第四章 一次函数 课件2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

第四章 一次函数 2 认识一次函数 第1课时 认识生活中“均匀”变化的现象 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 认识生活中“均匀”变化的现象 1.用相同的容器向下面的空水壶中匀速注水，则单位时间内水面 上升的高度变化可认为是均匀的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.下列变化过程属于均匀变化的是( ) C A.春天到了,竹笋的生长过程 B.百米赛跑时，运动员从起点到终点的速度随时间的变化 C.车辆以恒定的速度从甲地行驶到乙地时，油箱中剩余油量的变化 D.体育课上,投掷出的铅球飞行高度的变化 分层训练 构建学科思维 4 3.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度 关系的一些数据如下： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法正确的是 ( ) C A.声速不是温度 的函数 B.温度越低，声速越快 C.当温度每升高时，声速增加 D.声速与温度之间的关系式为 分层训练 构建学科思维 5 4.一蓄水池中最多可以容纳 水,配有两根相同的进水管道， 设水池中的水量为，进水时间为 ，若打开一根进水 管道进水，则它们的变化情况如下表： 进水时间 1 2 3 4 5 水池中的水量 1.5 3 4.5 6 分层训练 构建学科思维 6 回答下列问题： （1）当每增加1，增加的值为____，表中 ____. 1.5 7.5 分层训练 构建学科思维 7 （2）在如图所示的平面直角坐标系中描出 对应的点，并写 出此时与 之间的关系式. 解:描点如图所示， . 分层训练 构建学科思维 8 （3）若同时打开两根进水管,请在平面直角坐标系中描出此时 对应的点，并写出此时与 之间的关系式. 解:描点如图所示， . （4）观察发现,打开一根进水管与同时打开两根进水管，对于图 象有什么影响？ 解:同时打开两根进水管时，图象更陡一些（言之有理即可）. 分层训练 构建学科思维 9 5.桌子上放着一个透明的空杯子，金黄色的果汁均匀地倒入杯子 中，并测得如下数据： 杯中果汁的质量 50 100 150 200 250 300 杯中果汁的高度 1 2 3 4 5 6 （1）当时， 的值是多少？ 解：当时， 的值是10. 分层训练 构建学科思维 10 （2）用关系式表示两个变量之间的函数关系． 解： ． （3）当杯中果汁的高度为 时，求杯中果汁的质量. 解：当时，，解得 . 答：当杯中果汁的高度为时，杯中果汁的质量为 . 分层训练 构建学科思维 11 6.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的 一种．据悉在一定温度范围内，蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切， 项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次 数，汇总如下表： 分层训练 构建学科思维 12 气温/ … 11 13 15 … 蟋蟀鸣叫次数/次·分 … 56 70 84 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为 ______. 分层训练 构建学科思维 13 7.一个水库的水位在最近 内持续上涨．下表记 录了这内6个时间点的水位高度，其中 表示时 间， 表示水位高度． 0 1 2 3 4 5 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 分层训练 构建学科思维 14 （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 由此你能发现水位变化有什么规律吗？ 解:描出表中数据对应的点如图所示.由此可知， 这些点在同一条直线上.水位变化的规律：每经 过，水位上涨 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）据估计这种上涨规律还会持续，预测再过 水位高度将 达到多少米． 解:若这种上涨规律还会持续，则,当 时， ，所以再过水位高度将达到 . （3）试写出水位高度与时间 之间的关系式. 解:水位高度与时间之间的关系式为 . 分层训练 构建学科思维 16 8.阅读理解：设是的函数,,是自变量 的取值范围内的两个 值，当由变化到时，对应的值由变化到 ,我们称比值 为在与 之间的平均变化速度.某兴趣小组调查了解到某 型号汽车紧急刹车后车速每秒均匀减少 ，该型号汽车刹车 前初始速度为，刹车后速度与时间 之间的关 系如下表： 分层训练 构建学科思维 17 … 1 1.5 2 2.5 … … 15 12.5 10 7.5 … （1）该汽车刹车前初始速度____ ,求刹车时的平均变化 速度. 20 解：由题意，得刹车时的平均变化速度为 . （2）写出刹车后速度与时间 的关系式. 解： . 分层训练 构建学科思维 18 $第四章 一次函数 专题训练（五） 一次函数的实际应用 1 1.地表以下岩层的温度随着所处的深度 的变化而变 化，与 在一定范围内近似成一次函数关系. （1）根据下表，求与 之间的函数关系式； 温度 … 20 90 160 … 深度 … 0 2 4 … 分层训练 构建学科思维 2 解：设与 之间的函数关系式为 ，根据题意，得 ， .② 将①代入②，得 . 所以与之间的函数关系式为 . 分层训练 构建学科思维 3 （2）当岩层温度达到 时，岩层所处的深度为多少？ 解：当时， ， 解得 . 答：当岩层温度达到时，岩层所处的深度为 . 分层训练 构建学科思维 4 2.如图，某植物天后的高度为厘米，反映了与 之间的关系. 根据图象回答下列问题： （1）____天后该植物的高度为10厘米； 10 分层训练 构建学科思维 5 （2）植物的高度（厘米）与生长时间 （天）之间的函数关系 式是什么？ 解：设植物的高度与生长时间之间的函数关系式为 ， 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 所以植物的高度（厘米）与生长时间 （天）之间的关系式是 . 分层训练 构建学科思维 6 （3）图象对应的一次函数中，和 的实际意义分别 是什么？ 解：表示植物的生长速度， 表示植物最开始的高度. 分层训练 构建学科思维 7 3.如图， 表示某产品一天的销售收入与销售量的关 系， 表示该产品一天的销售成本与销售量的关系. （1）求销售收入与销售量 之间的函数关系式； 解：设销售收入与销售量之间的函数关系式是 ， 因为点 在该函数图象上， 所以，解得 . 所以销售收入与销售量之间的函数关系式是 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）求销售成本与销售量 之间的函数关系式； 解：设销售成本与销售量之间的函数关系式是 ， 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 所以销售成本与销售量之间的函数关系式是 . 分层训练 构建学科思维 9 （3）当一天的销售量超过多少时，生产该产品才能获利？ （提示：利润 收入-成本） 解：由图象，可得当销售量超过4件时，生产该产品才能获利. 分层训练 构建学科思维 10 4.如图1，某商场在一楼到二楼 之间设有上、下行自动扶梯和步 行楼梯，甲、乙两人从二楼同时 下行，甲乘自动扶梯，乙走步行 楼梯，甲离一楼地面的高度 单位：与下行时间 单位：之间具有函数关系 ，乙离一楼地面的高 度单位：与下行时间单位： 的函数关系如图2所示. 分层训练 构建学科思维 11 （1）求关于 的函数表达式； 解：设关于的函数表达式是，由图象，得 , ， 解得, ， 即关于的函数表达式是 . 分层训练 构建学科思维 12 （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面. 解：甲：当时，，解得 ， 乙：当时，，解得 . 因为 ， 所以甲先到达一楼地面. 分层训练 构建学科思维 13 5.某部队加油飞机接到命令，立即给另一架正在 飞行的运输飞机进行空中加油.在加油的过程中， 设运输飞机的油箱余油量为 吨，加油飞机的加 油油箱的余油量为吨，加油时间为 分钟， ，与 之间的函数关系如图所示.回答下列问 题： （1）加油飞机的加油油箱中装载了____吨油； 30 分层训练 构建学科思维 14 （2）求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间 （分） 之间的关系式； 解：设运输飞机的余油量与时间之间的关系式为 ， 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 所以运输飞机的余油量与时间 之间的关系式为 . 分层训练 构建学科思维 15 （3）运输飞机加完油后，以原来速度继续飞行，需10小时到达 目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由. 解：由题意，知在加油过程中，运输飞机的余油量由40吨到69吨 一共增加了29吨，所以运输飞机在加油过程10分钟内一共耗掉了 1吨油. 所以每分钟的耗油量为 （吨）. 所以10小时耗油量为 （吨）. 因为 ，所以油料够用. 分层训练 构建学科思维 16 6.某市政府为民生办实事，将污染多年的河流进行绿化改造，现 需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠． 设该市购买的景观树树苗棵数为 棵，方案一所需 费用，方案二所需费用 ，其 函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． 分层训练 构建学科思维 17 （1）____， ______； 21 3000 （2）求每棵树苗的原价； 解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元， 所以每棵树苗的原价是 （元）. 分层训练 构建学科思维 18 （3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式 ，并说 明 的实际意义； 解：因为方案二中的树苗打九折优惠， 所以按照方案二购买的每棵树苗的价格为 （元）. 根据题意，得 ， 的实际意义是每棵树苗打九折后的价格为27元. 分层训练 构建学科思维 19 （4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用 更少？请说明理由． 解：采用方案一购买所需费用更少.理由如下： 由可知，， ， 当时， ， . 因为 ， 所以若该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少. 分层训练 构建学科思维 20 $第四章 一次函数 2 认识一次函数 第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例 函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 在方案选择问题中认识一次函数与正比例函数 1.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某 一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择. 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱．工厂需 要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费 2.4元． 分层训练 构建学科思维 3 （1）完成下表： 制作个数 费用/元 方案一 方案二 5000 20000 _______ 12000 _______ 44800 28000 48000 分层训练 构建学科思维 4 （2）若需要这种规格的纸箱 个，请分别写出两种方案中所需费 用（元）与 （个）之间的关系式. 解：方案一： ， 方案二： ． 分层训练 构建学科思维 5 （3）在（2）的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和 方案二的费用相同？ 解：根据题意，得 ， 解得 . 答：需要制作10000个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同． 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 2.某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10 元，超过25人的,超过的部分每人5元.当人数超过25人时,请写出 此时应收门票费用（元）与人数 （人）之间的函数关系式: _____________________. 分层训练 构建学科思维 7 3.某校组织学生到距学校6千米的光明科技馆参观,学生王红因故 没能乘上学校的校车,于是准备在学校门口改乘出租车去光明科 技馆,出租车收费标准如下： 里程/千米 收费/元 3千米以下（含3千米） 8.00 3千米以上，每增加1千米 1.80 分层训练 构建学科思维 8 （1）设出租车收费为元，行驶的里程为千米，当 时，求 与 之间的关系式； 解:根据题意,得当 时, . 分层训练 构建学科思维 9 （2）王红同学身上仅有14元，则她乘出租车到光明科技馆这些 钱够不够用?请说明理由. 解:王红同学乘出租车到光明科技馆这些钱够用.理由如下: 把代入 ，得 , 所以王红乘出租车到光明科技馆这些钱够用. 分层训练 构建学科思维 10 4.周末,小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩.已知该杨梅园 内的杨梅单价是每千克40元.为满足游客需求,该杨梅园现推出两 种不同的销售方案: 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折 收费；#1.1 分层训练 构建学科思维 11 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以 内按原价收费,超过10千克后,超过部分按原价的五折收费. 设采摘量为千克,按甲方案所需总费用为 元，按乙方案所需总 费用为 元.#1.3 分层训练 构建学科思维 12 （1）当采摘量超过10千克时,分别求出,与 之间的函数关系式. 解：当采摘量超过10千克时，根据题意，得 ， . 分层训练 构建学科思维 13 （2）当采摘多少千克时,两种方案的价格相同? 解：令，则,解得 . 答：当采摘42.5千克时,两种方案的价格相同. （3）若采摘量为30千克,选择哪种方案更合算?请说明理由. 解：选择甲方案更合算.理由如下: 当时, , . 因为 ,所以选择甲方案更合算. 分层训练 构建学科思维 14 5.北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表： （以户为单位） 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含1500）的部分 2.67元/ 第二阶梯 （含2500）的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 分层训练 构建学科思维 15 根据表中所给的数据回答以下问题： （1）设某户这个冬季用气量为 ，缴纳燃 气费用为元，求与 之间的关系式； 解:当 时, . （2）某户用气量为 ，求此户需缴纳的燃气费用； 解:当时， . 答：此户需缴纳的燃气费用为5580元. 分层训练 构建学科思维 16 （3）已知某户该冬季缴纳燃气费用为5895元，求该户用了多少 立方米的燃气. 解:设该户用了 的燃气. 当用气量为时,费用为 （元） 元， 分层训练 构建学科思维 17 当用气量为时，费用为 （元） 元. 所以该用户燃气用量属于第二阶梯. 所以，解得 . 答：该户用了 的燃气. 分层训练 构建学科思维 18 $第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 单个一次函数图象的应用 1.如图，一个条形测力计不挂重物时长 ， 挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与 所挂重物的质量成正比，弹簧总长 关于 C A.15 B.18 C.20 D.33 所挂物体质量的函数图象如图所示，则图中 的值是( ) 分层训练 构建学科思维 3 2.某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普 遍下降，如图是某水库蓄水量 （万立方米）与 干旱持续时间 （天）之间的关系图.请你根据此 图填空. （1）水库原蓄水量是_______万立方米，干旱持续10天，蓄水量 为_____万立方米; 1 000 800 分层训练 构建学科思维 4 （2）若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报， 则持续干旱____天后，将发出严重干旱预报.按此规律,持续干旱 ____天时,水库的水将干涸. 30 50 3.某公司准备租用货车将一批新鲜蔬菜运往外地. 租车费用（元）与行驶里程 的关系如图所 示，则行驶里程为 时的费用是_____元. 740 分层训练 构建学科思维 5 4.节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，用可以 显示水量的容器做如图1所示的试验，并根据试验数据绘制出如 图2所示的容器内盛水量与滴水时间 之间的关系的函数 图象，结合图象解答下列问题： 分层训练 构建学科思维 6 （1）求与 之间的函数关系式； 解：由图象，可知与之间是一次函数关系，所以设与 之间 的函数关系式为 . 由图象，知，图象经过点 . 所以，解得 . 所以与之间的函数关系式为 . （2）计算在这种滴水状态下，经过一天 ，容器内的盛水量 是____ . 9.9 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 一次函数与一元一次方程 5.（1）一元一次方程 的解是________； （2）已知函数，当____时，函数值 ； （3）直线与 轴的交点坐标是________； （4）由上述问题可知，一元一次方程 的解就是一次函 数当 时所对应的___的值；从图象上看，就是一 次函数 的图象与___轴交点的________. 横坐标 分层训练 构建学科思维 8 6.已知关于的方程的解是 ，则一次函数 的图象与 轴的交点坐标是______. 分层训练 构建学科思维 9 7.如图是函数，是常数，且 的图象，利用图象直接写出： （1）方程 的解是______； （2）方程 的解是______； （3）方程 的解是________. 分层训练 构建学科思维 10 8.已知一次函数 的图象如 图所示，则方程 的解可能 是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 9.已知一次函数的图象如图所示，则 是方程 ___________的解. 分层训练 构建学科思维 12 10.小蕾家与外婆家相距 ，她假期去看望 外婆，返回时，恰好有一辆顺风车可以带小蕾 到 服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭 乘顺风车到服务区，爸爸驾车到 服务区接小 蕾回家.两人在 服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸 爸的车以 的速度返回家中.返回途中，小蕾与自己家的距 离和时间 之间的关系大致如图所示. 分层训练 构建学科思维 13 （1）求小蕾从外婆家到服务区的过程中，与 之间的函数关 系式 ； 解：设与 之间的函数关系式为 ，根据题意，得 ， .② 将①代入②，得 . 所以与 之间的函数关系式为 . 分层训练 构建学科思维 14 （2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？ 解：把代入 ，得 . 从服务区到家的时间为 . 所以 . 答：小蕾从外婆家回到自己家共用了 . 分层训练 构建学科思维 15 11.已知汽车出发前油箱有油 ，行驶若干小时后，在加油站加 油若干升．汽车从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间 之间的关系如图所示． （1）汽车行驶___后加油，中途加油____ ； 3 31 分层训练 构建学科思维 16 （2）写出加油前油箱剩余油量与行驶时间 之间的关系式 ,其中和 的实际意义分别是什么？ 解：根据题意，得， ，②将①代入②,得 . 所以加油前与 之间的关系式为 ． 表示每小时汽车的耗油量, 表示出发前油箱的油量. 分层训练 构建学科思维 17 （3）已知加油前、后汽车都以 的速度匀速行驶，如果加 油站距目的地 ，那么要到达目的地，油箱中的油是否够 用？请说明理由． 解：要到达目的地，油箱中的油不够用．理由如下： ， . 因为 ， 所以要到达目的地，油箱中的油不够用． 分层训练 构建学科思维 18 12.小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发， 匀速相向而行.小李的速度大于小王的速度，小 李到达乙地后，小王继续前行.设出发 后， 两人相距 ，如图所示，折线表示从两人出 发至小王到达甲地的过程中与 之间的函数关系.下列说法错误 的是( ) 分层训练 构建学科思维 19 A.点的坐标意义是甲、乙两地相距 B.由点，可知出发，小李、小王共走了 C.点表示小李、小王相遇，点 的横坐标为0.75 D.线段 表示小李到达乙地后，小王步行至甲地的运动过程 √ 分层训练 构建学科思维 20 $第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 两个一次函数图象的应用 第1题图 1.如图，射线， 分别表示甲、乙两名运动员 在自行车比赛中所行路程与时间 的函 数图象，则他们行进的速度关系是( ) B A.甲、乙同速 B.甲比乙快 C.乙比甲快 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.（南通中考）甲、乙两人沿相同路线由 地 到 地匀速前进，两地之间的路程为 ．两人前进路程单位： 与甲的前 进时间单位： 之间的对应关系如图所 示．根据图象信息，下列说法正确的是 ( ) D A.甲比乙晚出发 B.乙全程共用 C.乙比甲早到地 D.甲的速度是 分层训练 构建学科思维 4 3.小明和小亮相约从学校前往博物馆，小明因有事， 比小亮晚一些出发.如图，， 分 别是小明、小亮行走的路程 与小明追赶时间 之间的关系. （1）观察图象，可知小亮比小明先走了_____ ； 100 分层训练 构建学科思维 5 （2）求，的值，并解释 的实际意义. 解：将点 代入 中，得 . 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 的实际意义是小亮的速度是 . 分层训练 构建学科思维 6 4.李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的 水，甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内，水温 与加热时 间 之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图 象如下： （1）加热前水温是____ ； 20 分层训练 构建学科思维 7 （2）求乙壶中水温关于加热时间 的函数解析式； 解：设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为 ， 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 所以乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为 . （3）当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是____ . 65 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 看图象做决策 5.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案. 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成. 下图中的射线、射线 分别表示该鲜花销售公 司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资 （元）和（元）与其当月鲜花销售量 （千克） 的函数关系. 分层训练 构建学科思维 9 （1）分别求，与 的函数表达式； 解：设 ，根据题意，得 ，解得 . 所以 . 设，根据题意，得 ，① ，② 将①代入②，得 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 10 （2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千 克，但其3月份的工资超过2 000元，则该公司采用了方案____给 这名销售人员付3月份的工资. 一 分层训练 构建学科思维 11 6.（济南中考）学校提倡“低碳环保，绿色出 行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上 学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路 匀速前进．如图所示，和 分别表示两人到 小亮家的距离和时间 的关系，则出 发_____ 后两人相遇． 0.35 分层训练 构建学科思维 12 7.（河南中考）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠 活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠. 分层训练 构建学科思维 13 设某学生暑期健身 （次），按照方案一所需费 用为（元），且 ；按照方案二所 需费用为（元），且 ，其函数图象如 图所示. 分层训练 构建学科思维 14 （1）求和 的值，并说明它们的实际意义； 解：根据图象，得 ，且当 时， ， 所以 . 解得 . 分层训练 构建学科思维 15 表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身 费用为15元. 表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元. 分层训练 构建学科思维 16 （2）求打折前的每次健身费用和 的值； 解：根据题意，得打折前的每次健身费用为 （元）. 则 . 分层训练 构建学科思维 17 （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种 方案所需费用更少？请说明理由. 解：选择方案一所需费用更少.理由如下： 根据，可知， . 当健身8次时， 分层训练 构建学科思维 18 选择方案一所需费用为 （元）； 选择方案二所需费用为 （元）. 因为 ， 所以选择方案一所需费用更少. 分层训练 构建学科思维 19 8.用充电器给某手机充电时，其屏幕的起 始画面如图1.经测试，在用快速充电器和 普通充电器对该手机充电时，其电量 与充电时间 的函数图象分别为 （1）在目前电量 的情况下，用充电器给该手机充满电时， 快速充电器比普通充电器少用___小时； 4 图2中的线段， .根据以上信息，回答下列问题： 分层训练 构建学科思维 20 （2）求线段， 对应的函数表达式； 解：设线段 对应的函数表达式为 ， 根据题意，得， .② 将①代入②，得 . 所以线段对应的函数表达式为 . 分层训练 构建学科思维 21 设线段对应的函数表达式为 ， 根据题意，得， .④ 将③代入④，得 . 所以线段 对应的函数表达式为 . 分层训练 构建学科思维 22 （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时 ，在目前电量 的情况下，用快速充电器将其充满电后，正常使用 ，接 着再用普通充电器将其充满电，其“充电-耗电-充电”的时间恰好 是，求 的值. 解：根据题意，得 ， 解得 . 分层训练 构建学科思维 23 $第四章 一次函数 1 函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 函数的有关概念 1.下列关于变量，的关系，其中不是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.下列各图中,是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 3.下列关系式中，不是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.下列对函数的认识正确的是( ) D A.若是的函数，则也是 的函数 B.两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表达 C.若是的函数，则当取一个值时，一定有唯一的 值与它对应 D.某地一天的温度与时间 之间存在函数关系 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 函数的表示方法 5.下面的表格列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处落 下时，弹跳高度与下降高度 的关系，下面能表示这种关系的式 子是( ) 50 80 100 150 25 40 50 75 C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电 话，李老师急忙赶回学校.下面四个图象中，能描述李老师与学 校距离随时间 变化的图象是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.（教材P77习题 变式）蛇的体 温随外部环境温度的变化而变化. 下图表示一条蛇在两昼夜之间的体 温变化情况. （1）第一天，蛇的体温的变化范围是什么？它的体温从最低上 升到最高需要多长时间？ 解：观察图象，可得第一天，蛇的体温变化范围是 ， 它的体温从最低上升到最高需要 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）若用表示时间， 表示蛇的体温，将相应数据填入 下表： 4 12 20 28 32 40 48 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 35 39 39 35 36 40 36 （3）是 的函数吗？并说说你的理由. 解：是的函数.因为对于的每一个确定的值， 都有唯一的值 与其对应. 分层训练 构建学科思维 9 知识点3 自变量的取值范围及函数值 8.【新考向：数学文化】据史书记载，漏刻是 中国古代的一种计时工具（如图所示），是古 代人民对函数思想的创造性应用.研究发现，水 位与时间满足 ，当 时， 的值为( ) B A.4.4 B.10 C.15 D.20 分层训练 构建学科思维 10 9.已知三角形的面积为，一边长为 ，这边上的高为 . （1）写出与 之间的关系式； 解： . （2）写出自变量 的取值范围； 解：自变量的取值范围是 . （3）若，求 的值. 解：当时， . 分层训练 构建学科思维 11 10.如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进， 途中由于遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，为了按 时到单位，小刚加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到单位. 小刚行进的路程（千米）与行进时间 （时）的函数图象的示意 图，你认为正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 11.（达州中考）下图是一个运算程序示意图，若开始输入 的值 为3，则输出 的值为___. 2 分层训练 构建学科思维 13 12.某商场为了刺激消费，通过薄利多销来减少库存.现将一商品 在保持销售价60元/件不变的前提下，规定凡购买超过5件，超出 的部分打六折出售. （1）若购买3件该商品，则应付_____元；若购买7件该商品，则 应付_____元； （2）若顾客购买件该商品，应付元，则与 之间的关 系式是_____________________. 180 372 分层训练 构建学科思维 14 13.如图，在长方形中， ， ，点在边上运动，设 ，图 中阴影部分的面积为 . （1）写出阴影部分的面积与之间的关系式和自变量 的取值范 围，并求出 面积的最大值； 解：根据题意，得 ，自变量的取值范围是 . 当时，的面积最大，最大面积为 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）当点 在什么位置时，阴影部分的面积等于20？ 解：当时，，解得 . 所以当 时，阴影部分的面积等于20. 分层训练 构建学科思维 16 14.【新考向：跨物理学科】在一定限度内，弹簧挂上物体后会 伸长，测得一弹簧长度与所挂物体质量 有如下关系 （假设都在弹性限度内） 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）由表格可知，弹簧原长为____，所挂物体每增加 ， 弹簧伸长____ ； 12 0.5 分层训练 构建学科思维 17 （2）请写出弹簧长度与所挂物体质量 之间的关系式； （不必写出自变量的取值范围） 解： . （3）当所挂物体质量为 时，弹簧长度是多少？ 解：当时， . 答：当所挂物体质量为时，弹簧长度为 . 分层训练 构建学科思维 18 （4）当弹簧长度为 时，求所挂物体的质量． 解：当时，，解得 . 答：当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 ． 分层训练 构建学科思维 19 $第四章 一次函数 核心素养专练 1 1.【几何直观】如图，在平面直角坐标系中有， ， ， 四个点，其中恰有三点在一次函数 的图象上.根据图中四点的位置，判 断这四个点中不在函数 的图象上的点是 ( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 分层训练 构建学科思维 2 2.【数学文化】【应用意识】《算法统宗》中有这样的叙述，“三 百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半.”大意是：要 去路程为378里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天以 后，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程.设第一天行走 里， 则此人第三天晚上距离关口的路程（里）关于 的函数关系式为 _ ______________. 分层训练 构建学科思维 3 3.【几何直观、应用意识】（舟山中考）小红帮弟弟荡秋千 （如图1），秋千离地面的高度与摆动时间 之间的关系如 图2所示. 分层训练 构建学科思维 4 （1）根据函数的定义，请判断变量是否为关于 的函数？ 解：由图象，可知对于每一个摆动时间， 都有唯一确定的值与 其对应， 所以变量是关于 的函数. 分层训练 构建学科思维 5 （2）结合图象回答： ①当时， 的值是多少？并说明它的实际意义. [答案] 由函数图象，可知 当时，，它的实际意义是秋千摆动 时， 离地面的高度是 . ②秋千摆动第一个来回需多少时间？ [答案] 由图象，可知秋千摆动第一个来回需 . 分层训练 构建学科思维 6 4.【运算能力、创新意识】如图，是一个“函数求值机”的示意图， 其中是 的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几 组与 的对应值. 输入 … 0 2 … 输出 … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： 分层训练 构建学科思维 7 （1）当输入的值为1时，输出 的值为 ___； 8 （2）求， 的值； 解：将和分别代入，得 ， ,② 将②代入①，得，解得 . 分层训练 构建学科思维 8 （3）当输出的值为0时，求输入 的值. 解：令，由，得 ， 所以 （舍去）. 由，得 ， 解得 . 所以输出的值为0时，输入的值为 . 分层训练 构建学科思维 9 5.【运算能力、推理能力】将长为，宽为 的长方形白 纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为 .纸条长 度与白纸张数 （张）的关系可以用下表表示. 白纸张数 （张） 1 2 3 4 5 … 纸条长度 20 54 71 … 分层训练 构建学科思维 10 （1）表格中____， ____； 37 88 （2）直接写出与 的关系式； 解：由题意，知与 的关系式为 ，即 . 分层训练 构建学科思维 11 （3）要使粘合后的长方形周长为 ，则需要用多少张这 样的白纸？ 解：粘合后的长方形周长为时， . 当时，，解得 . 所以需要用59张这样的白纸. 分层训练 构建学科思维 12 $第四章 一次函数 教材回归（三） 一次函数图象与字母系数的关系 （针对教材P106复习题 ） 1 教材母题【教材P106复习题 】已知一次 函数的图象如图所示，则， 的 取值范围是( ) D A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 2 类型1 由一次函数图象判断字母系数的符号 1.已知关于的一次函数 的图象如图 所示，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.在平面直角坐标系中，若直线 经过第一、二、三象 限，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 3.一次函数的图象如图所示，则 ______. 分层训练 构建学科思维 4 类型2 由字母系数的符号判断一次函数图象 4.已知点在第二象限内，则一次函数 的图象大 致是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.已知点，在直线 上，当 时，，且 ，则在平面直角坐标系中，它的 图象大致是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 类型3 两个一次函数图象的共存问题 6.（陕西中考）在同一平面直角坐标系中，函数 和 为常数， 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.两个一次函数和 在同一平面直角坐标系 中的图象可能是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，在同一平面直角坐标系中，表示一次函数 与 正比例函数，是常数，且 的图象可能是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 $第四章 一次函数 综合与实践 1 1.（广西中考）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计， 一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作 简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调 试，请完成下列方案设计中的任务，#1 分层训练 构建学科思维 2 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠 杆原理推导得：，其中秤盘质量 克， 重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为 厘米， 秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为 厘米.#1.1 分层训练 构建学科思维 3 【方案设计】目标：设计简易杆秤. 设定， ，最大可称 重物质量为1 000克，零刻线与末刻 线的距离定为50厘米. 分层训练 构建学科思维 4 任务一：确定和 的值. （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关 于， 的方程； 解：根据题意，得， ， 因为， ， 所以.所以 . 分层训练 构建学科思维 5 （2）当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻 线时，杆秤平衡，请列出关于， 的方程； 解：根据题意，得， ， 所以 ， 所以 . （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和 的值； 解：将代入，得，所以 . 分层训练 构建学科思维 6 任务二：确定刻线的位置. （4）根据任务一，求关于 的函数解析式； 解：由（3），可知， ， 所以 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出 相邻刻线间的距离. 解：由（4），可知 ， 当时，则有 . 所以相邻刻线间的距离为5厘米. 分层训练 构建学科思维 8 $第四章 一次函数 3 一次函数的图象 第2课时 一次函数的图象与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一次函数的图象 1.（永州中考）已知一次函数的图象经过点 ，则 ___. 1 分层训练 构建学科思维 3 2.（通辽中考）在平面直角坐标系中，一次函数 的图 象是( ) D A. B. C. D. 3.（凉山州中考）一次函数 的图象一定不经过 ( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分层训练 构建学科思维 4 4.（沈阳中考）已知一次函数 的图象如 图所示，则， 的取值范围是( ) B A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 5 5.在图中画出一次函数的图象,并求此直线与轴、 轴 的交点坐标. 题图 分层训练 构建学科思维 6 解图 解:令,则.即该直线经过点 . 令,则,即该直线经过点 . 其图象如解图所示.该直线与 轴的交点坐标 为,与轴的交点坐标为 . 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 一次函数的性质 6.（长沙中考）下列一次函数中，随 的增大而减小的函数是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.关于一次函数 ，下列说法正确的是( ) B A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与轴交于点 C.函数值随自变量 的增大而减小 D.图象与直线 平行 分层训练 构建学科思维 9 8.（郴州中考）在一次函数中，随 的增大而增 大，则 的值可以是 ___.（任写一个符合条件的数即可） 9.已知一次函数，点， 在其图象上， 则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 3 【变式】 在平面直角坐标系中，一次函数 的 图象上有两点和，当时，___ . （填“ ”“ ”或“ ”） 分层训练 构建学科思维 10 10.【新考向：结论开放性】（长春中考）已知直线 、是常数经过点，且随 的增大而减小，则 的值可以是_________________.（写出一个即可） 2（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 11 知识点3 一次函数图象的平移 11.（无锡中考）将函数 的图象向下平移2个单位长度， 所得图象对应的函数表达式是( ) A A. B. C. D. 12.要得到直线，可以将直线 向____ （填“上”或“下”）平移___个单位长度. 13.若直线是由直线 向上平移5个单位长度得到的， 则直线 的函数表达式为__________. 上 2 分层训练 构建学科思维 12 易错点 忽视函数图象存在的多样性而漏解 14.已知一次函数的图象不经过第一象限，则， 的 取值范围是______________. ， 【点拨】一次函数图象不过第一象限，可能经过第二、三、四象 限，也可能只过第二、四象限，分类讨论解答. 分层训练 构建学科思维 13 15.（兰州中考）一次函数的函数值随 的增大而减小， 当时， 的值可以是( ) D A.2 B.1 C. D. 分层训练 构建学科思维 14 16.已知正比例函数的函数值随 值的增大而增大， 则一次函数 在平面直角坐标系内的图象大致是 ( ) C A. B. C. D. 17.已知一次函数，当时，函数 的最大 值为___. 8 分层训练 构建学科思维 15 题图 18.在一次函数的学习中，我们经历了“画出函 数的图象——根据图象研究函数的性质—— 运用函数的性质解决问题”的学习过程.结合上 面的学习过程，解决下面的问题：对于函数 . 分层训练 构建学科思维 16 （1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出 函数 的图象； 解：函数 的图象如解图所示. 解图 分层训练 构建学科思维 17 （2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有____; （填序号） ①当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小； ②当 时，此函数有最大值，为2； ③此函数的图象关于 轴对称; ③ 分层训练 构建学科思维 18 （3）已知点，，那么在函数 的图 象上是否存在一点，使得 的面积为21？若存在，求出所 有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 分层训练 构建学科思维 19 解：存在.因为， ， 所以 . 因为 的面积为21， 所以，即,所以 . 当时，，解得或 . 所以点的坐标为或 . 分层训练 构建学科思维 20 微专题3 一次函数图象的平移规律 【方法指导】（1）直线向上平移 个单位长度 得到直线，向下平移 个单位长度得到直 线 ，简记为“上加下减常数项”; （2）直线向左平移 个单位长度得到直线 ，向右平移 个单位长度得到直线 ，简记为“左加右减自变量”; （3）直线和直线平行 且 . 分层训练 构建学科思维 21 1.（黄石中考）将直线向左平移 个单位长度 后经过点，则 的值为___. 2.将直线 向下平移2个单位长度，相当于向右平移___ 个单位长度. 3.已知直线与直线 平行，且与两坐标 轴围成的三角形的面积为6，则 _______. 3 1 6或 分层训练 构建学科思维 22 $第四章 一次函数 2 认识一次函数 第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例 函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一次函数与正比例函数的概念 1.（2025·泉州期中）下列函数中，一定是 的一次函数的是 ( ) A A. B. C. D. 2.（2025·上海）下列函数中，是正比例函数的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是( ) A A. B. C. D. 4.对于函数，当____时，它是关于 的正 比例函数；当_____时，它是关于 的一次函数. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 根据条件列一次函数关系式 5.已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如下表，则 与 之间的关系式可以是( ) … 0 1 2 … … 0 2 4 … A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 6.水池中有水，此后每小时漏水，水池中的水量 单位：随时间单位：的变化而变化，当时， 与 之间的关系式是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 7.在登山过程中，海拔每升高，气温下降 .已知某登山大 本营所在位置的气温是 ，登山队员从大本营出发登山，当海 拔升高时，所在位置的气温是，那么与 之间的关系式 是_____________. 分层训练 构建学科思维 7 8.（教材P81例1变式）写出下列各题中两变量之间的关系式，并 判断：它们是否为一次函数？是否为正比例函数？ （1）某小区的物业费是按房屋面积每平方米3元/月来收取的， 该小区业主每个月应缴的物业费（元）与房屋面积 之间 的关系； 解：，是 的一次函数，也是正比例函数. 分层训练 构建学科思维 8 （2）小明响应号召植树节去植树，小树原高 ，老师告诉 小明这种树平均每年长，小树高与年数 （年）之间 的关系； 解：，是的一次函数，但不是 的正比例函数. （3）某影院共有50排座位，第一排有30个座位，后面每排比前 一排多1个座位，每排的座位数与这排的排数 之间的关系. 解：，是的一次函数，但不是 的正比例函数. 分层训练 构建学科思维 9 知识点3 一次函数中, 的值及实际意义 9.中国茶文化博大精深,祁门红茶在国内外享有盛誉，并被评为 “中华十大名茶”.泡茶时，水温很有讲究.兰兰同学在煮茶时发现 在一定时间内，水温是时间 的一次函数，并且时间 每增加，温度就升高.某次兰兰用 的水温开始煮茶， 设水温与时间之间的关系式为 . 分层训练 构建学科思维 10 （1）写出与 之间的关系式:____________. （2）的实际意义为____________________， 的实际意义为 ______________________. 每分钟水温的变化量 刚开始煮茶时水的温度 分层训练 构建学科思维 11 易错点 因忽略一次函数的比例系数不为零出错 10.（1）已知是一次函数，则 的值是___; 4 【点拨】根据一次函数的定义，可知且 ， 解题时易忽略条件“ ”. （2）【（1）变式】若函数是关于 的正 比例函数，则它的关系式是 ____. 【点拨】根据正比例函数的定义，得且 ，进 一步求 的值确定关系式. 分层训练 构建学科思维 12 11.某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入280元，每超 额生产一个零件，可增加收入15元.写出该工人一天的收入 （元） 与他生产的零件数量 （个）之间的关系式：______________. 分层训练 构建学科思维 13 12.“元旦”假期，小明和家人一起开车从家出发到距家300千米的 某景区旅游，已知小明家有两辆车（出发前油箱均已加满，假设 行驶过程中汽车的耗油量均匀），混动车的剩余油量 （升）与 行驶路程（千米）之间的关系式为 ，燃油车的 剩余油量（升）与行驶路程 （千米）之间的关系式为 .回答下列问题： 分层训练 构建学科思维 14 （1）说明 中0.05的实际意义，并说明哪辆车的油箱更大. 解：0.05表示混动车每千米的耗油量为0.05升，燃油车油箱容量 为55升，混动车油箱容量为50升,所以燃油车油箱更大. （2）当汽车到达景区时，求剩余油量, 的值. 解：当时， , . 分层训练 构建学科思维 15 （3）当油箱中油量不超过4升时，汽车仪表盘油灯将自动报警, 则当油灯刚好自动报警时，混动车比燃油车多行驶多少千米？ 解：当时， ，解得 ,解得 . （千米）. 答：当油灯刚好自动报警时,混动车比燃油车多行驶410千米. 分层训练 构建学科思维 16 13.将“ ”和“ ”按如图所示的方式有规律的排列. 分层训练 构建学科思维 17 （1）设图中“ ”的个数为，“ ”的个数为，则与 之间 的关系式为__________，与 之间的关系式为________. （2）写出与 之间的关系式：___________. （3）若图中“ ”的个数与“ ”的个数之和为247,则 ____. 83 分层训练 构建学科思维 18 $第四章 一次函数 3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象与性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 正比例函数的图象 1.下列图象中，表示正比例函数图象的是( ) B A. B. C. D. 2.点在函数的图象上，则 的值是( ) B A.1 B.2 C. D.0 分层训练 构建学科思维 3 3.函数 的图象经过( ) B A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 第4题图 4.（德阳中考）正比例函数 的图象 如图所示，则 的值可能是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.（教材P93习题变式）如图，正比例函数图象经过点 ，则该 函数的表达式是_ ________. 第5题图 6.函数的图象是经过点（0，___）和点___， 的一条 直线. 0 1 分层训练 构建学科思维 5 题图 7. （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函 数和 的图象； 分层训练 构建学科思维 6 解：函数和 的图象如解图所示. 解图 分层训练 构建学科思维 7 （2）分别判断点，是否在函数 的图象上， 点，是否在函数 的图象上. 分层训练 构建学科思维 8 解：把代入，得 ； 把代入，得 . 所以点不在函数的图象上，点 在函数 的图象上. 同理，可得点在函数的图象上，点 不 在函数 的图象上. 分层训练 构建学科思维 9 知识点2 正比例函数的性质 8.关于正比例函数 ，下列结论中正确的是( ) B A.函数图象经过点 B.随 的增大而增大 C.函数图象经过第二、四象限 D.不论取何值，总有 9.（陕西中考）若点和点 在同一个正比例函数 的图象上，则( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 10.（上海中考）若正比例函数的图象经过点 ，则 的值随 的增大而 ______.（选填“增大”或“减小”） 减小 11.【新考向：结论开放性】（天津中考）若正比例函数 是常数，的图象经过第三、第一象限，则 的值可以是 __________________（写出一个即可）． 1（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 11 12.已知正比例函数，当每增加1时，减少2，则 的值为 ( ) D A. B. C.2 D. 13.若点，在正比例函数 的图象上，且当 时，，则 的值可以是( ) D A.2 B.0 C. D. 分层训练 构建学科思维 12 14.【数形结合思想】如图，在同一平面直角坐标系中， 一次函数，，， 的图 象分别是，，， ，则下列关系正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 【点拨】正比例函数中的值与图象的关系：越大，直线与 轴正方向的夹角（锐角）就越大，的值随 值的增大而增大 （或减小）得越快. 分层训练 构建学科思维 14 15.【新考向：新运算型阅读理解题】定义运算： 如： ，则函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 16.已知与成正比例函数关系，且当时， . （1）写出与 之间的函数关系式； 解：由题意，设，将， 代入，得 ，解得 . 所以，即 . （2）若点在这个函数的图象上，求 的值； 解：将代入，得 ， 解得，所以 . 分层训练 构建学科思维 16 （3）若的取值范围为，求 的取值范围. 解：当时，，解得 . 当时，，解得 . 因为随 的增大而增大， 所以的取值范围是 . 分层训练 构建学科思维 17 17.如图，已知正比例函数的图象经过点，点 在第四象 限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为3，且 的面积为3. 分层训练 构建学科思维 18 （1）求正比例函数的表达式； 解：因为点的横坐标为3，且 的面积为3， 所以点的纵坐标为.所以点的坐标为 . 因为正比例函数的图象经过点 ， 所以，解得 . 所以正比例函数的表达式为 . 分层训练 构建学科思维 19 （2）在轴上是否存在一点，使 的面积为5？若存在，求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在. 因为的面积为5，点的坐标为 ， ，所以 . 所以点的坐标为或 . （3）已知点在坐标轴上，若的面积为4，则点 的坐标 为_ ____________________________. 或或或 分层训练 构建学科思维 20 $第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第1课时 借助一次函数表达式解决简单问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 确定一次函数表达式 1.某物体在力 的作用下，沿力的方向移动的 距离为，力对物体所做的功与 的对应关系 如图所示，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（广西中考）函数的图象经过点，则 ___. 1 3.如图，一次函数的图象经过， 两点，则这个函数 的表达式为___________，点 ______该一次函 数的图象上（填“在”或“不在”）. 不在 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 借助一次函数表达式解决一些简单问题 4.随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降， 即含氧量与大气压强成正比例函数关系.当 时， . （1）含氧量与大气压强 之间的关系式是________； （2）当大气压强是时，含氧量是____ . 87 分层训练 构建学科思维 5 5.在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 是 燃烧时间的一次函数.蜡烛点燃前的高度为，燃烧 后， 蜡烛剩余部分的高度为 . （1）蜡烛燃烧时，与 之间的关系式是______________ ； （2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是____. 分层训练 构建学科思维 6 6.一次函数的图象经过点，每当 增加1个单位 长度时， 增加3个单位长度，则此函数的表达式是____________. 7.（教材P101习题T2变式）如图，一次函数 的图象经过，两点，与 轴交于点，则 的面积为____. 20 分层训练 构建学科思维 7 8.（南通中考）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据. 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/ 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是 ____ . 52 分层训练 构建学科思维 8 9.杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的 物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同.称重时，秤钩所挂物重为 （斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 （厘米）.下表为若 干次称重时所记录的一些数据，且是 的一次函数.注：秤杆上 秤砣在秤纽左侧时，水平距离 （厘米）为正，在右侧时为负. 分层训练 构建学科思维 9 斤 0 0.75 1.00 ______ 2.25 3.25 厘米 1 2 4 7 ______ （1）根据题意，完成上表 ； 解：1.50; 11 分层训练 构建学科思维 10 （2）请求出与 之间的关系式； 解：设与的关系式为 ， 根据题意，得 ，① .② 将①代入②，得 . 所以与的关系式为 . 分层训练 构建学科思维 11 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物 重是_____斤. 4.25 分层训练 构建学科思维 12 $第四章 一次函数 章末复习 一次函数 1 复习点1 函数、一次函数的相关概念 1.下列函数：，， ， ， 中，是一次函数的有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列表示与之间关系的图象中，不是 的函数的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 3.（贵州中考）今年“五一”假期，小星一家驾车 前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果 树景点的路程与所用时间 之间的函数 关系的图象如图所示，下列说法正确的是( ) D A.小星家离黄果树景点的路程为 B.小星从家出发第1小时的平均速度为 C.小星从家出发2小时离景点的路程为 D.小星从家到黄果树景点的时间共用了 分层训练 构建学科思维 3 复习点2 在实际问题中认识一次函数 4.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用 户的电费，每月用电量不超过时，按0.55元/ 计费；每月用电量超过时，其中的 仍按0.55 元/计费，超过的部分按0.6元/ 计费，设用户每月 用电量为，应交电费为 元． 分层训练 构建学科思维 4 （1）求当时，与 的函数关系式； 解：由题意，得当时，与 的函数关系式是 . 分层训练 构建学科思维 5 （2）小林家12月份交纳电费145.5元，小林家这个月的用电量为 多少？ 解：当时，应交电费为 （元），因 为 ， 所以小林家12月份用电量超过 . 当时，得,解得 . 答：小林家12月份的用电量为 ． 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 一次函数的图象与性质 5.（乐山中考）下列各点在函数 图象上的是( ) D A. B. C. D. 6.（2025·东营）一次函数的函数值随 的增 大而减小，当时 的值可以是( ) A A.3 B.2 C.1 D. 分层训练 构建学科思维 7 7.是关于的正比例函数，若点 和 在该函数的图象上，则和 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.关于一次函数 的图象，下列结论错误的是( ) B A.图象经过第一、二、四象限 B.与轴的交点坐标为 C.随 的增大而减小 D.图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 分层训练 构建学科思维 9 9.【新考向：结论开放性】（2025·天津）将直线 向 上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象 限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）． 2（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，点是正比例函数 图象上的一点， 且点在第二象限，过点作轴于点 ， 已知， ． （1）求 的值； 解：因为，，且点 在第二象限， 所以点的坐标为 ． 因为点是正比例函数 图象上的一点， 所以，解得 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）已知点关于轴的对称点为点，点关于 轴的对称点为 点 ． ①判断点 是否在该正比例函数的图象上，并说明理由； [答案] 点在正比例函数 的图象上，理由如下： 因为点关于轴的对称点为点，所以点 的坐标为 . 分层训练 构建学科思维 12 又因为点关于轴的对称点为点，所以点 的坐标为 ． 当时，.所以点在正比例函数 的 图象上. 分层训练 构建学科思维 13 ②计算 的面积． [答案] 如图，连接， ． 分层训练 构建学科思维 14 复习点4 确定一次函数表达式 11.已知一次函数的图象经过点和点 ， 且点在正比例函数 的图象上． （1）求 的值． 解：因为点在正比例函数 的图象上，所以 ，解得 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）求一次函数的解析式． 解：由（1），得点的坐标为，把点， 代入,得， ,②,将①代入②，解得 . 所以一次函数的解析式为 . 分层训练 构建学科思维 16 （3）若点， 是此一次函数图象上的两点， 试比较与 的大小． 解：在中，因为，所以随 的增大而减小. 又因为，所以 ． 分层训练 构建学科思维 17 复习点5 一次函数与一元一次方程 12.如图，一次函数 的图象经过 ，两点．则关于的方程 的 解为________． 13.若一次函数为常数，且 的图象经过点 ，则关于的方程 的解为______. 分层训练 构建学科思维 18 复习点6 一次函数的应用 14.某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户 应缴费用（元）与通话时间 （分）之间的关系 如图所示， 若某用户缴费40元，则其通话时间为( ) D A.120分钟 B.160分钟 C.180分钟 D.200分钟 分层训练 构建学科思维 19 15.（2025·陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的 条件下，气体体积与气体温度 成一次函数关系．某实 验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测 得的部分数据如表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … 分层训练 构建学科思维 20 （1）求与 的函数关系式； 解：根据表格，气体温度每升高，气体体积增大 ， 则 ， 所以与的函数关系式为 ． 分层训练 构建学科思维 21 （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止加热．求停止加热时的气体温度． 解：当时，得 ， 解得 ． 答：停止加热时的气体温度为 ． 分层训练 构建学科思维 22 $