第七章 证明 课件2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平行线的“等角转化”功能，围绕几何推理展开，从基础性质出发，通过作辅助线构建平行关系，逐步引导学生由已知角推导未知角，形成由直观感知到逻辑论证的学习支架，前后知识衔接自然，符合认知发展规律。 其亮点在于巧妙融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“过点作平行线”为突破口，凸显几何直观与推理能力，如解图1中通过EF实现∠B与∠C的转化，体现符号意识与逻辑推理的统一。教学设计注重问题驱动与分层探究，既培养学生的空间观念和创新意识，又提升教师课堂组织与思维引导能力，助力学生建立结构化几何思维，促进深度学习。

第七章 证明 3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 平行线的性质 第1题图 1.（2025·湖北）数学中的“ ”可以看作是两条平 行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所 示．若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.（2025·德阳）如图，一条水渠两次转 弯后和原来方向相同，如果第一次拐角 ，则第二次拐角 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.（2025·绥化）如图，是 的平分 线，， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.（通辽中考）将三角尺 按如图位置摆 放，顶点落在直线上，顶点落在直线 上，若， ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.（陕西中考）如图， ， ， ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.（教材P196习题变式）如图，已知， ，则 与 相等吗？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 8 解： .理由如下： ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 9 知识点2 平行线的性质与判定的综合应用 第7题图 7.如图，与相交于点.若 ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 第8题图 8.如图，若 ，则下列结论 正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 9.补全求解过程，并在括号内填写根据. 如图，，， .求 的度数. 解： （已知）， （________________________）. （已知）， 内错角相等，两直线平行 分层训练 构建学科思维 11 _________（平行于同一条直线的两条直线平行）. （________________________）. （已知）， （等量代换）. 两直线平行，同位角相等 分层训练 构建学科思维 12 第10题图 10.【新考向:跨物理学科】光线在不同介质中的传 播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时， 要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的 光线，在空气中也是平行的．如图，若 ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 第11题图 11.（陕西中考）如图，， ．若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 第12题图 12.（教材P198复习题T7变式）如图,直线, 被直 线，所截， .若 ， 则 的度数为______. 分层训练 构建学科思维 15 13.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案.若 ，则 的 度数为______. 第13题图 分层训练 构建学科思维 16 14.如图，， ， ， . （1）求证： ； 分层训练 构建学科思维 17 证明：， ， . ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 18 （2）若 ，求 的度数. 解：，， . . ， . ， . 分层训练 构建学科思维 19 15.如图，已知， ，点是射线 上一动点 （点与点不重合），，分别平分和 ，交射 线于点， .（推理时不需要写出每一步的理由） （1） 的度数为_____； 分层训练 构建学科思维 20 （2）当点运动时，与 的大小关系是否发生变化？若 不变，请找出它们的关系，并说明理由；若变化，请找出变化规律； 解：与的大小关系不变. .理由如下： ， ， . 平分 ， . . 分层训练 构建学科思维 21 （3）当点运动到使时，求 的度数. 解： ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 22 . , ， ， . . 分层训练 构建学科思维 23 $第七章 证明 综合与实践 1 1.综合与实践： 【课题学习】平行线的“等角转化”功能.#1.1 如图1，已知点是外一点，连接、 .求 的度数. 解：过点作 ， ______， . 分层训练 构建学科思维 2 又 ， ______. ____________________________________ 图1 续表 分层训练 构建学科思维 3 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程； 解：; 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角 转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关 系，使问题得以解决. 分层训练 构建学科思维 4 【方法运用】 （2）如图2，已知，,交于点， ，在 图2的情况下求 的度数； 图2 分层训练 构建学科思维 5 解图1 解：如解图1，过点作 . ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 6 ， . . . 分层训练 构建学科思维 7 【拓展探究】 （3）如图3，已知，,分别平分和 ，且 、所在直线交于点，过点作，若 ， 在图3的情况下求 的度数. 图3 分层训练 构建学科思维 8 解图2 解：如解图2，过点作 . ， . . 平分 ， . 分层训练 构建学科思维 9 设 ，则 ， . ，， . . ， . ， . 分层训练 构建学科思维 10 平分 ， . ， . . . 分层训练 构建学科思维 11 $第七章 证明 1 为什么要证明 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识证明的必要性 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是 ( ) D A.只需观察就可以得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自试验得出 D.必须进行有根据的推理 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，比较线段， 的长短，再用刻度尺量一下，看看你的观 察结果是否正确. （1） 解： . （2） 解： . 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 推理论证 3.下面结论推理合理的是( ) D A.今天阴天，则明天必定下雨 B.同旁内角相等，则这两条直线一定相交 C.三个连续正整数的和一定能被4整除 D.不透明袋子中装有1个蓝球和3个红球，从中任取两个球,一定能 取到红球 分层训练 构建学科思维 5 4.下列推理正确的是______（填序号）. ②③ ①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只 大了5岁，因为明年弟弟长大了1岁； ②如果，，那么 ； ③全等三角形的对应角相等； ④与 相等，原因是它们看起来大小差不多； ⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角. 分层训练 构建学科思维 6 5.，，，， 五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三 强.说：“如果我进入，那么也进入.” 说：“如果我进入，那么 也进入.”说：“如果我进入，那么也进入.” 说：“如果我进入， 那么 也进入.”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 分层训练 构建学科思维 7 6.某公园计划砌一形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为 图2的形状，且外圆直径不变，喷水池边缘的高度、宽度不变， 你认为砌喷水池的边缘( ) C A.图1需要的材料多 B.图2需要的材料多 C.图1、图2需要的材料一样多 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 8 7.在学习中，小明发现：当，2，3时， 的值都是负 数.于是小明猜想：当为任意正整数时， 的值都是负数. 小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 解：不正确.理由如下：因为当时，,当 时，，由此进一步推断可知，当 时， 的值都不是负数. 分层训练 构建学科思维 9 8.甲、乙、丙三人参加数学竞赛，其中前4题是选择题，每题1分， 每题有， 两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案 和得分如下表，若一个人要想选择题取得4分，他应该选择 ( ) 分层训练 构建学科思维 10 得分 甲 乙 丙 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 11 $第七章 证明 章末复习 证明 1 复习点1 定义、命题、定理与证明 1.下列语句中属于定理的是( ) D A.在直线上取一点 B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.同位角相等 D.三角形任意两边之和大于第三边 分层训练 构建学科思维 2 2.能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是 ( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 3.将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果 ，那么……”的形式:__________________________________ _________________． 如果两条直线平行于同一条直线，那 么这两条直线平行 分层训练 构建学科思维 3 4.（教材P198复习题T5变式）小郑发现: 是无理数， 是无理数， 是无理数.于是他猜想:两个无理数的 差一定还是无理数，你认为他的猜想正确吗？为什么？ 解：不正确.理由如下： 是无理数， ，0是有理数. 故他的猜想不正确. 分层训练 构建学科思维 4 复习点2 平行线的判定 5.如图，以下四个条件，其中能判定 的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 6.如图，已知直线，垂足为，且 ，则当 _____时， . 分层训练 构建学科思维 6 7.如图， ，平分， . 求证： . 证明：平分, , , . , . . 分层训练 构建学科思维 7 复习点3 平行线的性质 8.（2025·苏州）如图，在， 两地间修一条笔直 的公路，从地测得公路的走向为北偏东 ．若 ，两地同时开工，要使公路准确接通，则 的 度数应为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 9.（2025·自贡）如图，一束平行光线穿过一张 对边平行的纸板，若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 10.一副直角三角板按如图所示的方式摆放， 点在的延长线上，当 时， 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 第11题图 11.（南充中考）如图，两个平面镜平行 放置，光线经过平面镜反射时， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 12.如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使 ，，则 的度数为______. 第12题图 分层训练 构建学科思维 11 13.如图，，， ， 求证： ． 分层训练 构建学科思维 12 证明： ， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 13 ， ， ， ，即 ． 分层训练 构建学科思维 14 复习点4 平行线的性质与判定的综合 14.如图，已知， ，则 的度数为______． 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，点，，在一条直线上，， ， 则 _____． 分层训练 构建学科思维 16 16.如图，已知，，交 的延 长线于点 ． （1）求证： ； 证明： ， . ，， . 分层训练 构建学科思维 17 （2）若 ，，求 的度数． 解：， ， ，， . . ， ， . ， ． 分层训练 构建学科思维 18 $第七章 证明 2 认识证明 第2课时 定理与证明 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 公理、定理 1.下列关于公理和定理说法不正确的是( ) B A.公理和定理都是真命题 B.公理就是定理,定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明 分层训练 构建学科思维 3 2.下列不是公理的是( ) A A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.同位角相等，两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等 3.“直角三角形的两个锐角互余”是______（填“定义”“公理”或“定 理”）. 定理 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 证明 4.在证明过程中可以作为推理依据的是( ) B A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理 C.命题 D.真命题 5.如果，，那么 .这个推理的依据是______________ ___________________. 平行于同一条 直线的两条直线平行 分层训练 构建学科思维 5 6.填空： 如图，已知， ，则可推得 . （已知）， ___ （__________________________）. 两直线平行，同旁内角互补 理由如下： 分层训练 构建学科思维 6 （已知）， ___ （__________）. （__________________________）. 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 分层训练 构建学科思维 7 7.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理. （1）如图，若，则 ； 解：内错角相等，两直线平行，是定理. 分层训练 构建学科思维 8 （2）在和中，，， ， 则 ； 解：两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形 全等，是定理. （3）如果，，那么 . 解：等量代换，是公理. 分层训练 构建学科思维 9 8.（广安中考）如图，点是 外一点，连接 、，与交于点 .下列三个等式： ;; .请从这 三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组 成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横 线上，然后对该真命题进行证明. 分层训练 构建学科思维 10 已知：_______________,_____________________. 求证：_______________. ①或 ②或 ③或 证明：，，且 ， ， .（答案不唯一，必须与条件对应） 分层训练 构建学科思维 11 $第七章 证明 3 平行线的证明 第1课时 平行线的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 平行线的判定 1.下列图形中，由能得到 的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，工人师傅移动角尺在工件上画出直线 ，其中的道理是( ) A A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.以上结论都不正确 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.如图，下列条件中，不能推出 的是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.（台州中考）如图，已知 ，为保证两条铁轨平行， 添加的下列条件中，正确的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，有一个弯形管道 ，若它的两个拐角 ， ，则管道 .这里用到的推理 依据是__________________________. 同旁内角互补，两直线平行 第5题图 分层训练 构建学科思维 7 6.【新考向:条件开放性】如图，点在 的延长线上.若添加一 个条件，使 ，则可添加的条件为_____________________ ___________________________________________________. （任意添加一个符合题意的条件即可） 或 或或 第6题图 分层训练 构建学科思维 8 7.补全下列推理过程： 如图，已知平分， ， .求证： . 证明：平分， （______）， _____（角平分线的定义）. 又 （已知）， _______（等量代换）. （________________________）. 已知 同位角相等，两直线平行 分层训练 构建学科思维 9 8.如图是一个由4条射线构成的图案，其中 ， ， . （1）写出图中的平行线，并证明； 解：， . 证明： ， 分层训练 构建学科思维 10 ， ， . ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 11 （2）直接写出 的度数（不需要证明）. 解： . 分层训练 构建学科思维 12 9.如图，下列条件：； ； ； ； .其中能判定直线 的有 ( ) C A.②③④ B.②③⑤ C.②④⑤ D.②④ 分层训练 构建学科思维 13 10.如图所示的四种沿 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带 两条边， 互相平行的是( ) 图1 图2 图3 图4 分层训练 构建学科思维 14 A.如图1，展开后测得 B.如图2，展开后测得， C.如图3，测得 D.如图4，展开后测得 √ 分层训练 构建学科思维 15 11.【新考向：真实问题情境】如图1是一种手机平板支架，图2是 其侧面结构示意图.托板可绕点转动，若 ， ，要使托板与底座平行，托板绕点 逆时针 旋转的度数至少为_____. 分层训练 构建学科思维 16 12.求证：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那 么这两条直线平行. 解：已知：如图，，垂足为，，垂足为 . 分层训练 构建学科思维 17 求证： . 证明： ， ， . . 分层训练 构建学科思维 18 13.如图，已知平分，平分 ， 且与互余.求证： . 证明：与 互余， . 平分，平分 ， ， . . . 分层训练 构建学科思维 19 14.如图，若 ， ， ，则 吗？为什么？ 解： .理由如下： ， . ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 20 15.如图，台球运动中，如果母球击中桌边上的点 ，经桌边反 弹后击中相邻桌边上的点，再次反弹提示： ， . 分层训练 构建学科思维 21 （1）若 ， 求 的度数； 解： ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 22 （2）母球经过的路线与 一定平行吗？请说明理由. 解： ，理由如下： ， ， . 分层训练 构建学科思维 23 同理， . ， . . 分层训练 构建学科思维 24 $第七章 证明 核心素养专练 1 1.【模型观念】（2025·河北）榫卯结构是两个 构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件 的截面图，其中， ，则 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.【几何直观、运算能力】 （2025·甘肃）如图1，三根木条 ， ，相交成 ， ， A A. B. C. D. 固定木条，，将木条绕点 顺时针转动至如图2所示，使木条 与木条平行，则可将木条 旋转( ) 分层训练 构建学科思维 3 3.【跨物理学科】（山西中考）如图，一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线相交于点 ，点为焦点．若 ， ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.【几何直观、运算能力】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张 性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做 仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，， ， 点在直线上， ， ，则 的度数 为_____． 分层训练 构建学科思维 5 5.【传统文化】抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中 华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产 名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1）， 抽象得到图2，在同一平面内，已知， ， ，则的度数为____ ． 30 图1 图2 分层训练 构建学科思维 6 6.【几何直观、推理能力】图1为北斗七星的位置图，如图2，将 北斗七星分别标为，，，，，，，将，，， ， ，首尾顺次连接，恰好经过点，且，， 在一条直线 上，若， ， . 图1 图2 分层训练 构建学科思维 7 （1）求 的度数； 解：， . , . （2）计算 的度数是______； 分层训练 构建学科思维 8 （3）连接，当与 满足怎样的数量关系时， ？请说明理由. 解：当 时， . 理由如下： ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 9 $第七章 证明 2 认识证明 第1课时 定义与命题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 定义与命题的概念 1.下列命题属于定义的是( ) C A.两点确定一条直线 B.同角或等角的余角相等 C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D.如果，那么 分层训练 构建学科思维 3 2.下列四个选项中,不是命题的是( ) B A.对顶角相等 B.过直线外一点作直线的平行线 C.三角形任意两边之和大于第三边 D.如果，，那么 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 命题的结构 3.如果，，那么 .这个命题的条件是 ___________________，结论是_________. 4.把命题“锐角小于 ”改写成“如果 ，那么……”的形式： _____________________________________. ， 如果一个角是锐角，那么这个角小于 分层训练 构建学科思维 5 知识点3 真、假命题 5.下列命题中是真命题的是( ) B A.若，则 B.4的平方根是 C.两个锐角之和一定是钝角 D.相等的两个角是对顶角 6.（2025·北京）能说明命题“若，则 ”是假命题 的一组实数，的值为____， _________________． 1（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 6 7.下列命题是真命题还是假命题?如果是假命题,请举出反例. （1）一个角的补角大于这个角; 解:假命题.反例: 角的补角是 角,且 （反例不唯一）. （2）如果一个数的倒数等于它本身,那么这个数是1; 解:假命题.反例:的倒数为它本身 . 分层训练 构建学科思维 7 （3）已知一次函数 ,若它的图象不经过第二象限,则 , . 解:假命题.反例:一次函数的图象不经过第二象限,但 , （反例不唯一）. 分层训练 构建学科思维 8 8.（嘉兴中考）能说明命题“若为无理数，则 也为无理数”是 假命题的反例是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补 角的两个角的平分线互相垂直；③若 ，则 ， ；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命题 的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 10 10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请 先将它改写为“如果 ，那么……”的形式，再指出命题的条 件和结论. （1）同号两数的和一定不是负数； 解：是命题，改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不 是负数.条件是两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数. 分层训练 构建学科思维 11 （2）若，则 ； 解：是命题，改写：如果，那么.条件是 ， 结论是 . （3）在直线上任取一点 . 解：不是命题. 分层训练 构建学科思维 12 $