第二章 实数课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件围绕实数的运算、性质与应用展开，从射击速度计算引入科学记数法，通过数列规律探究、数轴几何直观、面积剪拼建模等情境，层层递进地构建了实数概念与运算能力的学习支架，有效衔接了代数与几何知识。 其亮点在于融合运算能力、几何直观与推理能力，以真实问题驱动学习，如德阳中考题中数列排列规律的发现体现抽象思维，广元中考数轴对称点求解凸显空间观念，新定义“完美组合数”则强化逻辑推理与创新意识。教师可借此提升课堂深度，学生能在真实情境中理解数学本质，发展核心素养。

第二章 实数 2 平方根与立方根 第3课时 立方根 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 立方根的概念与开立方运算 1.（1）因为（___） ，所以8的立方根是2，用数学式子表示 为________； （2）因为（____），所以 的立方根是____，用数学 式子表示为____________； （3）0的立方根是___. 2 0 分层训练 构建学科思维 3 2.下列式子不正确的是( ) D A. B. C. D. 3.下列结论正确的是( ) D A.64的立方根是 B. 没有立方根 C.立方根等于本身的数只有0 D. 分层训练 构建学科思维 4 4.求下列各数的立方根： （1）0.729； 解：因为 ，所以0.729的立方根是0.9. （2）1； 解：因为 ，所以1的立方根是1. 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：因为，且 , 所以的立方根是 . （4） . 解：的立方根是 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 与 5.求下列各式的值： （1） ； 解： . （2） ； 解：因为 ， 所以 . （3） . 解： . 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 立方根的实际应用 6.已知大正方体的体积为，小正方体的体积为 ，将 它们叠放在一起（如图所示），则最高点 到地面的距离是______. 分层训练 构建学科思维 8 7.若,则 的值不可能是( ) D A. B. C.0 D.2 8.如果，，那么 等于( ) D A.13.33 B.28.72 C.0.1333 D.0.2872 9.一个正数的两个平方根是和,则 的立方根为 ___. 3 分层训练 构建学科思维 9 10.求下列各式中 的值： （1） ； 解： . . . （2） . 解： . . . 分层训练 构建学科思维 10 11.对于结论“当时,也成立”，若将看成 的立方根，看成 的立方根，由此得出结论“如果两数的立方根 互为相反数，那么这两个数也互为相反数”. （1）举一个具体的例子进行验证； 解：例如： ，则 ，即8和 互为相反数. （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 11 （2）若和互为相反数，且 的平方根是它本 身，求 的立方根． 解：因为和 互为相反数，所以 ， 所以，解得 . 因为的平方根是它本身，所以，解得 . 所以 ， 所以 的立方根是1． 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 平方根的概念与开平方运算 1.“49的平方根是 ”的数学表达式是( ) A A. B. C. D. 2.下列各数中，没有平方根的是( ) D A.34 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.已知实数 的一个平方根是2，则它的另一个平方根是____. 4.（教材P38习题变式）若一个分数的平方等于 ，则这个分 数为_ ____. 分层训练 构建学科思维 4 5.求下列各数的平方根： （1）25； 解： . （2） ； 解： . （3）2.25； 解： . （4） ； 解： . （5）5； 解： . （6） . 解： . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 与 6.计算：___；___； ___. 7 7 7 分层训练 构建学科思维 6 7.求下列各式的值： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解：25. （4） . 解：1.4. 分层训练 构建学科思维 7 易错点 因忽视一个正数的平方根有两个致错 8.是16的平方根，则 的值是_______. 5或 【点拨】根据16的平方根是 ，列方程解答. 分层训练 构建学科思维 8 9.下列说法：的平方根是 ；②任何数的平方都是非 负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任意一个非负数的平 方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0.其中正确的是 ( ) A A.④ B.①② C.②③ D.③ 分层训练 构建学科思维 9 10.已知一个正数的两个平方根分别是和，则 的值是_ _. 11.已知的平方根是，的平方根是 ，则 的平方根是____. 12.已知，，且，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 10 13.（教材P38习题变式）求满足下列各式的未知数 的值： （1） ; 解： . . . （2） . 解： . . , . 分层训练 构建学科思维 11 14.【新考向：过程性学习】甲、乙二人计算 的 值，当 的时候，得到下面不同的答案： 甲的解答： ； 乙的解答： ． 分层训练 构建学科思维 12 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 解：乙的解答是正确的，甲的解答错在 .理由 如下： 当时， ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 13 $第二章 实数 教材回归（一） 实数的大小比较（针对教材P38习 题 ） 1 教材母题【教材习题 变式】比较下列各组数的大小： （1）， ； 解：因为，所以.所以 . （2）， ； 解：因为，所以 . 分层训练 构建学科思维 2 （3）， . 解：.因为，所以 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 3 类型1 平方法或立方法 对于任意正实数,，有 ; ； . 1.（1）比较2，3， 的大小； 解：因为，， ， 且，所以 ． 分层训练 构建学科思维 4 （2）比较 与2.3的大小． 解：因为， ， 且，所以 ． 2.比较与 的大小． 解： ， . 因为 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 5 类型2 作差法 两个数比较大小，可先作差，所得结果与0比较大小，最后 确定两个数的大小，即若,则；若 ,则 ;若,则 . 分层训练 构建学科思维 6 3.【新考向：过程性学习】课堂上，老师出了一道题，比较 与 的大小． 小明的解法如下： 解： . 因为，所以，所以 ,所以 ．所以 ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 分层训练 构建学科思维 7 （1）根据上述材料填空．（在横线上填“ ”“”或“ ”） ①若，则___ ； ②若，则___ ； ③若，则___ ． 分层训练 构建学科思维 8 （2）利用上述方法比较与 的大小． 解： . 因为，所以 ， 所以,所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 9 类型3 作商法 对于任意正实数,,有； ； . 4.【一题多解】比较与 的大小． 分层训练 构建学科思维 10 解：通解（作商法） ， 所以 ． 另一解（作差法） :，所以 ． 分层训练 构建学科思维 11 类型4 估算法 5.（1）比较与 的大小； 解：因为，所以 ， 所以 ． 因为，所以，所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 12 （2）比较与 的大小； 解：因为， ， 所以， ， 所以 ． （3）比较与 的大小； 解：因为， ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 13 （4）比较与 的大小． 解：因为，所以 ，所以 ． 因为，所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 14 类型5 特殊值法 6.已知，则，，， 的大小关系为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 类型6 倒数法 对于任意正实数，，有; . 7.【一题多解】比较与 的大小． 分层训练 构建学科思维 16 解：通解（倒数法）， . 因为，即 ，所以 ． 另一解（作差法） . 因为， ， ，所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 17 $第二章 实数 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 二次根式的混合运算 1.计算 的结果为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.计算 的结果是( ) B A.2 B.4 C. D. 3.估计 的值应在( ) C A.和 之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.7和8之间 分层训练 构建学科思维 4 4.老师设计了一个“接力游戏”，用合作 的方式完成二次根式的混合运算，如图， 老师把题目交给一位同学，他完成一步 解答后交给第二位同学，依次进行，最 B A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中， 自己负责的式子出现错误的是( ) 分层训练 构建学科思维 5 5.计算： ___． 1 分层训练 构建学科思维 6 6.计算： （1） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 7 （2） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 8 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 7.小明家装修，如图，电视背景墙的长 为 ，宽为 ，中间要镶一个长为 ，宽为 的大理石图案（图中阴影 部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面 积．（结果化为最简二次根式） 分层训练 构建学科思维 10 解：由题意，得 ． 答：壁布的面积为 ． 分层训练 构建学科思维 11 8.先化简，再求值：，其中 ． 解：原式 . 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 12 9.已知，，那么与 的关系为( ) C A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.绝对值相等 10.若为实数，在“ ”的“□”中添上一种运算符号 （在“”“-”“×”“ ”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 的值不可能是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 11.如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则留下的 阴影部分的面积为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 12.计算： ________． 13.【新考向：新运算型阅读理解题】 对于任意不相等的两个数 ，，定义一种运算如下：，如 ， 那么 _ _______． 分层训练 构建学科思维 15 14.计算： （1） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 16 （2） . 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 17 15.【新考向：过程性学习】在进行二次根式的化简与运算时， 我们有时会碰到，， 之类的式子，其实我们还可以将其 进一步化简，如：； ； ． 分层训练 构建学科思维 18 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （1）化简：___; _________． 分层训练 构建学科思维 19 （2）化简： ． 解：原式 分层训练 构建学科思维 20 . 分层训练 构建学科思维 21 $第二章 实数 易错易混专练 1 易错点1 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清 1.在 （每相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ， ，，， 中，有理数的个数是( ) C A.5 B.4 C.3 D.2 分层训练 构建学科思维 2 2.把下列各数分别填入相应的集合中： ,，，0，,,,，， ， （每相邻两个4之间3的个数逐次加1）. （1）有理数集合： _ ___________________________________________ ； ,,,0,,, （2）无理数集合： ______________________________________ __________________ . 每相邻两个4之 间3的个数逐次加1, 分层训练 构建学科思维 3 易错点2 平方根中遗漏负根 3.（攀枝花中考）2的平方根是( ) D A.2 B. C. D. 4.若，则 _______. 3或 分层训练 构建学科思维 4 易错点3 混淆与 的平方根 5.实数 的平方根是( ) B A. B. C. D.3 6. 的平方根是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 7.下列说法或等式中，正确的有( ) ； ； 的平方根是 ； 的算术平方根是 ； 是 的平方根. A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 6 易错点4 搞不清求哪个数的立方根 8. 的立方根是( ) C A.8 B.4 C.2 D.16 分层训练 构建学科思维 7 易错点5 忽视被开方数的意义 9.下列说法： 的平方根是0.5； ②只有正数才有平方根； 的平方根是 ； 是 的一个平方根. 其中正确的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 8 10.已知实数,满足，则 的值为__. 11.已知与互为相反数，则 __. 分层训练 构建学科思维 9 易错点6 乱用运算律 12.下列运算中，错误的有( ) ； ； ； . C A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④ 分层训练 构建学科思维 10 易错点7 认为负数没有立方根 13.当取__________时， 有意义. 任意实数 分层训练 构建学科思维 11 易错点8 不能正确理解一一对应的含义 14.下列说法正确的是( ) B A.有理数和数轴上的点一一对应 B.无理数都可以用数轴上的点表示 C.数轴上的点所表示的数不是正实数就是负实数 D.数轴上的点只表示有理数 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 专题训练（三） 与实数有关的网格作图题 1 1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的 顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； 解：如解图1， 即为所求（答案不唯一）. 分层训练 构建学科思维 2 （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3， ， ； 解：如解图2， 即为所求（答案不唯一）. 分层训练 构建学科思维 3 （3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4. 解：如解图3， 即为所求（答案不唯一）. 分层训练 构建学科思维 4 2.如图，在的正方形网格中有，，， 四点. 题图 分层训练 构建学科思维 5 （1）线段的长为____， 的长为_____； （2）从，，， 四点中任选三点所构成的三角形中，直角三 角形有哪些？请任选一个进行证明； 分层训练 构建学科思维 6 解图 解：如解图，从，，， 四点中任选三点所 构成的三角形中，直角三角形有 ， ， . 选择 进行证明. 证明：因为 ， ， ， 所以 . 所以 是直角三角形（答案不唯一）. 分层训练 构建学科思维 7 （3）求出四边形 的面积. 解： . 分层训练 构建学科思维 8 3.综合与实践： 【问题情境】 学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的 定理，应用十分广泛.迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 400多种.在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知 三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动. 分层训练 构建学科思维 9 【操作发现】 如图1，在 的正方形网 格中，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点.在 图1中画出，其顶点，， 都是格点，同时构造正方形 ，使它的顶点都在格点上，且它的边， 分别经过点 ，，他们借助此图求出了 的面积. 分层训练 构建学科思维 10 （1）在图1中，所画出的的三边长分别是___， _____，_____， 的面积为_ __； 5 分层训练 构建学科思维 11 【实践探究】 （2）在如图2所示的正方形网格中画出 （顶点都在格点 上），使，，，并求出 的面积. 解：画出 如图所示. . 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 1 认识实数 第2课时 认识实数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 知识点1 实数的概念及分类 1.下列说法不正确的是( ) B A.实数泛指正实数、零、负实数 B.正整数和负整数统称为整数 C.无理数一定是无限小数 D.负实数包括负有理数和负无理数 分层训练 构建学科思维 3 2.把下列各数的序号分别填入相应的集合里. ,,0,，，，， , （每两个1之间0的个数依次增加1）. （1）负数集合： ________________________________________ __________________________________… . （2）非负整数集合：___________… . ，， （每两个1之间0的个数依次增加1）， ,， 分层训练 构建学科思维 4 （3）分数集合：_ _________________________… . （4）无理数集合： ______________________________________ __________________… . ，，，， , （每两个1之间0的 个数依次增加1）， 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 实数的性质及运算 3. 的相反数是________,绝对值是________,倒数是 _ ____. 4.计算: ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 实数与数轴上点的关系 5.与数轴上的点一一对应的数是( ) D A.分数 B.有理数 C.无理数 D.实数 6.（2025·周口月考）实数 在数轴上的对应点的位置如图所 示．若实数满足，则 的值可以是( ) C A. B. C. D.2 分层训练 构建学科思维 7 7.请利用尺规在下面数轴中画出点,使点对应的正数 满足 . 解:如图，点 即为所求. 分层训练 构建学科思维 8 8.（2025·北京）实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示， 下列结论中正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数 对应的点向右 滚动一周，圆上的点恰好与点重合，则点 对应的实数是 ________ ． 分层训练 构建学科思维 10 10.计算： ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，数轴上点，， 表示的数 分别为0，1，，先以点为圆心， 为 半径，用圆规画出数轴上的一个点 ， （1）____，______；（都用含 的代数式表示，结果需化简） 再以点为圆心，点到点 的距离为半径，用圆规画出数轴上的 另一个点．点，点分别表示数， ． 分层训练 构建学科思维 12 （2）求 的值． 解：因为， ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 13 $第二章 实数 3 二次根式 第1课时 二次根式的概念及其乘除运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 1.下列式子是二次根式的是( ) D A. B. C. D. 2.（2025·连云港）若式子在实数范围内有意义，则 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 二次根式的乘除法： ， 3.填空： （1） ； （2） ； 8 2 16 4 18 2 9 3 （3） . 5 15 75 75 25 5 分层训练 构建学科思维 4 4.计算： ___. 3 分层训练 构建学科思维 5 5.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 二次根式的运算与运算律、乘法公式 6.（2025·河北）计算： ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 7.若，为有理数，则____， ___. 12 6 分层训练 构建学科思维 8 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 易错点 因混淆与 之间的联系与区别而导致出错 9.要使成立， 的取值范围是______. 【点拨】成立的条件是 . 分层训练 构建学科思维 10 10.下列说法：是最简二次根式； 是一个非负数； ③当时，二次根式有意义； 的最小值为 2．其中正确的有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 11 11.【新考向：新运算型阅读理解题】定义运算“★”为 ★ ，其中,均为非负实数，则★ 的算术 平方根为___. 5 12.已知，满足，则 的平方根为 ____. 分层训练 构建学科思维 12 13.计算： （1） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 13 （2） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 14 14.【新考向：过程性学习】阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的 积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如： ，,我们称和 互为有理 化因式，和 互为有理化因式． （1）的有理化因式是____， 的有理化因式是________； （写出一个即可） 分层训练 构建学科思维 15 【材料二】将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消 去分子中的根式，这种变形叫作分子有理化．例如： ． （2）用分子有理化直接比较和 的大小． 分层训练 构建学科思维 16 解： ， . 分层训练 构建学科思维 17 因为 ， 所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 18 微专题1 二次根式非负性的应用 【方法指导】（1）常见的非负数有：任意实数的偶次方、任意 实数的绝对值、二次根式等，且二次根式具有双重非负性; （2）根据“几个非负数之和等于0，从而得到每个非负数都等于0” 构建方程，可求字母或式子的值. 分层训练 构建学科思维 19 应用1 中被开方数 1.若，则 _ ____. 9或 分层训练 构建学科思维 20 应用2 2.若，则 ____. 【变式】 已知实数,满足，则以， 为两 边的等腰三角形的周长是____. 3.当___时，代数式 取最小值，最小值为___. 10 2 1 分层训练 构建学科思维 21 应用3 二次根式的双重非负性 4.若,求 的值. 解：因为,所以 . 因为，，所以.所以 . 分层训练 构建学科思维 22 $第二章 实数 综合与实践 1 1. 【问题发现】 如图1，把两个面积都为 的小正方形分别沿 对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该 大正方形的边长为____ ； 分层训练 构建学科思维 2 【知识迁移】 若一个圆与一个正方形的面积都是 ，设圆 的周长为，这个正方形的周长为，则___（填“ ”“ ”或“ ”）； 【拓展延伸】 李明想用一块面积为 的正方形纸片 （如图2所示），沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形 纸片，使它的长宽之比为 .李明能用这块纸片裁出符合要求的 纸片吗？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 3 解：能.理由如下： 设裁出长方形的长为，则宽为 ，由题意，可得 ，解得 . 所以长方形的长为，宽为 . 而面积为的正方形的边长为 . 因为 ， 所以能裁出一块面积为 的长方形纸片. 分层训练 构建学科思维 4 2.【综合与实践】摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要 珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实 验室的摆钟（如图）发现：摆钟的摆球摆动的快慢与秒针的走动， 摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道： 摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫作一个周期．它的计算公式 是：，其中表示周期单位：， 表示摆线长 单位：，， 是圆周率． 分层训练 构建学科思维 5 分层训练 构建学科思维 6 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球摆动的快慢只与摆 线的长短有关，摆线越长，周期越____（填“长”或“短”），摆得 越____；（填“快”或“慢”） 长 慢 分层训练 构建学科思维 7 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为 ，它每摆动一个周期发出一 次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答” 声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，再对 照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； 解： ． 所以 （次）． 答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声． 分层训练 构建学科思维 8 （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回 摆动一次的时间是一定的，如果摆球的摆动周期为 ，它每摆动 一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，经过的时间为 ， 求该摆钟的摆线长． 取 ，摆线长精确到0.01米，周期精确 到，参考数据：， 分层训练 构建学科思维 9 解：由题意，得 ， 所以 ， 所以 . 答：该摆钟的摆线长为 ． 分层训练 构建学科思维 10 $第二章 实数 专题训练（二） 二次根式的常考题型 1 类型1 二次根式的运算 1.计算： （1） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 2 （2） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 3 （3） ； 解：原式 ] ． 分层训练 构建学科思维 4 （4） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 5 类型2 化简与求值 一、直接代入求值 2.已知，则代数式 的值为___． 4 3.先化简，再求值：，其中 ． 解：原式 ． 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 4.先化简，再求值： ，其中 , ． 解：原式 ． 当， 时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 7 二、整体代入求值 5.已知，，则 的值为_______． 6.已知，求 的值． 解： ． 分层训练 构建学科思维 8 7.已知， ，求下列各式的值： （1） ； 解：由题意，得 ， ． ． 分层训练 构建学科思维 9 （2） ． 解： ． 分层训练 构建学科思维 10 8.【新考向：过程性学习】【问题解决】 已知，求代数式 的值． 小敏的做法如下： 由，得 ， 所以，得 ． 把作为整体代入，得 ． 即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 分层训练 构建学科思维 11 【迁移应用】 （1）已知，求代数式 的值； 解：由，得 ， 所以，即 ， 所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 12 （2）已知，求代数式 的值． 解：因为 ， 所以 ， 分层训练 构建学科思维 13 所以 ， 所以，得 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 14 $第二章 实数 1 认识实数 第1课时 认识无理数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 无理数的发现 1.两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长是( ) D A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 估算无理数数值的大小 2.估计面积为7的正方形的边长的值（结果精确到 ）是( ) B A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 分层训练 构建学科思维 4 知识点3 无理数的概念 3.（2025·广东期末）下列四个数中，属于无理数的是( ) C A.0 B. C. D. 4.下列说法中，正确的是( ) D A.有理数是有限小数 B.无理数可以写成分数的形式 C.无理数是无限循环小数 D.无限不循环小数是无理数 分层训练 构建学科思维 5 5.（教材P27例题变式）把下列各数填入对应的括号内： 4，， （相邻两个1之间2的个数逐次加1）， ，，，0， . （1）整数：________… ； （2）分数：_ _______________________… ； （3）有理数：_ ___________________________… ； （4）无理数： __________________________________________ _______________… . 4，0， ，2，，，， ,，，，0，， （相邻两个1之间2的个数 逐次加1），， 分层训练 构建学科思维 6 6.下列结果中，一定是无理数的是( ) B A. B.半径为3的圆的周长 C.面积为16的正方形的边长 D.长，宽分别为8，6的长方形对角线的长 分层训练 构建学科思维 7 7.已知某个长方体的体积是 ，它的长、宽、高的比是 ，则该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？ 分层训练 构建学科思维 8 解：长、宽、高都是无理数.理由如下： 设长、宽、高分别为，， .根据题意，得 ，则 . 因为不存在一个有理数的立方为30， 所以 是无理数. 故，， 均为无理数， 即该长方体的长、宽、高都是无理数. 分层训练 构建学科思维 9 8.（教材P30习题 变式） （贵阳中考）如图，在 的 正方形网格中，每个小格的顶点 （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； 解：如解图1， 即为所求. 叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. 分层训练 构建学科思维 10 （2）在图2中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另 外两边长是无理数； 解：如解图2， 即为所求. 分层训练 构建学科思维 11 （3）在图3中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数. 解：如解图3， 即为所求. 解图1 解图2 解图3 [解析] 答案不唯一. 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 算术平方根的概念及计算 1.（金昌中考）9的算术平方根是( ) C A. B. C.3 D. 分层训练 构建学科思维 3 2.“的算术平方根是 ”的数学表达式是( ) C A. B. C. D. 3.（陕西中考）计算： ____. 分层训练 构建学科思维 4 4.求下列各数的算术平方根： （1）0； 解：0. （2）0.49； 解：0.7. （3） ； 解：100. （4） ； 解： . （5） . 解： . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 算术平方根的性质 5.计算： __________ ． 【变式】 若，则 的值为___. 6.若，为实数，且，则 ___． 4 2 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 算术平方根的运用 7.（教材P32随堂练习T2变式）在中， ， ，，则 ____. 8.某小区要扩大绿化带面积.已知原绿化带的形状是一个边长为 的正方形，计划扩大后的绿化带的形状仍是一个正方形，并 且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后的绿化带的边长为____ . 20 分层训练 构建学科思维 7 易错点 因将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方 根致错 9. 的值是__. 【点拨】先将带分数化成假分数，再求其算术平方根即可. 分层训练 构建学科思维 8 10.若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是( ) D A.，0或1 B.1 C. 或1 D.0或1 11.按如图所示程序框图计算，若输入 的值为16，则输出结果为 ( ) A A. B. C.4 D. 分层训练 构建学科思维 9 12.已知，，是9的算术平方根，求 的 算术平方根. 解：因为，所以 . 因为，所以 . 因为是9的算术平方根，所以 . 所以 . 所以的算术平方根是 . 分层训练 构建学科思维 10 13.先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.01 1 100 10 000 … … 0.01 1 100 … （1）表格中____； ____； 0.1 10 分层训练 构建学科思维 11 （2）从表格中探究与 数位的规律，并利用这个规律解决下 面两个问题： ①已知，则 _____； ②已知3.24=1.8，若，则 ________. 31.6 32 400 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 2 平方根与立方根 第4课时 估算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 估算一个无理数的近似值 1.【新考向：数学文化】（2025·广安）公元前5世纪，毕达哥 拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数 ．他的发现， 在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第 一次数学危机”．请估计 的值在( ) A A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 分层训练 构建学科思维 3 2.（南京中考）整数满足，则 的值为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 3.（湖州中考）已知，是两个连续整数， ，则 的值是___. 4.（滨州中考）写出一个比大且比 小的整数：__________ ． 9 2（或3） 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 用估算法比较数的大小 5.比较下列各数的大小（填“ ”“ ”或“”） （1） ___9; （2）___ ; （3）___ . 分层训练 构建学科思维 5 知识点3 用计算器进行开方运算 6.利用计算器求下列各式的值结果精确到 ： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 7.若,,,则，， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 8.【新考向：新定义型阅读理解题】定义是不大于 的最大整 数，如：，，.若，则 的最大 整数值为____. 35 分层训练 构建学科思维 7 9.从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在 条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到.天气 晴朗时，一个人能看到大海的最远距离 可用经验公式 来估计，其中 是眼睛离海平面的高度.某游客站在 海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为 ，则他能看 到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数） 分层训练 构建学科思维 8 解：因为 ， 所以 ， 所以 . 答：他能看到大海的最远距离约是 . 分层训练 构建学科思维 9 10.【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的 小数部分我们不可能全部写出来，但是由于 ，所 以的整数部分为2，将 减去其整数部分2，差就是小数部分 为 ． 【问题解决】请解答： （1） 的整数部分是___，小数部分是_________； 3 分层训练 构建学科思维 10 （2）已知：小数部分是,小数部分是 ，且 ，请求出满足条件的 的值． 解：因为，所以 ， ， 所以的小数部分， 的小数部分 ， 分层训练 构建学科思维 11 所以 . 因为 ， 所以，解得或 ． 分层训练 构建学科思维 12 $第二章 实数 核心素养专练 1 1.【运算能力、数据观念、应用意识】（聊城中考）射击时，子 弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中 为子弹 的加速度，为枪筒的长.如果， ，那 么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.【推理能力、运算能力】（德阳中考）将一组数，2， ， ，，， ，， ，按以下方式进行排列：则第 八行左起第1个数是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.【运算能力、几何直观、推理能力、创新意识】（广元中考） 如图，实数，，在数轴上所对应的点分别为，， ， 点关于原点的对称点为.若为整数，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 4 4.【几何直观、运算能力】如图， 用两个面积为 的小正方形纸 片剪拼成一个大的正方形，则以数 轴上表示1的点 为圆心，大正方 形的边长为半径画弧，与数轴的交 点表示的数是________________. ， 分层训练 构建学科思维 5 5.【运算能力、几何直观、推理能力】有一 块长方形木板，木工采用如图所示的方式在 木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板. （1）求剩余木料的面积； 解：因为两个正方形的面积分别为和 ，所以这两 个正方形的边长分别为和 . 所以剩余木料的面积为 . 分层训练 构建学科思维 6 （2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为 的 长方形木条，最多能截出___块这样的木条. 2 分层训练 构建学科思维 7 6.【新定义】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不 相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个 数为“完美组合数”．例如：，， 这三个数， ，， ，其 结果6，3，2都是整数，所以，， 这三个数称为“完美组 合数”． 分层训练 构建学科思维 8 （1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 解：，， 这三个数是“完美组合数”.理由如下： ， ， ， 所以，， 这三个数是“完美组合数”. 分层训练 构建学科思维 9 （2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数乘 积的算术平方根为12．求 的值． 解：因为 ，分两种情况讨论：①当 时，，解得 .②当 时，，解得 （不合题意，舍 去）. 综上所述，的值为 ． 分层训练 构建学科思维 10 $第二章 实数 章末复习 实数 1 复习点1 实数的相关概念及分类 1.填空： （1） 的相反数是________，绝对值是________； （2） 的倒数是_ ___，相反数是___,绝对值是___. 4 4 分层训练 构建学科思维 2 2.将下列各数填入相应的集合中： ，，0，8，，，， ， ，， . （1）正数集合_ _____________… ； （2）整数集合{____________…}； （3）有理数集合 ________________________________________ _________… ； （4）无理数集合_ _____________________，… . , 0，8，， ，，0，8，，，，， ， ， 分层训练 构建学科思维 3 复习点2 算术平方根、平方根、立方根 3.下列各式计算正确的是( ) A A. B. C. D. 4.已知的平方根是， 的算术平方根是4，则 ___． 3 分层训练 构建学科思维 4 5.求下列未知数 的值． （1） ； 解： . ． ． ， ． （2） ． 解：．． ． 分层训练 构建学科思维 5 复习点3 无理数的估算及实数的大小比较 6.（怀化中考）下列四个实数中，最小的数是( ) A A. B.0 C. D. 7.（南通中考）如图，数轴上，，，， 五个点分别表示数 1，2，3，4，5，则表示数 的点应在( ) C A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段 上 分层训练 构建学科思维 6 8.估计 的值在( ) D A.6到7之间 B.5到6之间 C.4到5之间 D.3到4之间 9.已知，，， ， 若为整数且,则 的值为____. 44 分层训练 构建学科思维 7 复习点4 二次根式的相关概念及性质 10.若 能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是 ( ) A A. B. C. D. 11.已知最简二次根式与可以合并，则 的值为( ) D A.5 B.6 C.8 D.11 分层训练 构建学科思维 8 12.已知实数，满足 ，则代数式 的值为___. 1 分层训练 构建学科思维 9 13.已知实数，，在数轴上的位置如图所示，， 到原点的距 离相等，化简： . 解：由题意，得，且 ， 则，， ， 分层训练 构建学科思维 10 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 11 复习点5 二次根式的运算 14.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 15.设的整数部分为，小数部分为，则 的值是 ( ) A A.1 B.2 C. D. 分层训练 构建学科思维 12 16.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 17.【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个 式子的平方，如： ； . 分层训练 构建学科思维 16 【类比归纳】 （1）请你仿照嘉嘉的方法，将 化成另一个式子的平方； 解： . （2）请运用嘉嘉的方法化简： ； 解：. 分层训练 构建学科思维 17 【变式探究】 （3）若，且，， 均为正整数，请求 出 的值. 解：因为 ， 所以， . 因为，， 均为正整数， 所以 . 所以或 . 分层训练 构建学科思维 18 $第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及加减运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的性质及化简： ， 1.化简： （1）______ ___； （2） . 34 49 9 25 3 5 15 6 7 分层训练 构建学科思维 3 2.下列式子成立的是( ) D A. B. C. D. 3.下列化简正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 最简二次根式 5.下列根式中是最简二次根式的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.把下列二次根式化为最简二次根式： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 二次根式的加减法 7.下列二次根式中，能与 合并的是( ) D A. B. C. D. 8.下列各式计算正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.（1）【答题模板】按照二次根式加减法法则填空： 计算： . 解：原式_____ _____ __________ _____ ___________. 分层训练 构建学科思维 10 （2）【针对训练】计算： ① ； 解：原式 . ② . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 10.要使算式的运算结果最小，则 中应添加的运算符 号是( ) B A. B. C. D. 11.若二次根式是一个整数，则正整数 的最小值是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【变式】 若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 为___. 2 分层训练 构建学科思维 12 12.一个三角形的三边长分别为、、 ，求这 个三角形的周长和面积． 解：这个三角形的周长为 . 因为 ， 所以这个三角形是直角三角形， 所以这个三角形的面积为 . 分层训练 构建学科思维 13 13.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件， 一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据 研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位： ） 近似满足公式（不考虑风速的影响， ）. （1）求从 高空抛物到落地的时间；（结果保留根号） 解：当时， . 分层训练 构建学科思维 14 （2）已知高空抛物动能单位： 物体质量 单位： 高度单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的 行人吗？请说明理由.（注：伤害无防护人体只需要 的动能） 分层训练 构建学科思维 15 解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下： 当时，，解得 . 所以高空抛物动能为 . 因为 , 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. 分层训练 构建学科思维 16 14.嘉琪准备完成题目“计算：| ”时，发 现“|”处的数字印刷不清楚． 分层训练 构建学科思维 17 （1）他把“|”处的数字猜成4，请你计算 的结果． 解： ． 分层训练 构建学科思维 18 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 ．” 通过计算说明题目中的“|”处的数字是几？ 解：设“; ”处的数字为 ，则 分层训练 构建学科思维 19 . 因为这个题的正确答案是 ， 所以，解得 . 即“; ”处的数字是8． 分层训练 构建学科思维 20 $