少万元？ 分层训练 构建学科思维 2 解：设今年每套型一体机的价格是万元，每套 型一体机的价 格是 万元. 根据题意，得 解得 答：今年每套型一体机的价格是1.2万元，每套 型一体机的价 格是1.8万元． 分层训练 构建学科思维 3 2.【新考向：数学文化】我国西汉时期张苍等人辑撰的《九章算 术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载“今有三 人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”， 其意思是：“今有若干人准备乘若干辆马车出行，如果每3人共乘 1辆车，则有2辆车空出；如果每2人共乘1辆车，则有9人需步 行．问：人数和马车数各是多少？”．请你解答此问题． 分层训练 构建学科思维 4 解：设共有人， 辆马车. 根据题意，得解得 答：共有39人，15辆马车． 分层训练 构建学科思维 5 3.甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发开往乙城，行 驶120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车 相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路 程的一半还多5千米，则动车与快车平均每小时各行驶多少千米？ 分层训练 构建学科思维 6 解：设动车平均每小时行驶千米，快车平均每小时行驶 千米. 根据题意，得 解得 答：动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米． 分层训练 构建学科思维 7 4.下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程． 古代问题：某人工作一年报酬是1件衣服和10枚银币，但他工作 满8个月后就不干了，结账时，给他1件衣服和2枚银币，则这件 衣服的价值是多少枚银币？这个人每月的报酬是多少枚银币？ 南南： 阳阳： ， 分层训练 构建学科思维 8 根据以上信息，解答下列问题． （1）以上两个方程（组）中 的意义是________________； 这件衣服的价值 （2）阳阳的方程所用等量关系是___． B A.每月所得的报酬相等 B.8个月所得的报酬相等 分层训练 构建学科思维 9 （3）从以上两个方程（组）中选一个，求解并回答老师提出的 问题． 解：选择南南的方法，解得 或选择阳阳的方法，解得 ， 所以 ． 答：这件衣服的价值是14枚银币，这个人每月的报酬是2枚银币． 分层训练 构建学科思维 10 5.某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价 分别为每本10元，30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15 元，40元． （1）若书店恰好用了2300元购进这100本图书，求购进的甲、乙 图书各多少本？ 分层训练 构建学科思维 11 解：设购进甲图书本，乙图书 本.根据题意，得 解得 答：购进甲图书35本，乙图书65本． 分层训练 构建学科思维 12 （2）在（1）的结论下，在销售时，该书店考虑到要迅速将图书 售完，于是甲图书打八折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙 两种图书全部销售完后共获利460元，请问乙图书应打几折出售？ 解：设乙图书应打 折出售.根据题意，得 ，解得 . 答：乙图书应打九折出售． 分层训练 构建学科思维 13 6.为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用 水量不超过 时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 时，超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量 为 ，缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家，用水量为 ，缴纳水费51.4元. 分层训练 构建学科思维 14 （1）该市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ 解：设该市一级水费的单价是元/，二级水费的单价是 元/ .由题意，得解得 答：该市一级水费的单价是3.2元/ ，二级水费的单价是6.5元/ . 分层训练 构建学科思维 15 （2）某户某月缴纳水费64.4元时，用水量为多少？ 解：因为， ，所以当水费为64.4元 时，用水量超过 . 设用水量为 ，由题意，得 .解得 . 答：当缴纳水费64.4元时，用水量为 . 分层训练 构建学科思维 16 7.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量， 该企业进行试生产．他们购得规格是 的标准板材 作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B 型两种板材如图甲，单位： . 图甲 图乙 分层训练 构建学科思维 17 （1）列出方程（组），求出图甲中与 的值； 解：根据题意，得 解得 分层训练 构建学科思维 18 （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准 板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做 成图乙的竖式（底面为B型）与横式（底面为A型）两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材____张，B型板材____张； 64 38 分层训练 构建学科思维 19 ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒 个， 横式无盖礼品盒个，求， 的值． [答案] 根据题意，得 解得 分层训练 构建学科思维 20 $第五章 二元一次方程组 5 三元一次方程组 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 三元一次方程（组）的有关概念 1.下列是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.三元一次方程 有无数个解，下列四组值中，不是 该方程的解的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 三元一次方程组的解法 3.观察方程组 的系数特点，若要使求解简便， 消元的方法应选取( ) B A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.以上说法都不对 分层训练 构建学科思维 5 4.解三元一次方程组如果消去未知数 ，则 应对方程组变形为( ) C A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 6 5.解方程组： （1） 分层训练 构建学科思维 7 解：将①代入②，得 ，④ ，得 把代入④，得 把，代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 8 （2） 解：，得，解得 ，得，解得 ，得，解得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 9 知识点3 三元一次方程组的简单应用 6.现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两 箱共102个橘子，B， 两箱共106个橘子．求每箱各有多少个橘 子．该问题中，若设A，B，C箱分别有，， 个橘子，则可列 方程组为_ _____________. 分层训练 构建学科思维 10 7.小明手头有7张面额分别是1元，5元，10元的纸币，共计24元， 其中1元纸币的数量是5元纸币数量的2倍.求1元，5元，10元纸币 各有多少张？ 解：设1元，5元，10元纸币分别有张，张， 张. 根据题意，得解得 答：1元，5元，10元纸币各有4张，2张，1张. 分层训练 构建学科思维 11 8.若，则 等于( ) A A. B. C.2 D. 9.【整体思想】已知方程组则 的值___. 2 分层训练 构建学科思维 12 10.“六一”儿童节将至，某商店推出甲、乙、丙三种特价玩具，若 购甲3件，乙2件，丙1件需400元：购甲1件，乙2件，丙3件需440 元，则购买甲、乙、丙三种玩具各一件需_____元． 210 分层训练 构建学科思维 13 11.解方程组： 解：，得 ，④ 由①和④组成一个二元一次方程组解得 分层训练 构建学科思维 14 把代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 15 12.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个 位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那 么所得新数比原来三位数大99，求原来的三位数. 解：设原来的三位数个位，十位，百位上的数字分别为，， ， 则 分层训练 构建学科思维 16 解得 故原来的三位数为364. 分层训练 构建学科思维 17 13.（六盘水中考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发 送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为 ， ，双方约定：，， ，例如发出1， 2，3，则收到0，4，5. 分层训练 构建学科思维 18 （1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，接收方收到的密码是 多少？ 解：由题意，得 解得 答：接收方收到的密码是1，6，8. 分层训练 构建学科思维 19 （2）当接收方收到一组密码2，8，11时，发送方发出的密码是 多少？ 解：由题意，得解得 答：发送方发出的密码是3，4，7. 分层训练 构建学科思维 20 $第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第3课时 利用线段图梳理等量关系解决实际问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用线段关系解决几何图形问题 1.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米， 这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为 米， 宽为 米，根据题意，得( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在长为，宽为 的长方形展厅划 出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙 花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 解：设小长方形的长为，宽为 . 根据题意，得解得 答：小长方形的长为，宽为 ． 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖 砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为 ，求每块小长 方形墙砖的长和宽． 分层训练 构建学科思维 5 解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为 . 根据题意，得解得 答：小长方形墙砖的长为，宽为 ． 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利用线段图梳理等量关系解决行程问题 4.某铁路桥长 ，现有一列火车从桥 上通过，测得该火车从开始上桥到完全过 （1）火车从开始上桥到完全过桥的过程如图1所示，请仿照图1, 在图2中用线段图表示火车完全在桥上的过程. 解：图略. 桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共 ． 分层训练 构建学科思维 7 （2）由图1可得到等量关系:火车从开始上桥到完全过桥所走路 程桥长 火车的长度；由（1）中所作图形可得到等量关系:火 车完全在桥上所走路程 ________________，设火车的速度为 ，火车的长度为,求, 的值. 桥长-火车的长度 解：根据题意，得 解得 所以，的值分别为 , . 分层训练 构建学科思维 8 5.一辆汽车从A地驶往B地，前 的路段为普通公路，其余路段为 高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高 速公路上行驶的速度为 ，汽车从A地到B地共行驶了 ．求A地到B地的路程. 解：设A地到B地的普通公路长，高速公路长 . 根据题意，得解得 所以 . 答：A地到B地的路程是 ． 分层训练 构建学科思维 9 6.一个长方形的长减少，宽增加 ，就成为一个正方形， 并且正方形的面积比原长方形的面积少 ，则原长方形的长 为______． 7.将5个大小相同的长方形在平面直角坐标系中 按如图所示的位置放置，若点的坐标为 ， 则点 的坐标为_________． 分层训练 构建学科思维 10 8.普通的列车动力都在机车上，在机车后面挂着许多无动力的车 厢．如果把动力装置安装在车厢上，使其既具有牵引动力，又可 以载客，这样的客车便叫作动车．把几节动车与几节无动力的车 厢编成一组，称为动车组．一列动车组与一列普通列车同向而行， 动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需 16秒.若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒．若 动车组长度为180米，普通列车长度为220米，求两种列车的速度． 分层训练 构建学科思维 11 解：设动车组的速度为米/秒，普通列车的速度为 米/秒.根据题 意，得 解得 50米/秒千米/时，25米/秒 千米/时. 答：动车组的速度为180千米/时，普通列车的速度为90千米/时． 分层训练 构建学科思维 12 9.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到 乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； 解：设该轮船在静水中的速度是千米/时，水流速度是 千米/时. 根据题意，得 解得 答：该轮船在静水中的速度是12千米/时，水流速度是3千米/时． 分层训练 构建学科思维 13 （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和 从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 解：设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距 千米， 根据题意，得，解得 ． 答：甲、丙两地相距 千米． 分层训练 构建学科思维 14 10.在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀 速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行， 200秒后甲第一次追上乙． （1）你能求出甲、乙两人的速度吗？ 分层训练 构建学科思维 15 解：设甲的速度为米/秒，乙的速度为 米/秒.根据题意，得 解得 答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒. 分层训练 构建学科思维 16 （2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、 乙的方向一致，丙出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙， 请问丙出发时，在甲、乙前方多少米的位置？丙的速度是多少？ 解：设丙在甲、乙前方米的位置，丙的速度是 米/秒.根据题意， 得 解得 答：丙在甲、乙前方50米的位置，丙的速度是3.5米/秒． 分层训练 构建学科思维 17 $第五章 二元一次方程组 核心素养专练 1 1.【几何直观、模型观念】如图，点 在直 线上，的度数比 的度数的3 倍少 ，设和 的度数分别为 B A. B. C. D. ， ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是( ) 分层训练 构建学科思维 2 2.【几何直观、模型观念、运算能力】 （2025·自贡）某小区人行道地砖铺设 图案如图所示．用10块相同的小平行四 B A. B. C. D. 边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长 ， 则小地砖短边长( ) 分层训练 构建学科思维 3 3.【模型观念、运算能力】已知一次函数 与 的图象的交点坐标为 （1）直接写出关于，的方程组 的解； 解：因为一次函数与 的图象交点坐标为 ， 所以方程组的解是 分层训练 构建学科思维 4 （2）求， 的值. 解：由题意，知原方程组可化为 解得， 分层训练 构建学科思维 5 4.【数学文化】【模型观念、运算能力】《孙子算经》是中国古 代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有 若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果 乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有 多少钱？ 分层训练 构建学科思维 6 解：设甲原有文钱，乙原有 文钱. 由题意，得解得 答：甲原有36文钱，乙原有24文钱. 分层训练 构建学科思维 7 5.【模型观念、运算能力、应用意识】某文具店用340元购进 ， 两种钢笔，按标价售出后可获得总利润70元，这两种钢笔的进 价，标价如表所示. 类型价格 种 种 进价（元/支） 6 8 标价（元/支） 7 10 分层训练 构建学科思维 8 （1）求这两种钢笔各购进的件数； 解：设购进型钢笔支，购进B型钢笔 支.根据题意，得 解得 答：购进型钢笔30支，购进 型钢笔20支. 分层训练 构建学科思维 9 （2）如果种钢笔按标价的九折出售， 种钢笔按标价的九五折出 售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？ 解： （元）. 答：文具店比按标价出售少收入31元. 分层训练 构建学科思维 10 $第五章 二元一次方程组 综合与实践 1 1.【任务驱动】某校40名同学要去参观某科技展览馆，已知该展 览馆分为A，B，C三个场馆，根据以下素材，解决相应问题． 【素材收集】素材1：购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需 280元，购买5张A场馆门票和3张B场馆门票共需450元．C场馆门 票为每张25元． 分层训练 构建学科思维 2 素材2：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆 都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门 票就赠送1张C场馆门票． 分层训练 构建学科思维 3 【问题解决】 （1）求A场馆和B场馆的门票价格． 解：设A场馆门票的价格为元，B场馆门票的价格为 元. 根据题意，得解得 答：A场馆门票的价格为60元，B场馆门票的价格为50元. 分层训练 构建学科思维 4 （2）在出发前，大家的初步参观意向为有 名同学想参观A场 馆，名同学想参观C场馆， 名同学想参观B场馆，在大家的初 步参观意向下，按照素材1与素材2的条件，所需花费的门票总金 额为1670元，求与 的值． 解：根据题意，得解得 答：的值为11， 的值为7. 分层训练 构建学科思维 5 （3）到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最 终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，按照素材1 与素材2的条件，最终花费的门票总金额为1150元，请求出符合 条件的所有购买方案． 分层训练 构建学科思维 6 解：设购买张A场馆门票， 张B场馆门票，则购买 张C场馆门票， 根据题意，得 ， 所以 又因为，， 均为正整数， 所以或 分层训练 构建学科思维 7 所以共有2种购买方案： 方案1：购买5张A场馆门票，4张B场馆门票，26张C场馆门票； 方案2：购买10张A场馆门票，2张B场馆门票，18张C场馆门票． 分层训练 构建学科思维 8 $第五章 二元一次方程组 问题解决策略：逐步确定 1 1.“趣味数学”公众号每6天更新一次，“畅享阅读”公众号每8天更 新一次.2025年5月1日两个公众号第一次同时更新，那么这两个 公众号第二次同时更新的日期是2025年5月____日. 25 分层训练 构建学科思维 2 2.李乐和张红帮敬老院打扫卫生，李乐每4天去一次，张红每6天 去一次，10月1日他们同时去了敬老院.他们下一次同时去敬老院 是几月几日？（先在表里画“√”，再回答） 分层训练 构建学科思维 3 日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 李 乐 __ __ __ __ __ 张 红 __ __ __ √ √ √ √ √ √ √ √ 解：他们下一次同时去敬老院是10月13日. 分层训练 构建学科思维 4 3.在 的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15 整除的数中最大的一个，求这个数． 解：能被15整除就是同时能被3和5整除，所以个位是0或5. 设百位是，则当个位是0时，能被3整除，此时 最 大为7，此时这个数为3720. 当个位为5时，能被3整除，此时 最大为8，此时这 个数为3825. 因为 ，所以这个四位数最大为3825. 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，已知 和线段，，用直尺和圆规作 ，使 ，， ，这样的三角形能作几个？ （不写作法，保留作图痕迹） 分层训练 构建学科思维 6 解：这样的三角形能作2个．如图，和 即为所求． 分层训练 构建学科思维 7 5.一篮鸡蛋，若5个5个地数，最后余2个；若4个4个地数，最后 也余2个；若3个3个地数，最后还余2个.篮中至少有多少个鸡蛋？ 解：3，4，5的最小公倍数是60， （个）. 答：篮中至少有62个鸡蛋. 分层训练 构建学科思维 8 6.某小区居民筹集资金，计划在楼前一块上底为 ，下底为 的梯形（如图 1）空地上种植花草，美化环境. 图1 图2 分层训练 构建学科思维 9 （1）试判断与 的面积之间有什么关系？并说明理由. 解：与 的面积相等. 理由如下： 因为梯形的边所以的面积等于 的面积. 所以与 的面积相等. 分层训练 构建学科思维 10 （2）若 （如图2），请设计一种花坛图案，即在梯形内 找到一点，使得， ，并说明理由. 解：因为，所以点在梯形 的对称轴上.因 为，，，所以点 到AD的距 离等于到BC的距离的2倍.点 的位置图略. 分层训练 构建学科思维 11 $第五章 二元一次方程组 易错易混专练 1 易错点1 忽视二元一次方程定义的隐含条件而致错 1.若方程是关于， 的二元一次方程，则 ___. 1 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 用代入法消元时因循环代入而致错 2.解方程组： 解：由②，得 ③ 将③代入②，得 即 所以原方程组有无数组解. 分层训练 构建学科思维 3 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答 过程. 解：不正确.理由：用代入消元法解方程组时，不能将变形所得 的方程代入原方程中. 正确过程：由②，得 ③ 将③代入①，得 解得 分层训练 构建学科思维 4 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 5 易错点3 解方程组时出现符号错误 3.下面是两名同学解方程组 时的不完整的解 题过程： 甲同学：，得 ， 解得 ． 乙同学：由①，得 ，③ 将③代入②，得 ， 解得 ． 分层训练 构建学科思维 6 （1）甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错 误的地方． 解：甲同学的解题过程有错误， 时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程也有错误，将③代入②时未给③中的式子添括 号致错. 分层训练 构建学科思维 7 （2）请你改正并完善两名同学的解题过程． 解：甲同学：，得 ， 解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 8 乙同学：由①，得 ，③ 将③代入②，得 ， 解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 9 易错点4 解方程组时漏乘 4.阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 解方程组 分层训练 构建学科思维 10 解：由，，得 （第一步） 由，得 （第二步） 把代入②，得 （第三步） 所以原方程组的解是 （第四步） 续表 分层训练 构建学科思维 11 任务： （1）这种求解二元一次方程组的解法叫作____________ （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第____步 开始出现错误． 加减消元法 一 分层训练 构建学科思维 12 （2）请写出该方程组的正确解答过程． 解：由，，得 由，得，解得 把代入②，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 13 易错点5 列方程组时单位不统一 5.某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以 的速 度行驶，就会迟到；如果他以 的速度行驶，可提 前 到达，求甲、乙两地间的距离. 解：设甲、乙两地间的距离为 ，从甲地到乙地的规定时间 为 由题意，得 解得 答：甲、乙两地间的距离为 分层训练 构建学科思维 14 $第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二元一次方程（组）的概念 1.下列方程中，是二元一次方程的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.在下列方程组： 中，是二元一次方程组的是( ) C A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①②③⑤ 3.若方程是关于， 的二元一次方程，则 的值为___． 3 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 二元一次方程（组）的解的概念 4.（无锡中考）下列四组数中，不是二元一次方程 的 解的是( ) D A. B. C. D. 5.（2025·重庆期中）若是二元一次方程 的 一组解，则 的值是( ) D A.1.6 B.2 C.3 D.4 分层训练 构建学科思维 5 6.（教材P113习题T2变式）在 ② ③三对数值中，______是方程 的解， ______是方程的解，____是方程组 的 解（填序号）. ①③ ②③ ③ 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 根据实际问题列方程（组） 7.（2025·湖北模拟）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球 背面南极-艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球 背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式 共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品 克，表取样品 克，则可列方程组为( ) 分层训练 构建学科思维 7 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 8 8.（教材P113习题T1变式）甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5 元.小丽买了个甲种面包和 个乙种面包，共花了30元. （1）列出关于， 的二元一次方程：________________； （2）若，则 ___； （3）若她买了8个乙种面包，则买了___个甲种面包. 4 5 分层训练 构建学科思维 9 9.二元一次方程 的正整数解有( ) B A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 分层训练 构建学科思维 10 10.（嘉兴中考）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜 一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮 比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平 了几场？设该队胜了场，平了 场，根据题意可列方程组为 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 11.【新考向：数学文化】（贵阳中考）“方程”二字最早出现在我 国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 ，的系数与相应的常数项，可表示方程 ，则 表示的方程是____________. 分层训练 构建学科思维 12 12.已知方程组 由于甲看错了方程①中的 得 到方程组的解为 乙看错了方程②中的 得到方程组的解 为 求， 的值. 分层训练 构建学科思维 13 解：把 代入②中，得 解得 把 代入①中，得 解得 所以的值为，的值为 分层训练 构建学科思维 14 13.某两位数，两个数位上的数字之和为11.这个两位数加上45， 得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数， 求原两位数. 分层训练 构建学科思维 15 （1）列一元一次方程求解. 解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为 根据题意，得 ，解 得所以 所以原两位数为38. 分层训练 构建学科思维 16 （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为 ，列二元一次方 程组. 解：根据题意列二元一次方程组，得 分层训练 构建学科思维 17 （3）检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组. 解：结合（1），知， ， 所以， 所以（1）中求得的结果满足（2）中的方程组. 分层训练 构建学科思维 18 微专题4 由二元一次方程（组）的解确定字母参数的值 【方法指导】直接将方程（组）的解代入含参数的方程（组）中， 得到一个以参数为未知数的新方程（组），求解这个新方程 （组），即可求出参数值. 分层训练 构建学科思维 19 1.（凉山州中考）已知是方程的解，则 的值为 ____. 分层训练 构建学科思维 20 2.（2025·余姚期中）已知关于， 的二元一次方程组 的解为则 的值为___． 3.（2025·临汾期中）已知是关于， 的二元一次方程 的解，则代数式 的值为___． 4 9 分层训练 构建学科思维 21 $第五章 二元一次方程组 专题训练（七） 求含参数的二元一次方程组中的参 数值 1 类型1 根据二元一次方程（组）解的关系求参数值 将方程组中的参数看成已知数，一般先解这个方程组，然后 结合已知条件得到关于参数的方程，从而求参数的值，也可根据 方程组的特点直接利用加减法变形，得到关于参数的一个新方程， 再结合方程组解的关系求参数的值. 分层训练 构建学科思维 2 1.若方程组的解中与的值相等，则 的值为 ( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 2.若关于，的方程组的解满足与 互为相反 数，则 的值是( ) A A. B.1 C.2 D.4 分层训练 构建学科思维 3 3.若关于，的二元一次方程组 的解也是二元一次 方程的解，则 的值为___． 1 分层训练 构建学科思维 4 类型2 根据两个方程组同解求参数值 两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这四 个方程的公共解.解这种题的常用方法是：先将两个不含参数的 二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出该方程组的解.再 将所求的解代入到另外两个含参数的方程中进行求解，即可得出 参数的值. 分层训练 构建学科思维 5 4.已知关于，的方程组和 的解相同, 则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 6 类型3 根据方程组的错解求参数值 看错方程组中某个未知数的系数，所得的解既是方程组中含 此系数的方程的解，也是方程组中不含此系数的方程的解，故可 把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解. 分层训练 构建学科思维 7 5.甲、乙两人解关于，的方程组 时，甲因看 错得到方程组的解为乙将方程②中的 写成了它的相反 数，得到方程组的解为 分层训练 构建学科思维 8 （1）求， 的值； 解：把 代入方程①，得 ，解得 ． 因为乙将方程②中的 写成了它的相反数，得到方程组的解为 所以 ． 分层训练 构建学科思维 9 所以，即 ， 解得 ． 所以， . 分层训练 构建学科思维 （2）求原方程组的解． 解：原方程组为 解得 分层训练 构建学科思维 11 $第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第1课时 直接梳理等量关系解决实际问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 直接梳理等量关系解决实际问题 1.数学课外活动小组购买签字笔和涂卡笔共50支，其中签字笔的数 量比涂卡笔数量的2倍多5支，则购买涂卡笔和签字笔分别是多少支？ 分层训练 构建学科思维 3 （1）上述问题涉及的等量关系有: ①签字笔和涂卡笔的总数______________ 涂卡笔的数量. ②签字笔的数量涂卡笔数量的___倍 ___. 签字笔的数量 2 5 （2）设购买涂卡笔支，签字笔 支，则签字笔和涂卡笔的总数 可以用含,的代数式表示为_______；签字笔的数量可以用含 的代数式表示为________. 由此得到方程组：_ ___________. 分层训练 构建学科思维 4 2.【新考向：数学文化】（2025·宜宾）我国古代数学著作《九 章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两； 牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5 头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每 头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金 两 和 两，列出方程组应为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 3.商家推出两种纪念品．已知购买7个甲种纪念品和购买10个乙 种纪念品的费用相同，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品 的进价多3元．求每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价． 解：设每个甲种纪念品的进价为 元，每个乙种纪念品的进价为 元. 根据题意，得解得 答：每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为7 元． 分层训练 构建学科思维 6 4.【新考向：数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问 人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物 品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物品 价格各为多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格． （1）写出上述问题中的等量关系:__________________________ ___________________； 物品价格人数，物 品价格人数 分层训练 构建学科思维 7 （2）设有个人,物品的价格为 钱，根据（1）中的等量关系列 方程组解决问题. 解：根据题意，得解得 答：有7个人，物品价格为53钱． 分层训练 构建学科思维 8 5.【新考向：传统文化】端午节是中国传统节日，人们有吃粽子 的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽． 请依据以上对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 分层训练 构建学科思维 9 解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为元, 元. 根据题意，得 解得 答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元,10元． 分层训练 构建学科思维 10 6.【新考向：数学文化】我国古典数学文献《增删算法统宗·六均 输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参 详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数 相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为：甲、乙两人 一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊 数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲、 乙各有多少只羊？设甲有只羊，乙有 只羊，根据题意列方程组 正确的为( ) 分层训练 构建学科思维 11 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 12 7.如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，向桶中加水，其中 一根铁棒露出水面的长度是它的 ，另一根铁棒露出水面的长度 是它的，两根铁棒的长度之和为 ，则较长铁棒的长度为 ____，较短铁棒的长度为____ . 30 25 分层训练 构建学科思维 13 8.【新考向：数学文化】《九章算术》中记载这样一道问题.原文： “今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处， 衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀各重几何？”译文：“今有5只雀、 6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1 只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的总重量为 1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”请解答上述问题. 分层训练 构建学科思维 14 解：设每只雀重斤，每只燕重 斤， 依题意，得 解得 答：每只雀重斤，每只燕重 斤. 分层训练 构建学科思维 15 9.已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆 型车和2辆 型车装满货物一次可运货8吨.现有货物19吨，计划同 时租用型车辆，型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满 货物.根据以上信息，解答下列问题： 分层训练 构建学科思维 16 （1）1辆型车和1辆 型车都装满货物一次可分别运送多少吨？ 解：设1辆型车装满货物一次可运送吨，1辆 型车装满货物一 次可运送 吨，根据题意，得 解得 答：1辆 型车装满货物一次可运送2吨， 1辆 型车装满货物一次可运送3吨. 分层训练 构建学科思维 17 （2）请列出所有可能的租车方案； 解：根据题意，得 . 所以 . 又因为， 均为正整数， 所以或或 分层训练 构建学科思维 18 所以共有3种租车方案： 方案1：租用型车8辆， 型车1辆； 方案2：租用型车5辆， 型车3辆； 方案3：租用型车2辆， 型车5辆. 分层训练 构建学科思维 19 （3）若1辆型车需租金90元/次，1辆 型车需租金110元/次，请 选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 解：方案1所需租车费为 （元）， 方案2所需租车费为 （元）， 方案3所需租车费为 （元）. 因为 ， 所以租用型车2辆， 型车5辆最省钱，最少租车费为730元. 分层训练 构建学科思维 20 $第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程（组）与一次函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二元一次方程与一次函数 1.二元一次方程 有______个解，以它的每一个解为坐标 的点都在一次函数__________的图象上，反过来，在一次函数 __________的图象上的每一个点的坐标均适合二元一次方程 . 无数 分层训练 构建学科思维 3 2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.直线过点,请写出关于, 的二元一次方程 的一组解:_ ________. 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 二元一次方程组与一次函数 4.（1）如图，方程组 的解为_ ______； 第4（1）题图 分层训练 构建学科思维 6 第4（2）题图 （2）如图所示是一次函数 与 的图象，则方程组 的 解是_ ______； 分层训练 构建学科思维 7 （3）方程组的解是则直线 与 的交点坐标是________. 5.直线和直线 的位置关系为______.由此可 知，方程组 的解的情况为______. 6.已知直线和直线的交点坐标是 ， 则____， ___. 平行 无解 1 分层训练 构建学科思维 8 7.在平面直角坐标系中，直线 如图所示. （1）画出一次函数 的图象； 解：画图如图所示. 分层训练 构建学科思维 9 （2）利用图象解方程组： 解：方程组的解是 分层训练 构建学科思维 10 8.若以二元一次方程的解为坐标的点 都在直 线上，则常数 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 9.已知关于，的二元一次方程组 无解，则 一次函数 的图象不经过的象限是( ) D A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 分层训练 构建学科思维 11 10.已知直线和 图象上部分点的横 坐标和纵坐标如表所示，则关于， 的二元一次方程组 的解是_ ________. 0 1 2 8 5 2 1 分层训练 构建学科思维 12 11.如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线相交于点 ，并 分别与轴相交于点， . （1）求点 的坐标； 解：联立解得 所以点的坐标为 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）求 的面积. 解：在中，令，则 ，解得 . 所以点的坐标为 . 在中，令，则，解得 .所以 点的坐标为.所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 14 12.【知识回顾】 图1 图2 分层训练 构建学科思维 15 （1）通过学习我们知道一次函数和 的图象 如图1所示，所以方程组 的解为_ ______ ． 分层训练 构建学科思维 16 【知识探究】 （2）小友结合学习一次函数的经验，对函数 的图 象进行了探究．下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． … 0 1 2 3 4 … … ____ 1 3 5 3 __ … 1 分层训练 构建学科思维 17 ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各组对应 值为坐标的点，画出该函数的图象． 解：描点、连线，画出函数图象如图所示. 分层训练 构建学科思维 18 【知识应用】 （3）利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图 象可知，方程组 的解为_ ________________． 或 分层训练 构建学科思维 19 $第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式 1.已知一次函数的图象经过点和 ，则该 一次函数的表达式为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.已知是的一次函数，下表中列出了与的部分对应值，则 的值为( ) 0 1 1 C A. B.0 C. D.1 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，在平面直角坐标系内，一次函数 的图象与正比例函数 的图象相交于点，且与 轴交于点 ，求这个一次函数的表达式. 分层训练 构建学科思维 5 解：在函数中，令，得解得 所以点A的坐标为 将，代入 ，得 解得 所以这个一次函数的表达式为 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题 4.（山西中考）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体 长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则 与 之间的关系式为( ) 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 5.（安徽中考）某品牌鞋子的长度与鞋子的“码”数 之间满 足一次函数关系.若22码鞋子的长度为 ，44码鞋子的长度为 ，则38码鞋子的长度为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 6.暑假期间，王老师一家自驾游去了离家170千 米的黄山，下面是他们离家的距离 （千米）与 汽车行驶时间 （小时）之间的函数图象，他们 出发2小时时，离目的地还有( ) A A.40千米 B.60千米 C.110千米 D.130千米 分层训练 构建学科思维 9 7.科学家探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强 是温度的一次函数，其图象为如图所示的射线 ．#1 分层训练 构建学科思维 10 （1）根据图象求出上述气体的压强与温度 的函数表达式； 解：设一次函数的表达式为 因为函数的图象过点， ， 所以解得 所以所求的函数表达式是 分层训练 构建学科思维 11 （2）当压强为 时，求上述气体的温度． 解：当时，由（1），得 ，解得 所以当压强为时，气体的温度是 ． 分层训练 构建学科思维 12 8.如图是关于 的一个函数图象，根据图象，下 列说法正确的是( ) C A.该函数的最小值为 B.当时，随 的增大而增大 C.当时，对应的函数值 D.当和 时，对应的函数值相等 分层训练 构建学科思维 13 9.如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽 为1的长方形.已知一次函数 的图象经过 点与点，则_ _， __. 10.已知一次函数的图象经过点，与 轴的交点为，若 ，则这个一次函数的表达式为________ ____________________． 或 分层训练 构建学科思维 14 11.（大连中考）某学校体育队开展跑步训练，体育 老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点 同向先后出发，女子组跑了 时，男子组恰好跑 （1）此次跑步训练的全程是_____ ． 500 了 ．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速 跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位： ） 与匀速跑的时间（单位： ）的图象如图所示． 分层训练 构建学科思维 15 （2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程． 解：女子组的速度为 ，则男子组 队员跑步的路程 ， 女子组队员跑步的路程 ， 联立解得 所以 答：男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为 ． 分层训练 构建学科思维 16 12.如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是关于 的函 数．通过该“函数求值机”得到的几组与 的对应值如下表所示： 输入 … 2 5 7 9 11 … 输出 … 5 4 10 16 22 … 分层训练 构建学科思维 17 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为时，输出 的值为____； （2）求， 的值； 解：将，代入，得 解得 分层训练 构建学科思维 18 （3）当输出的值为8时，求输入 的值． 解：在中，令，得，解得 （不符合题意，舍去）. 在中，令，得，解得 （符合题意）. 所以输入的值为 分层训练 构建学科思维 19 13.【数形结合思想】如图，在平面直角坐标系中， 已知点，在轴上有一动点 当 的周长最小时，点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 20 $第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第1课时 代入消元法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组 1.用代入法解方程组 下列说法正确的是( ) B A.直接把①代入②，消去 B.直接把①代入②，消去 C.直接把②代入①，消去 D.直接把②代入①，消去 分层训练 构建学科思维 3 2.（株洲中考）对于二元一次方程组 将①式代入 ②式，消去 可以得到( ) B A. B. C. D. 3.方程组 的解是_ ______. 分层训练 构建学科思维 4 4.用代入消元法解方程组： （1） 解：将①代入②，得 解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 5 （2） 解：将①代入②，得 解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 6 （3） 解：将①代入②，得 解得 将代入①，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 变形后用代入消元法解二元一次方程组 5.（1）【答题模板】下面是解方程组 的解答过程， 请完成填空： 解：由①，得 _______，③ 将③代入②，得__________ 分层训练 构建学科思维 8 解得 ____. 把____代入③，得 ____. 所以原方程组的解是_ ________. 1.5 1.5 分层训练 构建学科思维 9 （2）【针对训练】用代入消元法解方程组： ①（浙江中考） 解：由①，得 ③ 将③代入②，得 ， 解得 分层训练 构建学科思维 10 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 11 ② 解：由②，得 ，③ 将③代入①，得 ， 解得 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 12 6.对于二元一次方程组把①代入②消去 后，所得 到的方程为 ，则①可以是( ) A A. B. C. D. 7.由方程组可得出与 之间的关系是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 8.已知式子与是同类项，则， 的值分别是 ( ) C A.1， B.， C.1，2 D. ，1 9.若，则 的算术平方根是____． 10.若是方程组的解，则___， ___. 3 2 分层训练 构建学科思维 14 11.解下列方程组： （1） 解：由①，得 ③ 将③代入②，得，解得 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 15 （2） 解：由①，得 ③ 将③代入②，得 ， 解得 将代入③，得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 16 12.（训练角度：二元一次方程组解法与整体思想）阅读材料： 善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整 体代换”的解法.#1 分层训练 构建学科思维 17 解：将方程②变形，得 ， 即 ③ 把方程①代入③，得 ， 解得 把代入①，解得 所以原方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组： #1.2 分层训练 构建学科思维 18 解： 将方程②变形，得 ， 即 ③ 将方程①代入③，得 ， 解得 将代入①，解得 所以原方程组的解为 分层训练 构建学科思维 19 $