第24章 解直角三角形 习题课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 坡度、坡角 1.如果某个斜坡的坡度是 ，那么这个斜坡的坡角为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（济南中考）如图，为了测量山坡护坡石坝 的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为 坡度），把一根长的竹竿 斜靠在石坝旁， 量出杆长处的 点离地面的高度 B A. B.3 C. D.4 ，又量得杆底与坝脚的距离 ，则石坝的坡 度为( ) 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 解与坡度、坡角有关的直角三角形 3.如图，河坝横断面迎水坡 的坡比为 ．坝高为，则 的长度为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，是一垂直于水平面的建筑物， 是建筑物底端的一 个平台，斜坡的坡度（或坡比）为 ，坡长为10米， 为地平面，，，，均在同一竖直平面内 ，则平台距 地面的高度为___米. 8 分层训练 构建学科思维 6 5.（台州中考）如图1，梯子斜靠在竖 直的墙上，其示意图如图2.梯子与地 面所成的角 为 ，梯子长 ， 求梯子顶部离地竖直高度 . （结果精确到 .参考数据： ， ， ） 分层训练 构建学科思维 7 解：在 中，, ， , 解得 . 答：梯子顶部离地竖直高度约为 . 分层训练 构建学科思维 8 6.如图，有一天桥高为5米， 是通 向天桥的斜坡， ，市政部门 启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端 延伸到处，使 ，求 的长度. （参考数据：， ） 分层训练 构建学科思维 9 解：在中， ， ， ， 米， 在中， ， ， ， ， ， （米）， 答： 的长度约为3.66米. 分层训练 构建学科思维 10 7.如图，将一个 形状的楔子从木桩的底端 点 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已 知楔子斜面的倾斜角为 .若楔子沿水平方向前进 （如箭头所示），则木桩上升了( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 8.如图，小明去爬山，在山脚看山顶的角度为 ，小明在坡比为 的山坡上走1 300米， 此时小明看山顶的角度为 ，则山高为____ 米( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 9.如图，某拦河坝截面的原设计方案为 ，坡角 ，坝顶到坝脚的距离 ，为了提高拦河坝的 安全性，现将坡角改为 ，由此点需向右平移至点 ，则 ______________ ． 分层训练 构建学科思维 13 10.随着时代的发展和人们生活水平的提高， 私家车越来越多，停车越来越难，停车场的 建造就成为解决问题的途径之一．如图是一 个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道 的坡比 ，，，的长为7.2米， 的长为0.4 米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车 人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的 限高，即 的长为多少？ 分层训练 构建学科思维 14 解图 解：如解图，延长交于点 ． ， ， ． 米， 米． 米， （米）． 分层训练 构建学科思维 15 ， ， ， ， ， ， ， （米）. 答：该停车场入口的限高，即 的长为2.4米. 分层训练 构建学科思维 11.太阳能光伏发电因其清洁、安 全、便利、高效等特点，已成为 世界各国普遍关注和重点发展的 新兴产业.如图是太阳能电池板 支撑架的截面图，其中的粗线表 分层训练 构建学科思维 17 示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 的长度相同，均为 ，的倾斜角为 ， ，支撑角钢 ，与底座地基台面接触点分别为，， 垂直于地面， 于点.两个底座地基高度相同（即点， 到地面的垂 直距离相同），均为，点到地面的垂直距离为 ，求 支撑角钢和 的长度各是多少（结果保留根号）？ 分层训练 构建学科思维 解图 解：如解图,过点作 于点，连结并延长与 的 延长线交于点 ，则 ， . 在中， . 分层训练 构建学科思维 19 由题意，得 ， . 在中， . . 分层训练 构建学科思维 20 在 中， . 答：支撑角钢和的长度各是， . 分层训练 构建学科思维 21 $第24章 解直角三角形 项目式学习 1 关注新课标，关注教材课题，让学生经历方案设计，实践操 作，完善报告的学习过程，在此过程中，积累数学活动经验，感 悟数学思想，培养学生的模型观念、应用意识和创新意识，使学 生能自觉地运用数学方式进行有逻辑的思考. 分层训练 构建学科思维 2 1.某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（ ）高度的实践 活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表： 课题 测量教学大楼（ ）的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 示意图 _________________________________________ __________________________ _________________________________________ 分层训练 构建学科思维 3 说明 点、在点 的正西方向 GH是教学大 楼旁的居民 住宅楼 EF是教学大楼正西方 向的“校训石”，借助 进行测量，使 ， ， 三点在一条直线 上，点，在点 的正 西方向. 续表 分层训练 构建学科思维 4 测量数据 从点处测得 点的仰角为 ，从点 处测得 点的仰角 为 ， 米 从点处测得 点的仰角为 ，测得 点的俯角为 米，从点 处 测得 点的仰角为 ，从点处测得 点的仰角为 （1）根据测量方案和所得数据，第____小组的数据无法算出大 楼高度； 二 续表 分层训练 构建学科思维 5 （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的 高度. （参考数据：，， ） 分层训练 构建学科思维 6 解：（答案不唯一）选择第一小组的测量数据. 由题意，得 ， ， ， 是等腰直角三角形， . 设米，则米， 米， 在中， ， ，解得 . 经检验， 是原方程的根，且符合题意. 答：教学大楼的高度约为36米. 分层训练 构建学科思维 7 2.【开放探究性试题】测量不可及“物”高度 测量目的：运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建 模活动的完整过程； 测量对象：学校内的旗杆高度； 测量方法：利用“测角仪”测量旗杆高度； 测量工具：自制测角仪或测角仪、皮尺； 分层训练 构建学科思维 8 小组交流： （1）小组探讨交流测量方法和测量方案； （2）明确责任，测量、记录数据，计算求解. 测量方法:两次测角法； 分层训练 构建学科思维 9 设计测量方案 （1）画出测量示意图； （2）测量并记录测量工具距离地面的高度 ; 分层训练 构建学科思维 10 （3）将仪器拿到眼前，使视线沿着仪器的直 径刚好达到旗杆的顶点，并记录仰角 ; （4）后退，重复（2）中的操作，并记录仰角 ; 分层训练 构建学科思维 11 （5）多次测量： 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 仰角 仰角 高度 后退距离 （6）计算出旗杆的高度. 分层训练 构建学科思维 12 【交流与反思】： （1）测量结果是否准确?分析减小误差的方法； （2）是否还有其他测量方法？ 解：略. 分层训练 构建学科思维 13 $第24章 解直角三角形 专题训练（十四） 三角函数与三角形（二） 分类 讨论 1 模型 _______________________________________ _________________________ 方法：已知两边及其中一边的对角解三角形.常常 需要分类讨论. 分层训练 构建学科思维 2 1.在中，若， ，则 的度数为 ____________. 2.在中，，，，则 边的长 为_______. 或 7或17 分层训练 构建学科思维 3 3.在中，，，过点作边上的高 ，且 满足.则 的面积为_______. 4.在中，，， ，则 __________________. 8或24 或 分层训练 构建学科思维 4 图1 [解析] ①如图1,当 为锐角三角形时，过 点作于点 . ， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 5 图2 ②如图2，当为钝角三角形时，过点 作 交的延长线于点 . ， ， ， ， . 综上所述，的长为或 . 分层训练 构建学科思维 6 5.在中，，， ，求 的 边上的高 . 解：过点作交（或的延长线）于点,过点 作 于点 .分两种情况讨论： 分层训练 构建学科思维 7 图1 ①如图1，当，位于 异侧时， 在中， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 8 在中， ， ， 则 . 在中， , ； 分层训练 构建学科思维 9 图2 ②如图2，当，在 的同侧时， 由①，知， ， 则 . 在中， , . 综上所述，的边上的高是或 . 分层训练 构建学科思维 10 $第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第2课时 解直角三角形的应用——仰角、俯角 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 仰角、俯角与解直角三角形 1.如图，从热气球看一栋楼底部 的俯角是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（山西中考）如图，某地修建高速公路， 要从地向地修一座隧道， 在同一水平 面上．为了测量， 两地之间的距离，某 工程师乘坐热气球从 地出发，垂直上升 到达处，在处观察 地的俯角为 ，则， 两地之间的距离为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得气球顶部 处的仰角 为 ，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 是____米（结果精确到0.1 米，， ， ）． 9.5 分层训练 构建学科思维 5 4.（教材P114练习T2变式）（荆州中考）如图， 无人机在空中处测得某校旗杆顶部 的仰角为 ，底部的俯角为 ，无人机与旗杆的水 平距离为 ，则该校的旗杆高约为 _____ ．，结果精确到 13.8 分层训练 构建学科思维 6 5.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高 度，从附近一栋楼房的底端点 处观测观光塔顶 端处的仰角是 ，从该楼房顶端 点处观测 观光塔底部处的俯角是 .如图，已知楼房 高约是 ，根据以上观测数据可求观光塔 的高是_____ . 135 分层训练 构建学科思维 7 6.（河南中考）开凿于北魏孝文帝年间的龙 门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像 是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙 门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 与佛 像的底部在同一水平线上.已知佛像头部为，在 处测 得佛像头顶部的仰角为 ，头底部的仰角为 ，求佛像 的高度. （结果精确到.参考数据： ， ， ） 分层训练 构建学科思维 8 解：根据题意，可知 , ， . ， . 设的长为，则 . 在中， ， .解得 . . 答：佛像的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 9 7.（济宁中考）某数学活动小组要测量一建筑 物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选 择一点，在点和建筑物之间选择一点 ，测 得，用高 的测角仪 在处测得建筑物顶部的仰角为 ，在处测得仰角为 ， 则该建筑物的高是 ______________ ． 分层训练 构建学科思维 10 8.2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返 回舱在东风着陆场成功着陆.如图，某一时刻，观测 点测得返回舱底部的仰角 ，降落伞 底面圆上的点处的仰角 .已知半径 1 614 长14米，拉绳长50米，返回舱高度 为2米，则这时返回 舱底部离地面的高度 约_______米. （结果精确到1米.参考数 据：，， ） 分层训练 构建学科思维 11 9.（山西中考）随着科技 的发展，无人机已广泛应 用于生产和生活，如代替 人们在高空测量距离和角 度.某校“综合与实践”活动 小组的同学要测量， 两座楼之间的距离，他们借助无人机 设计了如下测量方案：如图，无人机在， 两楼之间上方的 分层训练 构建学科思维 12 点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点 处的俯角为 ，楼上点处的俯角为 ，由点 沿水平方 向飞行到达点，测得点处的俯角为 ，其中点,, , , ,,均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼与 之间 的距离的长.（结果精确到.参考数据： , , , ） 分层训练 构建学科思维 解图 解：如解图，延长，分别与直线 交 于点， . 则， ， , 在 中， ， . 分层训练 构建学科思维 14 ， . . 在中， ， . . 答：楼与之间的距离的长约为 . 分层训练 构建学科思维 10.如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢 楼 的高度．小亮站立在距离楼底部94米 的点处，操控无人机从地面 点，竖直起 飞到正上方60米点处时，测得楼 的顶 端的俯角为 ，小亮的眼睛点 看无人 机的仰角为 （点、、三点在同一直线上）．求楼 的 高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米， ） 分层训练 构建学科思维 16 解图 解：如解图，过点作于点 ，过 点作交的延长线于点 ． 由题意，得， 米， ，， 米， 米， （米）. 分层训练 构建学科思维 17 在中， ， （米）， 米， （米）. 分层训练 构建学科思维 18 在中， ， （米）， （米）， 答：楼 的高度约为39.77米． 分层训练 构建学科思维 19 $第24章 解直角三角形 24.4解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 已知两边解直角三角形 1.在中， ，，，欲求 的值，最 适宜的做法是( ) C A.计算 的值求出 B.计算 的值求出 C.计算 的值求出 D.先根据求出，再利用 求出 分层训练 构建学科思维 3 2.在中, ,,,则 的度数是 ( ) A A. B. C. D. 3.在中， ，，，则 _____,_____, ____. 20 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 已知一边和锐角解直角三角形 4.已知在中， ， ，，那么 的 长为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.如图，在中， . 分层训练 构建学科思维 6 （1）如果 ，，求 的长; 解: 在中， ， . ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 7 （2）如果,,求 的长. 解: 在中， ， ， .设，则 . ，，解得 （负值舍去）. . 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 解直角三角形的简单应用 6.（南充中考）如图，小兵同学从 处出发向正 东方向走米到达处，再向正北方向走到 处， 已知 ，则， 两处相距( ) B A.米 B. 米 C. 米 D. 米 分层训练 构建学科思维 9 7.（广州中考）如图，海中有一小岛，在 点测 得小岛在北偏东 方向上，渔船从 点出发 由西向东航行到达点，在 点测得小岛 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 的距离 为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 8.（恩施州中考）如图，湖中一古亭，湖边一古柳， 一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣.某活动小组 赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳 处测得古亭位于北偏东 方向，他们向南走 到达点，测得古亭位于北偏东 方向.求 古亭与古柳之间的距离 的长.（参考数据： ，,结果精确到 ） 分层训练 构建学科思维 11 解图 解：如解图，过点作，交 的延长线于 点 . 设，则 . 在中， ， ， . 分层训练 构建学科思维 12 在中， ， . ，解得 . . 答：古亭与古柳之间的距离的长约为 . 分层训练 构建学科思维 13 9.（陕西中考）如图，是 的高.若 ，,则 的长为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 10.某节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线 需经,,,四地.如图，其中,, 三地在同一 直线上，地在地北偏东 方向、在 地北 偏西 方向，地在地北偏东 方向，且 .从地到 地的距离是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 11.如图，在中， ， ，，则 的长为____. 分层训练 构建学科思维 16 【变式】 如图，在中，，， ， 则 的面积为( ) A A.7 B. C. D.25 分层训练 构建学科思维 17 12.（常州中考）如图，在四边形中， , 平分.若，，则 _ __. 分层训练 构建学科思维 18 13.如图，在中， ，是 边 上的中线，过点作，垂足为点 ，若 ， ． 分层训练 构建学科思维 19 （1）求 的长； 解：设 ， ， ， ， ， . ，， . ， ， ． 分层训练 构建学科思维 （2）求 的正切值． 解：如解图，过点作于点 . 解图 分层训练 构建学科思维 21 , . 是 的中点， 是 的中位线， ， ， 由（1）,可知， ， ， ， ， ． 分层训练 构建学科思维 14.如图，在四边形中， ， ， ，，则 __. 分层训练 构建学科思维 23 $第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 24.3.1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 锐角三角函数的定义 1.如图，中， ，， ， 则 的值是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 ，则 的值是( ) A A. B. C. D.2 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，在中， ，若 ，，则 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.在 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角 的正弦值( ) D A.扩大2倍 B.缩小为原来的 C.扩大4倍 D.没有变化 5.（益阳中考）如图，在 中， .若，则 __. 分层训练 构建学科思维 6 6.如图，在中， ，为 上的一点， ，．求 的三个三角函数值． 分层训练 构建学科思维 7 解：在中，， ，由勾股定理，得 ． ， ， ， ， ， ． 分层训练 构建学科思维 8 7.如图，在中， ，是中线， ， .求，和 的值. 分层训练 构建学科思维 9 解：在中， ，是中线， ， ， . 是等腰三角形. . 在中，， ， . ， ， . 分层训练 构建学科思维 10 知识点2 三角函数之间的关系 8.在中， ，若，则 的值为( ) D A. B. C. D. 9.如果，那么锐角 的度数是( ) A A. B. C. D. 10.在中， ，，则 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，在中， ，如果 ，，那么 等于( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 分层训练 构建学科思维 12 12.如图，已知点是矩形的对角线 上 的一动点，正方形的顶点， 都在边 上.若，，则 的值 ( ) A A.等于 B.等于 C.等于 D.随点 位置的变化而变化 分层训练 构建学科思维 13 13.【数学文化】（内蒙古中考）如图源于我国汉代 数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与 一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的 面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较 小的锐角为 ，则 的值为( ) D A. B. C. D. 14.（扬州中考）在中， ，，，分别为 ， ，的对边长.若，则 的值为_ ____. 分层训练 构建学科思维 14 15.如图，在矩形中，，，为 边上一点， 沿将对折，使点正好落在边上的点 处，求 . 分层训练 构建学科思维 15 解：根据图形有 ， 根据折叠的性质，得 ， ，即 . 而在 中， 有 ， . 分层训练 构建学科思维 16 在 中， ， ， 由勾股定理，得 . 则 . 故 . 分层训练 构建学科思维 17 16.（荆州中考）如图，在平面直角坐标系中， 点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点 在上，，连结，过点 作 交的延长线于点.若 ，则 的值是( ) C A. B. C. D.3 分层训练 构建学科思维 18 $第24章 解直角三角形 教材回归（二） 解直角三角形的实际应用——针对 教材P114练习T2 1 教材母题（教材P114练习T2） 如图，两座建筑物与 ，其地面距离 为50.4米，从的顶点测得 顶部 的仰角 ，测得其底部 的俯角 .求这两座建筑物的高. （精确到0.1米） 分层训练 构建学科思维 2 解：由题意，得四边形 为矩形， ， 米， ， ， 且 ， ， （米）， （米）， 分层训练 构建学科思维 3 米， （米）. 答：建筑物的高约为35.3米，建筑物 的高约为53.6米. 分层训练 构建学科思维 模型1 背靠背型 模型 基础模型 模型演变 背靠 背型 _________________________________________ 通过在 内部作高 ，构造 ， 求解 ______________________________________ 构造 , 求解 _________________________________________________ 构造 , 求解 分层训练 构建学科思维 5 1.为了防洪需要，某地决定新建一 座拦水坝，如图，拦水坝的横断面 为梯形，斜面坡度 是 指坡面的铅直高度与水平宽度的比.已知斜坡 长度为20 米， ，求斜坡 的长. （结果精确到0.1米） （参考数据：，， ） 分层训练 构建学科思维 6 解：如图，过点作，垂足为 . 由题意，得 ， . 斜面的坡度 ， ， 分层训练 构建学科思维 7 设米，则 米. 在中， （米）. 在中， ， 米， （米）， 米， 即，解得 , （米）. 答：斜坡 的长约为10.3米. 分层训练 构建学科思维 2.手机测距 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基 于几何学原理设计的.测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功 能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的 高度,如图1，某款测距 提供的测高模式如下： 分层训练 构建学科思维 9 当物体在地面上时，保持 手机固定在眼睛正前方仰 拍俯拍不要上下移动. __________________________________________ 测量中身体站直，保持手 机在眼睛正前方固定不动 __________________________________________ 如图2，点，， ， 都在同一平面内， 手机位置为 点，待 测物体为，且 和均与地面 垂 直.从点 处测得顶端 的仰角为 ，底部 的俯角为 图1 图2 分层训练 构建学科思维 奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度. 如图2，经过测量得到，仰角 ，俯角 ，求出广告牌的高度.（参考数据： ， ，，， ， ，结果精确到 ） 图2 分层训练 构建学科思维 解图 解：如解图，过点作于点 ，则 ， ， ， ， . 四边形是矩形， . 在 中， ， ， 分层训练 构建学科思维 12 在中， ， ， . 答：广告牌的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 3.（营口中考）为了丰富学生的文化生活，学校利 用假期组织学生到素质教育基地和科技智能馆 参观学习，如图，学生从学校出发，走到 处时， 发现位于的北偏西 方向上，位于 的北偏 西 方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前 往地，乙组前往地，已知在的南偏西 方 向上，且相距1 000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多 远的路程．（参考数据：， ） 分层训练 构建学科思维 14 解图 解：如解图，过点作于点 . 由题意，得 ， ， ， 米， ， ， ， . 在中， 分层训练 构建学科思维 15 （米）， （米）. 在中， ， （米）， （米）， 米， （米）， 答：甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程. 分层训练 构建学科思维 模型2 母子型 模型 基础模型 模型演变 母子型 __________________________________________通过在 外部作高 ，构造 ， 求解 ____________________________________ 构造 , 求解 _________________________________ 构造 , 求解 分层训练 构建学科思维 17 模型 基础模型 模型演变 母子型 __________________________________________通过在 外部作高 ，构造 ， 求解 ____________________________________ 构造 , 求解 ______________________________________ 构造 , 求解 续表 分层训练 构建学科思维 18 4.（张家界中考）“游张家界山水， 逛七十二奇楼”成为今年旅游新特 色．某数学兴趣小组用无人机测量 奇楼 的高度，测量方案如图：先 将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得奇楼顶端 的 俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行到达点 ，测得 奇楼底端的俯角为 ，求奇楼的高度．（结果精确到 ， 参考数据：，， ） 分层训练 构建学科思维 19 解：如图，延长交的延长线于点，则 ． 由题意，得， ， 在中， ， ， ， 分层训练 构建学科思维 20 在 中， . ， ， 答：奇楼的高度约为 ． 分层训练 构建学科思维 21 5.（河南中考）开封清明 上河园是依照北宋著名画 家张择端的《清明上河图》 建造的，拂云阁是园内最 高的建筑.某数学小组测量拂云阁的高度，如图，在 处用测角 仪测得拂云阁顶端的仰角为 ，沿方向前进 到达 处，又测得拂云阁顶端的仰角为 .已知测角仪的高度为 ，测量点，与拂云阁的底部 在同一水平线上，求拂 云阁的高度. （结果精确到.参考数据： , , , ） 分层训练 构建学科思维 22 解图 解：如解图，延长交于点 . 由题意，得 ， ， ， 设 ，则 . 在 中， 分层训练 构建学科思维 23 ， . 在中， ， ，解得 . 经检验, 是原方程的根，且符合题意. . 答：拂云阁的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 6.（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”， 学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地， 在了解相关历史背景后，利用航模搭载的 扫描仪采集纪念碑的 相关数据. 分层训练 构建学科思维 25 数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点 到 水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点 处竖直上升，飞 行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角 ； 然后沿 方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 ，当到达点正上方的点处时，测得 米；…… 分层训练 构建学科思维 26 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，， 三点在 同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点 到地面的距离 的长（结果精确到1米.参考数据： ， ，， ， ， ）. 分层训练 构建学科思维 27 解：如图，延长交于点 . 由题意，得四边形 为矩形， . 在 中， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 28 在 中， ， ， ， . 设 ， ， ， 解得 . 分层训练 构建学科思维 （米）. 答：点到地面的距离 的长约为27米. 分层训练 构建学科思维 模型3 拥抱型 模型 基础模型 模型演变 拥抱型 ______________________________ ______________________________________ ________________________________________ , , 分层训练 构建学科思维 31 7.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗 杆的高度，先在教学楼的底端点 处，观测到 旗杆顶端的仰角 ， 然后爬到教学楼上的处，观测到旗杆底端 的俯 角是 ，已知教学楼高 . 分层训练 构建学科思维 32 （1）求教学楼与旗杆的水平距离 （结果保留根号）； 解：由题意,知 . 在 中， ， ， , . 答：教学楼与旗杆的水平距离为 . 分层训练 构建学科思维 33 （2）求旗杆 的高度. 解： 在 中， ， ， ， . 答：旗杆的高度是 . 分层训练 构建学科思维 34 8.小明想利用所学的数学知识对学校的实验楼 的高度进行测量．如图，先测得实验楼 与教学楼之间的距离为，又站在 点处测得教学楼的顶端的仰角为 ，实 验楼的顶端的仰角为 ．已知教学楼 的高度为，小明的观测点距地面的高度为 ．求 实验楼的高度（精确到 ）． （参考数据：，， ） 分层训练 构建学科思维 35 解图 解：如解图，过点作交于点 ， 交于点 . 则 ， ， ， 则 ， 在 中， ， . 分层训练 构建学科思维 36 . 在中， ， . . 答：实验楼的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 $第24章 解直角三角形 专题训练（十三） 三角函数与三角形（一） 构造 “双直角三角形” 1 模型一 ___________________________________________ 方法：解锐角三角形，常作高，构造两个直角 三角形求解 模型二 __________________________________________________ 方法：解钝角三角形，常向三角形外作高，构 造两个直角三角形求解. 分层训练 构建学科思维 2 1.如图，在中， ， ， ，求 的长. 分层训练 构建学科思维 3 解：如图，过点作于点 . 在中， ，由勾股定理，得 . 又 , 在中， ， . 分层训练 构建学科思维 4 2.如图，在中，， ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 5 解：如图，过点作于点，过点 作于点 . ， ， ，， ， 设 ， 则，， ， 分层训练 构建学科思维 6 ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 3.如图，在中， ，， ，求 和 的值. 分层训练 构建学科思维 8 解：如图，过点作，交 的延长线于 点，过点作,交的延长线于点 . , . ， ， ， 分层训练 构建学科思维 9 . , . , . 在中， ，由勾股定理，得 ， . 分层训练 构建学科思维 4.如图，在中，， ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 11 解：如图，过点作，交 的延 长线于点，则 . . , , . 设，则 , 分层训练 构建学科思维 12 $第24章 解直角三角形 全国视野+核心素养专练 1 1.【创新题】（枣庄中考）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火 炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈 正六边形.若点，，，，， 是正六边形的六个顶点，则 _ __. 分层训练 构建学科思维 2 2.【跨学科融合】【几何直观、模型观念、应用意识】 （枣庄中考）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一 根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬 挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力 作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 米， ，支架，米，可以绕着点 自 由旋转，当点旋转到如图所示位置时 ，此时点 到水平地面 的距离为_________米.（结果保留根号） 分层训练 构建学科思维 3 分层训练 构建学科思维 3.【跨学科融合】（金华中考）图1是 光伏发电场景，其示意图如图2， 为吸热塔，在地平线上的点， 处各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中 心点 旋转镜面，使过中心点的太 阳光线经镜面反射后到达吸热器点 处. 已知，，，在点 观测点 的仰角为 . 分层训练 构建学科思维 5 （1）点的高度为 ___ . （2）设 ， ，则 与 的数量关系是 _____________. 9 分层训练 构建学科思维 6 4.【开放性】（广州中考）某数学活动小组利用太阳 光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图，在 某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在 处立 一根标杆，标杆的影子为， ， . （1）求 的长； 解：， ， 的长为 . 分层训练 构建学科思维 7 （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗 杆 的高度. 条件①：；条件②：从处看旗杆顶部的仰角 为 . 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分. 参考数据：， ， . 分层训练 构建学科思维 8 解图 解：若选择条件①： 由题意，得 ,, ， 旗杆的高度约为 . 若选择条件②：如解图，过点作 ，垂足 为 ， 则， . 分层训练 构建学科思维 9 在中， ， . . 旗杆的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 $第24章 解直角三角形 本章思想方法 1 思想1 数形结合的思想 1.（陕西中考）如图，在 的网格中，每个小 正方形的边长均为1．若点，， 都在格点上， 则 的值为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.（宿迁中考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点．点、、 三点都在格点上，则 ___． 分层训练 构建学科思维 3 思想2 转化的思想 图1 3.【问题背景】 如图1，在边长为1的正方形网 格中，连结格点，和，，和 相交于 点，求 的值．小马同学是这样解决的： 连结格点，可得，则 ， 连结，那么就变换到 中．则 的值为___． 3 分层训练 构建学科思维 4 【探索延伸】 如图2，在边长为1的正方形网格中，和 相交 于点，求 的值． 分层训练 构建学科思维 5 图2 解：如图2，在点上方一格处取点 ,连结 ，，过点作 于点 ，， 四边形 是平行四边形， ， 的面积为 ， 分层训练 构建学科思维 6 ， ， ， ． 分层训练 构建学科思维 思想3 方程的思想 4.（青岛中考）太阳能路灯的使用，既方便了 人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织 学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电 池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ， 点是的中点，是灯杆．地面上三点 ， 分层训练 构建学科思维 8 与在一条直线上，，．该校学生在 处测 得电池板边缘点的仰角为 ，在处测得电池板边缘点 的仰 角为． 此时点、与 在一条直线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到．参考数据： ， ，， ） 分层训练 构建学科思维 解图 解：如解图，过点作于点 ，过点 作于点，依题意，得 ， ， ， 又，和 均为等腰 直角三角形，， ． ， ． ，， ， 四边形 为矩形， 分层训练 构建学科思维 10 ，， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则 ， ， ， 在中， ， 分层训练 构建学科思维 ，即 解得 ， 检验后知道 是原方程的根，且符合题意． ， 在等腰直角三角形 中，由勾股定理，得 . 点为 的中点， . 答：太阳能电池板宽的长度约为 ． 分层训练 构建学科思维 $第24章 解直角三角形 24.1 测量 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用勾股定理进行测量 1.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面 直径是，内壁高．若这支铅笔长为 ， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，有两棵树，一棵高 ，另一棵 高，两树相距 .一只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞 行( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了 测量如图所示的风筝的高度 ，测得如下数据： ①测得的长度为8米注： ；②根据手中 剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． 求风筝的高度 ． 分层训练 构建学科思维 5 解：在 中， 由勾股定理，得 （米）， （负值舍去）， （米）. 答：风筝的高度 为16.6米. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利用相似三角形进行测量 4.如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽 度，可以在河对岸选定一个目标点 ，在近岸取点 和点，使，且，再过点 作 ，且，与交于点 ，若测 得，则河宽 的宽度为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 5.（杭州中考）某项目学习小组为了测量直立 在水平地面上的旗杆的高度，把标杆 直 立在同一水平地面上（如图）.同一时刻测得 旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 ，.已知点， ， 9.88 ，在同一直线上，，， ，则 _____ . 分层训练 构建学科思维 8 6.【注重实践探究】（教材P101习题 变式） 商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠， 镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小 亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一 条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离 米， 凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离 米， 凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高1.7米，，， 三 点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 分层训练 构建学科思维 9 解：如图，过点作于点，交 于 点．由题意，得四边形 ，四边形 均为矩形， . . 分层训练 构建学科思维 10 . . ,即 . . 城楼高度为 . 分层训练 构建学科思维 11 7.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端 放 在距离墙根点0.7米处，另一头 点靠墙，如果梯子 的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑( ) D A.0.4米 B.0.6米 C.0.7米 D.0.8米 分层训练 构建学科思维 12 8.如图，小明在 时测得直立于地面的某树 的影长为3米， 时又测得该树的影长为12 米.若两次日照的光线互相垂直，则树的高 度为___米. 6 分层训练 构建学科思维 13 9.如图，光源与地面的距离 为8米，与正 方体大箱顶的距离 为2米.已知箱子的棱长 为6米，在光源照射下，箱子在左侧的影 13 子长5米，则箱子在右侧的影子 的长为____米. 分层训练 构建学科思维 14 10.（教材P102习题 变式）如图，在一棵树上 距地面5米高的 处有三只猴子，第一只猴子爬 下树走到离树10米处的池塘 处，第二只猴子直 接从处跃到处，第三只猴子爬到树顶 后直 接跃到 处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离 相等. 分层训练 构建学科思维 15 （1）求第二只猴子经过的直线距离； 解：由题意，知在中， 米， 米， 由勾股定理，得 （米）. 故第二只猴子经过的直线距离是 米. 分层训练 构建学科思维 16 （2）求这棵树的高度. 解：由题意，知 ，且 米， 米， 设米，则 米， 在中， ， 即 . 解得 . （米）. 答：这棵树的高度为7.5米. 分层训练 构建学科思维 17 11.如图，在与某建筑物相距处有一棵树 ，在 某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为 ，此时， 树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在 建筑物的墙上.如果墙上的影高为 ，那么这棵树 高为多少？ 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图，延长，交于点 . 由题意，得 ， 即.解得 . . ， ， 即.解得 . 答：这棵树高为 . 分层训练 构建学科思维 19 $第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 24.3.2 用计算器求锐角三角函数值 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用计算器求锐角三角函数值 1.用计算器求 的值，下列按键顺序正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.用计算器计算 的值约是（结果精确到0.0001） ( ) C A. B. C. D. 3.（陕西中考）用科学计算器计算： _____ （结果精确到0.01）. 0.71 分层训练 构建学科思维 4 4.用计算器求下列三角函数值（精确到0.01）. （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 由三角函数值求锐角度数 5.为了方便行人推车过某天桥，市政府在 高的天桥一侧修建 了 长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条 斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.已知下列锐角的各三角函数值，用计算器求锐角 的度数 （结果精确到 ）. （1） ； 解: . （2） ； 解： . （3） . 解： . 分层训练 构建学科思维 7 7.在中， ，，运用计算器计算 的 度数约等于（结果精确到 ）( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.用计算器求下列各式的值：（精确到0.001） （1） ； 解：原式 . （2） ． 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 9.（1）如图1，图2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定 而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值 和余弦值变化的规律； 图1 图2 解：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小. 分层训练 构建学科思维 10 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小； 解： ， . 分层训练 构建学科思维 11 （3）比较大小（填“ ”“ ”或“”） 若 ，由 ___ ； 若 ，由 ___ ； 若 ，由 ___ ； （4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列 正弦值和余弦值的大小: ， ， ， . 解： . 分层训练 构建学科思维 12 $第24章 解直角三角形 专题训练（十二） 三角函数与网格图 求三角函数值 1 方法1 用网格图中隐含的特殊角 1.如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形 的顶点称为格点，点，，都在格点上， ，则 的值为_ __. 分层训练 构建学科思维 3 方法2 用网格图中隐含的直角 3.如图，网格中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方 形，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点都在格点上，则 的值为_____. 分层训练 构建学科思维 4 方法3 构网格图中隐含的直角 4.如图，网格中的小正方形的边长均为1，点 ， ，都在格点上，则 的正切值是( ) D A.2 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 方法4 作垂线用面积法 5.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1， 的每个顶点 都在网格的交点处.求 的值. 分层训练 构建学科思维 6 解：如图，过点作于点 . 由勾股定理，得 ， , 由，得 ， . 分层训练 构建学科思维 7 方法5 作平行线转移角 6.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等， ， ，，都在格点处，与相交于点.求 的值. 分层训练 构建学科思维 8 解：如图，把向上平移一格得到 ，连结 ，则 , . 设每个小正方形的边长为1. 在中， ， ， ， ，故 为直角三角 形， , . 分层训练 构建学科思维 9 $第24章 解直角三角形 章末复习 解直角三角形 1 复习点1 测量 1.如图，在中， , ，，交于点 ， ，则 的长为( ) C A.8 B.4 C.12 D.6 分层训练 构建学科思维 2 2.（荆州中考）如图，在中， ，通过尺规 作图得到的直线分别交，于点，，连结 .若 ，则 ____. 分层训练 构建学科思维 3 复习点2 锐角三角函数的概念 3.在中， ，，，那么 等 于( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，矩形的四个顶点分别在直线 , , ,上.若直线 且间距相 等， ,，则 的值为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.（连云港中考）如图，在 的正方形网格 中，的顶点，， 都在网格线上，且都 是小正方形边的中点，则 __. 6.（通辽中考）如图，在矩形中， 为 上的点，， ，则 ________. 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 特殊角的三角函数值 7.已知锐角 满足，则锐角 的度数为( ) B A. B. C. D. 8.在中，若，则 的度数是 ______． 分层训练 构建学科思维 7 9.（张家界中考）计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 复习点4 解直角三角形 10.（乐山中考）如图，在 中， ，，点是 上一点， 连结.若 ， ，则 的长为( ) C A. B.3 C. D.2 分层训练 构建学科思维 9 11.（邵阳中考）如图，在矩形中，，垂足为 . 若 ，，则 的长为___. 3 分层训练 构建学科思维 10 复习点5 解直角三角形的应用 12.（福建中考）如图所示的衣架可以近似看成 一个等腰三角形，其中 ， ，，则高 约为 （参考数据：， ， ）( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 13.（武汉中考）如图，沿 方向架桥修路，为加快施工进度， 在直线上（湖的另一边）的处同时施工.若 ， ， ，则， 两点之间的距离是 ________ . 分层训练 构建学科思维 12 14.（盐城中考）2022年6月5日，“神 舟十四号”载人航天飞船搭载“明星” 机械臂成功发射.如图是处于工作状 态的某型号手臂机器人示意图， 是垂直于工作台的移动基座， ， 为机械臂，，， ， ,机械臂端点到工作台的距离 . 分层训练 构建学科思维 13 （1）求, 两点之间的距离； 解：如图，过点作，交 的延长线 于点 ,连结 . ， . 在 中， ， . 分层训练 构建学科思维 14 . 在 中，由勾股定理，得 . 分层训练 构建学科思维 （2）求的长.（结果精确到.参考数据： , ,, ） 解：如图，过点作，垂足为 . . . 在 中，由勾股定理，得 . . 分层训练 构建学科思维 16 15.（金昌中考）如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物， 现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一 种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组 制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算 出新生物到皮肤的距离方案如下： 图1 分层训练 构建学科思维 17 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 ____________________________________________________ __________________________________________ 图1 图2 分层训练 构建学科思维 18 说明 如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开 器官的处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离处的 处照射新生 物，检测射线与皮肤的夹角为 ． 测量 数据 ， ， 续表 分层训练 构建学科思维 19 请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距 离．（结果精确到 ） （参考数据：，， ， ，， ） 分层训练 构建学科思维 20 解：如图，过点作，垂足为 ， 设 ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 分层训练 构建学科思维 21 ， ， 解得 ， ， 新生物处到皮肤的距离约为 ． 分层训练 构建学科思维 $第24章 解直角三角形 综合与实践——测高 1 1.（宁波中考）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角 和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示. 图1 图2 图3 分层训练 构建学科思维 2 （1）如图2，在点观察所测物体最高点 ，当量角器零刻度线 上，两点均在视线 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 .设仰角为 ，请直接用含 的代数式表示 ; 解：根据题意，得 . 图2 分层训练 构建学科思维 3 （2）如图3，为了测量广场上气球 离地面的高度，该小组利用 自制简易测角仪在点，分别测得气球的仰角为 ， 为 ，地面上点，， 在同一水平直线上， ，求气球离地面的高度 .（参考数据： ，， ） 图3 分层训练 构建学科思维 4 解：由题意，得 . 设,则 , . 在中， ， ，即 ， 解得,经检验， 是原方程的根，且符合题意.即 . 答：气球离地面的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 5 2.天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年（1267）， 为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数 学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活 动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们 在善济塔前的一棵树底部处测得塔顶处的仰角为 ，在塔底部 处测得大树顶部处的仰角为 ，测得树高为 .为了减小测 量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它 们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）. 分层训练 构建学科思维 6 课题 测量善济塔的高度 测量示 意图 线段表示大树的高度，线段 表示善济塔的高度， 点，在同一条直线上，且点，，， 都在同一竖 直平面内 _______________________________________________ 分层训练 构建学科思维 7 测量数 据 测量项目 第一次 第二次 平均值 … … （1）任务一：表中 _____; 续表 分层训练 构建学科思维 8 （2）任务二：请帮小组的同学求出善济塔 的高度;（结果精确 到，参考数据：，， ， ） 分层训练 构建学科思维 9 解：在中， ， . 在中， ， . 答：善济塔的高度约为 . 分层训练 构建学科思维 （3）任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的 项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一条即可） 解：还需要补充的项目：测量工具（或计算过程，人员分工，指 导教师等）.（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 11 $第24章 解直角三角形 24.3 锐角三角函数 24.3.1 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 特殊角的三角函数值 1.（天津中考） 的值等于( ) B A.2 B.1 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，与 射线交于点，再以点为圆心， 的长为 半径画弧，两弧交于点，画射线 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.计算： （1） _ __； （2） ___； （3） _ ____； （4） ____. 1 分层训练 构建学科思维 5 4.计算： （1） ； 解：原式 ． （2） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 由三角函数值求角度 5.在中， ,，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 6.若，且 为锐角，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 7.在中，若， ，则这个三角形一定是 ( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 分层训练 构建学科思维 7 8.在中，若，， 都是 锐角，求 的度数. 分层训练 构建学科思维 8 解： ， 与 的值均为非负数， ， ， 即， . ， 都是锐角， ， . . 分层训练 构建学科思维 9 9.在中，已知, 均为锐角，且 ，则 是( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 10.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图 所示， ，，则点 的坐标 为___________. 分层训练 构建学科思维 10 11.（教材P109练习T3变式）在中， ， ，，则 __. 12.（绥化中考）定义一种运算： ， . 例如：当 ， 时， ，则 的值为 _ _____. 分层训练 构建学科思维 11 13.如图，在中， ,, 的平分线交 于点，，求的度数及， 的长. 分层训练 构建学科思维 12 解： 在中，，, , . . 又平分 , . . , . 分层训练 构建学科思维 13 14.如图，在锐角三角形中，与分别是边与 的 高，，， . （1）求 的度数； 分层训练 构建学科思维 14 解：由题意,可知， ， . 在中， ， . . 分层训练 构建学科思维 15 （2）求 的值. 解：，为 上的高， ， . 在 中， ， ， . 分层训练 构建学科思维 16 15.构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要性，在计算 时， 如图，在中， ， B A. B. C. D. ，延长使，连结，得 ，所 以 . 类比这种方法， 计算 的值为 ( ) 分层训练 构建学科思维 17 $第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1.（株洲中考）一技术人员用刻度尺 单位： 测量某三角形部件的尺 寸．如图所示，已知 ，点 为边的中点，点， 对应的刻度 为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在中， ，为 的中 点，若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，在中， ，为高，且 . 求证：点是 的中点. 分层训练 构建学科思维 5 证明： ， . ， ， . . . 又 ， ， 即点是 的中点. 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 含 角的直角三角形的性质 4.在中， ， ，，则 的长 是( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 5.（永州中考）如图，在 中， ， ，点为边 的中 点，，则 的长为( ) C A. B. C.2 D.4 分层训练 构建学科思维 7 6.已知一个直角三角形，两边长分别为3和4，则斜边上的中线长 为______. 或2 7.如图，在中， ， ， .以点为圆心，为半径画弧交 于点 ，再以点为圆心，为半径画弧交于点 ， 则 的长为_________. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，一艘轮船从距离灯塔处80海里的 处向正东航行，并测 得在的北偏东 方向，则轮船按这条路线航行的过程中， 离灯塔的最近距离是________. 40海里 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，在中，， ， ， .求 的长. 分层训练 构建学科思维 10 解： ， . ， ， . . ， . . . . 分层训练 构建学科思维 11 10.（教材P104习题 变式）如图，在 中， ， ，是 的中点，连结 ，，垂足为，则 的长为 ( ) C A.4 B.6 C.2 D.1 分层训练 构建学科思维 12 11.如图，在中， ， 于点，为的中点，连结 .若 ，，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 12.（教材P105习题变式）如图， 中， ， ，于点，则 的长为 ___ ． 6 分层训练 构建学科思维 13 13.如图，在中，，垂足为， 为 上的一点，点为的中点， . 分层训练 构建学科思维 14 （1）求证： ； 证明： 点是 的中点， . ， . ， . 分层训练 构建学科思维 ， . ， 即 . . 分层训练 构建学科思维 （2）若 ，则____ . 70 分层训练 构建学科思维 17 14.如图，在中， ， ， ，点从点 出发沿 方向以的速度向点 匀速运动，同 时点从点出发沿方向以 的速度 向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停 止运动．设点,运动的时间是．过点 作 于点，连结， ． 分层训练 构建学科思维 18 （1）求证： ； 证明：中， ， ， ． 在中， ， ， . 点从点出发沿方向以的速度向点 匀速运动， ， . 分层训练 构建学科思维 19 （2）当为何值时， 为直角三角形？请说明理由． 解：分两种情况讨论:①当 时，由（1）知 , , , 四边形 为平行四边形， ， . ， ， ， 又，即，解得 ； 分层训练 构建学科思维 20 ②当 时，四边形为矩形，在 中， ，则 ， ，即，解得 ; ③若 ，则与重合，与 重合，此种情况不存在． 综上所述，当或12时， 为直角三角形. 分层训练 构建学科思维 21 $