第22章 一元二次方程 习题课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

第22章 一元二次方程 本章知识点整合 1 例1 已知关于的方程 . （1）若该方程为一元二次方程，则 的取值范围为_______； 分层训练 构建学科思维 2 （2）若 ，请用三种不同的方法求解该方程； 解：当时，方程可化为 . 方法一：，, . . 所以方程有两个不相等的实数根 . 即， . 分层训练 构建学科思维 3 方法二：配方，得 . 直接开平方，可得 ， 所以， . 方法三：因式分解，得 ， 所以,或 , 得， . 分层训练 构建学科思维 4 （3）若是该一元二次方程的一个根，则 的值为____，该 方程的另一个根为____； （4）若 ，则该一元二次方程的根的情况是__________； （5）若该一元二次方程有两个相等的实数根，则 的值为__； （6）若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范 围是______________； 10 无实数根 且 分层训练 构建学科思维 5 （7）当时，一元二次方程的两根分别为, ，则 ___；____； ____； ___. 2 9 分层训练 构建学科思维 6 例2 某商场为促销一批进价为25元/件，售价为40元/件的商品， 准备搭建一个矩形场地进行为期四个月的促销活动. （1）如图，商场负责人打算用长的围栏围成一个 的矩 形场地，矩形场地的一边留有 长的进出口，求矩形场地的宽度； 分层训练 构建学科思维 7 解:设矩形场地的宽度为,则长为 . 由题意，得 , 解得, . 当时，；当时， ，不合题意， 舍去. 答：矩形场地的宽度为 . 分层训练 构建学科思维 8 （2）该商品第一个月销售256件.第二、三个月该商品十分畅销， 销售量持续走高.在售价不变的基础上，第三个月底的销售量达 到 400件.若这两个月销量的月平均增长率不变.求这两个月销量 的月平均增长率； 解：设这两个月销量的月平均增长率为 .根据题意，得 , 解得， （不合题意，舍去）. 答：这两个月销量的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 9 （3）第三个月的销售量为400件，从第四个月起，商场决定采用 降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销 售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 解：设当商品降价 元时，商品获利4250元.根据题意，得 . 解得, （不合题意，舍去）. 答：当商品降价5元时，商场获利4250元. 分层训练 构建学科思维 10 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 利用根与系数的关系计算 1.（天津中考）若，是方程 的两个根，则 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（随州中考）已知关于的一元二次方程 的两 个实数根分别为和，则 的值为___. 3.（宜昌中考）已知，是方程 的两根，则代 数式 的值为___. 2 1 分层训练 构建学科思维 4 4.已知，是一元二次方程 的两根，不解方程 求下列各式的值： 解：由题意，知， . （1） ； [答案] . （2） . [答案] . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 利用根与系数的关系求字母系数的值 5.已知，是一元二次方程 的两根，且 ，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 6.若关于的一元二次方程 有两个不 相等的实数根，，且，则 的值是___. 7.（黄冈中考）已知一元二次方程 的两个实数根 为，，若，则实数 ____. 3 分层训练 构建学科思维 6 8.（随州中考）已知关于 的一元二次方程 有两个不等实数根， . （1）求 的取值范围； 解：根据题意，得.解得 . 分层训练 构建学科思维 7 （2）若，求 的值. 解：根据题意，得 . ， .解得， . 由（1），知 ， . 分层训练 构建学科思维 8 9.已知关于的一元二次方程有一个根是 ，则 另一个根是( ) A A.1 B. C.2 D. 分层训练 构建学科思维 9 10.（2024·绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次 方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个 根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方 程的两个根是和 ，则原来的方程是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 11.（2024·乐山）若关于的一元二次方程 两根 为、，且，则 的值为( ) A A. B. C. D.6 12.已知关于的一元二次方程 的两根分别记为 ，，若，则 的值为( ) B A.7 B. C.6 D. 分层训练 构建学科思维 11 13.（达州中考）已知，是方程 的两个实数 根，且，则 的值为___. 14.（2024·烟台）若一元二次方程 的两根为 ，，则 的值为___. 7 6 分层训练 构建学科思维 12 15.（襄阳中考）关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 解： . 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）若方程的两个根为 ， ，且，求 的值. 解： 方程的两个根为 ， ， ， ， 解得， （舍去）. 分层训练 构建学科思维 14 16.已知关于的方程 （1）当 为何值时,方程有实数根； 解:当关于的方程 为一元一次方程时,则 ,即时,原方程可化为,解得 . 当关于的方程 为一元二次方程,且有实 数根时,则,,解得 且 . 综上所述,当 时,方程有实数根. 分层训练 构建学科思维 15 （2）若方程有两实数根,,且,求 的值. 解:由根与系数的关系,得 , . 又 , , 即,解得 . 经检验,是方程的解,故 . 分层训练 构建学科思维 16 17.【分类讨论思想】已知，分别满足 ， ，则 的值是______. 2或7 分层训练 构建学科思维 17 $第22章 一元二次方程 专题训练（四） 一元二次方程根与系数关系的运用 1 类型1 根与系数的关系 1.（眉山中考）若，是方程 的两个实数根， 则 的值为____. 10 【变式】 己知关于的一元二次方程 的两个 实数根分别为，，且，则 的值是( ) D A. B.2 C. D.1 分层训练 构建学科思维 2 2.【整体思想】（内江中考）已知，是方程 的 两根，则 ____. 3.【新定义】对于实数，，定义运算“ ” 例如，因为，所以.若， 是 一元二次方程的两个根，则 ___. 0 分层训练 构建学科思维 3 类型2 根的判别式及根与系数的关系的综合 4.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根， ，则( ) D A. B. C. D. 5.【易错】若关于的一元二次方程 的两根互为倒数，则 的值等于( ) B A.1 B.2 C.1或2 D.0 分层训练 构建学科思维 4 6.（德州中考）设，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的值为___. 1 分层训练 构建学科思维 5 7.已知，是关于的一元二次方程 的两个 实数根. （1）求 的取值范围； 解： 一元二次方程 有两个实数根， ， 解得 . 分层训练 构建学科思维 6 （2）是否存在实数，使得等式 成立？如果存在， 请求出 的值；如果不存在，请说明理由. 分层训练 构建学科思维 7 解：存在. ，是一元二次方程 的两个实数根， ， . . ， . .解得， . 由（1），知， . 分层训练 构建学科思维 8 8.【分类讨论思想】己知关于 的一元二次方程 有两个实数根， . （1）求 的取值范围； 解： 关于的一元二次方程 有两个实数根 ， ， . 解得 . 分层训练 构建学科思维 9 （2）若，满足，求 的值. 解： 关于的一元二次方程 有两个实数根 ， ， ， .② ， . 当时，有 ，③ 分层训练 构建学科思维 10 联立①、③，解得， . ，满足 . 当时，有 ，④ 联立①、④，解得， （不合题意，舍去）. 的值为4. 分层训练 构建学科思维 11 $第22章 一元二次方程 易错易混专练 1 易错点1 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 1.若是关于的一元二次方程，则 的值为___. 2 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 确定各项时，一元二次方程未化为一般形式而出错 2.若一元二次方程 的一次项系数 为，则 的值为___. 2 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 开平方时漏解 3.方程 的解为_________________. ， 分层训练 构建学科思维 4 易错点4 等式的性质运用不当而导致漏解 4.（扬州中考）一元二次方程 的根是__________ _______. ， 分层训练 构建学科思维 5 易错点5 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平 方，而在右边忘记加而出错 5.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容. 解方程： . 解：移项，得 .① 两边同除以2，得 .② 配方，得，即 .③ 分层训练 构建学科思维 6 直接开平方，得 ，④ 所以， .⑤ 上述解答过程中错在步骤____（填序号），原因是____________ ________________________________________________________ ___. 请写出正确的解答过程. ③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在方程的右边忘记加 分层训练 构建学科思维 解：移项，得 . 两边同除以2，得 . 配方，得，即 . 直接开平方，得 ， 所以， . 分层训练 构建学科思维 8 易错点6 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为0 6.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，求 的最小整数值. 解： 原方程有两个不相等的实数根， ，即 ， 解得 . 的最小整数值是0. 以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案. 分层训练 构建学科思维 9 解：不正确. 错误原因： 当 时，原方程不是一元二次方程， 的最小整数值为1. 分层训练 构建学科思维 10 易错点7 未对方程进行分类讨论导致漏解 7.若关于的方程有实数根，则实数 的取值范围 是( ) C A. B.且 C. D. 分层训练 构建学科思维 11 易错点8 用根与系数的关系时忽视隐含条件“ ” 8.（潍坊中考）若关于的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的值为( ) A A. B. C.或 D.或 分层训练 构建学科思维 12 $第22章 一元二次方程 本章思想方法 1 思想1 整体思想 1.若，则 ___. 3 分层训练 构建学科思维 2 思想2 分类讨论思想 2.已知3是关于的方程 的一个实数根，并 且这个方程的两个实数根恰好是等腰 的两条边的边长，则 的周长为( ) D A.7 B.10 C.11 D.10或11 3.等腰三角形的一边的长为6，另外两边， 的长分别 是方程的两个根，则 的值为________. 12或16 分层训练 构建学科思维 3 思想3 类比思想 4.请阅读下列材料：已知方程 ，求一个一元二次方 程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则 ， 所以 ， 分层训练 构建学科思维 4 把 代入已知方程，得 ． 化简，得 ， 故所求方程为 ， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 分层训练 构建学科思维 5 （1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根 分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______________； （2）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的 根分别是已知方程根的倒数； 分层训练 构建学科思维 6 解：设所求一元二次方程的根是，则，所以． 把代入方程 ，得 ，化简，得 ． 分层训练 构建学科思维 7 （3）已知关于的一元二次方程 的两个 实数根分别为3， ，求一元二次方程 的两根． 分层训练 构建学科思维 8 解：由原一元二次方程整理，得 ， 设， ， 则方程 的两根比 的两根大1， 所以方程的两根分别是4， ． 分层训练 构建学科思维 9 5.（1）如表，方程1、方程2、方程 ，是按照一定规律排列 的一列方程，将方程1的解填在表格中的空格处； 序号 方程 方程的解 1 _______ _______ 2 _______ _______ 3 _______ _______ … … … … 分层训练 构建学科思维 10 （2）若方程的解是， ， 则____； ___； （3）直接写出关于的方程 的解是__________ _______． 12 5 ， 分层训练 构建学科思维 11 $第22章 一元二次方程 专题训练（三） 一元二次方程根的判别式的应用 1 类型1 判断一元二次方程根的情况 1.（泸州中考）关于的一元二次方程 的根 的情况是( ) C A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数 的取值有关 分层训练 构建学科思维 2 2.（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（河南中考）一元二次方程 的根的情况 是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.关于的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数由 的值确定 分层训练 构建学科思维 4 5.关于的方程 ． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； 证明： ， 在实数范围内，无论取何值，，即 ， 关于的方程 恒有两个不相等 的实数根. 分层训练 构建学科思维 5 （2）若此方程的一个根为1，求 的值． 解：根据题意，得 ，解得 ． 分层训练 构建学科思维 6 类型2 确定一元二次方程中字母系数的取值（范围） 6.（2024·兰州）关于的一元二次方程 有两个 相等的实数根，则 ( ) D A. B.4 C. D.1 分层训练 构建学科思维 7 7.（锦州中考）若关于的一元二次方程 有两个 实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 分层训练 构建学科思维 8 8.（眉山中考）关于的一元二次方程 有两 个不相等的实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 9.若方程有两个实数根，则 的取 值范围是( ) A A.且 B. C. D.且 分层训练 构建学科思维 9 10.【数形结合思想】若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 11.已知关于的一元二次方程 有两个实数 根， 为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整 数 的和为___. 5 12.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于 的 一元二次方程的两个根，则 的值是____. 36 分层训练 构建学科思维 11 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.3 公式法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用公式法解一元二次方程 1.如果一元二次方程 能用公式法求解,那 么必须满足的条件是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.若关于的一元二次方程的根为 ，则这个方 程是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.（东营中考）一元二次方程 的解是( ) D A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 5 4.【答题模板】用公式法解方程： . 解：将方程化为一般形形式,得_________________. ___，____， ___， ____, 所以 _ _____, 即_ _____， ______. 2 8 17 分层训练 构建学科思维 6 5.用公式法解方程： （1） ； 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， , 所以 . 即， . 分层训练 构建学科思维 7 （2） . 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， , 所以 , 即， . 分层训练 构建学科思维 8 6.小明在解方程 时出现了错误，他的解答过程如下： 解：，，， （第一步） （第二步） 所以. （第三步） 即，. （第四步） （1）小明的解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是 ________________________； 一 原方程没有化成一般形式 分层训练 构建学科思维 9 （2）写出此题正确的解答过程. 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， . 所以 . 即， . 分层训练 构建学科思维 10 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 7.在下列各题的横线上填写适当的解法. （1）解方程 ，用____________法较适宜； （2）解方程 ，用______法较适宜； （3）解方程 ，用__________法较适宜. 直接开平方 配方 因式分解 分层训练 构建学科思维 11 8.用适当的方法解方程： （1） ； 解：， . ， . 分层训练 构建学科思维 12 （2） ； 解：移项，得 . 方程左边分解因式，得 . 所以或 . 得， . 分层训练 构建学科思维 13 （3） . 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， , 所以 . 即， . 分层训练 构建学科思维 14 9.已知是一元二次方程的较小的根，则下面对 的估值正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 10.对于两个不相等的实数、,我们规定符号,表示、 中的较大值，如：， ．按照这个规定，方程 ， 的解为_ _________________． 或 11.如图，点在数轴的负半轴上，点在数轴的正半轴上，且点 对应的数是，点对应的数是.已知，则 的 值为______. 分层训练 构建学科思维 16 12.用公式法解下列方程： （1） ； 解：，， ， ， 所以 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 17 （2） . 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， . 所以 , 即， . 分层训练 构建学科思维 18 13.如图，将图1正方形剪成四块,恰能拼 成图2的矩形.若 ，求这个正方形的 面积. 分层训练 构建学科思维 19 解：根据图形和题意，得 . ， . 整理，得 . 解得， （舍去）. 正方形的面积为 . 分层训练 构建学科思维 20 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.2 配方法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 配方 1.（教材P27练习T1变式）填空,将左边的多项式配成完全平方式： （1）______ ； （2）_______ ； （3）____ . 4 2 1 分层训练 构建学科思维 3 2.将多项式配方成 的形式为_________ ______. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.用配方法解方程 时，方程的两边同时加上一个实数， 使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是( ) C A.4 B.8 C.16 D.32 4.（赤峰中考）用配方法解方程 时，配方后正确 的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.（2024·东营）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为的形式，则 的值为( ) D A. B.2 024 C. D.1 分层训练 构建学科思维 6 6.用配方法解方程： （1） ； 解：配方，得 . 直接开平方，得 . 所以， . （2） . 解：配方，得 . ， 原方程无实数根. 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 7.用配方法解方程 时，可以将方程化为( ) A A. B. C. D. 8.（教材P26例5变式）用配方法解方程： （1） ； 分层训练 构建学科思维 8 解：移项，得 . 两边同除以2，得 . 配方，得 ， 即 . 直接开平方，得 , 所以， . 分层训练 构建学科思维 9 （2） . 解：移项，得 . 两边同乘，得 . 配方，得 , 即 . 直接开平方，得 , 所以, . 分层训练 构建学科思维 10 9.若方程的左边是一个完全平方式，则 等于( ) B A. B.或6 C.或 D.2或 10.【整体思想】方程 的解为 ____________. 11.【注重阅读理解】（益阳中考）规定： ， 如：，若，则 _______. 1或 分层训练 构建学科思维 11 12.用配方法解方程： （1） ； 解：配方，得 . 所以， . （2） . 解：配方，得 . ， 原方程无实数根. 分层训练 构建学科思维 12 13.试说明：关于的方程 一定是一 元二次方程. 解： ， ， ，即 . 关于的方程 一定是一元二次方程. 分层训练 构建学科思维 13 微专题4 配方法的应用 应用1 利用配方法和非负数的性质求值 1.已知，，是 的三边长，满足， 且为等腰三角形，则边 的长为______. 4或6 分层训练 构建学科思维 14 2.若，求， 的值. 解：由题意，得 ， 即 . ， . ， . 分层训练 构建学科思维 15 应用2 利用配方法求代数式的值 3.已知，，求 的值. 解：, , . 分层训练 构建学科思维 16 应用3 利用配方法比较大小 4.已知，为任意实数，则, 的大小关 系为( ) C A. B. C. D.不能确定 分层训练 构建学科思维 17 应用4 利用配方法求最值 5.求 的最小值. 解： . 不论取何值， 总是非负数，即 . 当时， 有最小值，最小值是1. 分层训练 构建学科思维 18 【变式】 不论，为何实数，代数式 的 值( ) A A.总不小于1 B.总不大于1 C.总不小于6 D.可为任何实数 分层训练 构建学科思维 19 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 直接开平方法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用直接开平方法解形如 的一元二次方程 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.一元二次方程 的解是( ) A A.， B. C. D.， 3.关于的方程 （1）当 时，方程有____________的实数根； （2）当 时，方程有__________的实数根； （3）当 时，方程__________. 两个不相等 两个相等 无实数根 分层训练 构建学科思维 4 4.解方程： . 解：移项，得_________. 方程两边都除以___，得_______. 直接开平方，得_________. 即____， ______. 2 分层训练 构建学科思维 5 5.（教材P21例1变式）用直接开平方法解下列方程： （1） ； 解：方程两边都除以16，得 . 直接开平方，得 . 即， . 分层训练 构建学科思维 6 （2） ； 解：移项，得 . 方程两边都除以3，得 . 直接开平方，得 . 即， . 分层训练 构建学科思维 7 （3） . 解：移项、合并同类项，得 . 直接开平方，得 . 即， . 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 用直接开平方法解形如 的一 元二次方程 6.方程 的根是( ) A A.， B.， C. D.， 7.关于的方程（其中 ）的解为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 8.若一次函数的图象经过点，则关于 的方程 的实数根为( ) C A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 10 9.用直接开平方法解方程： （1） ； 解：直接开平方，得 . 所以， . （2） ； 解：原方程可以变形为 . 直接开平方，得 . 所以， . 分层训练 构建学科思维 11 （3） . 解：方程两边都除以9，得 . 直接开平方，得 . 所以， . 分层训练 构建学科思维 12 10.对于实数、,我们用符号,表示， 两数中较小的数， 如，，若，，则 _______． 2或 分层训练 构建学科思维 13 11.用直接开平方法解下列方程： （1） ； 解：移项、合并同类项，得 . 方程两边都除以3,得 . , 此方程无实数根. 分层训练 构建学科思维 14 （2） ； 解：移项，得 ， 方程两边都除以4,得 ， 直接开平方，得 ， 所以， . （3） . 解：直接开平方，得 ， 所以， . 分层训练 构建学科思维 15 12.已知是一元二次方程的一个根，求 的值和方 程的另一根． 解：把代入得 ， 解得 . 所以 ， 解得， ， 分层训练 构建学科思维 16 13.已知一元二次方程 的两个解恰好分别是等腰三角 形的底边长和腰长，求 的周长. 解： , . 解得， . 一元二次方程 的两个解恰好分别是等腰三角形 的底边长和腰长, 分层训练 构建学科思维 17 分两种情况：①当底边长和腰长分别为4和2时， ， 此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合三角形的三边关系，此时 的周长为 . 综上所述， 的周长为10. 分层训练 构建学科思维 14.若一元二次方程的两个根分别是 与 ，则 ___. 4 分层训练 构建学科思维 19 $第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 第1课时 一元二次方程的应用——图形面积问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一般图形的面积问题 1.（哈尔滨中考）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形 空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设 矩形空地的长为 米，根据题意，所列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，把小圆形场地的半径增加 得到大圆形场地，场地面 积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为( ) D A. B. C. D. 3.一个直角三角形的两条直角边相差，面积是 ，则较 长的直角边的长为______. 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，已知线段的长为2，以为边在 的下方作正方形 ．取边上一点，以为边在 的上方作正方形 ．过作，垂足为，若正方形 与四边形 的面积相等，则 的长为________． 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 边框与通道问题 5.如图，某小区计划在一块长,宽 的矩形空地上修建三 条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.（教材P38问题1变式）（龙东地区中考）如图，在长为 , 宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分 全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是( ) A A. B. C.或 D. 分层训练 构建学科思维 7 7.（泰州中考）如图，在长为 、宽为 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路， 余下的铺上草坪.要使草坪的面积为 ， 道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为 .根据题意，得 . 解得, （不合题意，舍去） 答：道路的宽应为 . 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 围墙问题 8.如图，邻边不相等的矩形花园，它的一边 利用已有的 围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是 .若矩 形的面积为，则的长度是___ . 3 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，有长为的篱笆，一面利用墙 墙的最大可用长度为 ，围成中间隔有一道篱笆平行于 的矩形花圃.如果要围 成面积为的花圃，那么 的长为_____. 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，某单位准备在院内一块长 、 宽 的长方形花园中修两条纵向平行和 一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草. 要使种植花草的面积为 ，则小道进 出口的宽度为___ . 1 分层训练 构建学科思维 11 11.在一块长为80米、宽为60米的长方形空地上修 建一个停车场，停车场的中间有三个大小相同的长 方形停车区域，其余部分铺成硬化路面，如图所示， 要求这些硬化路面的宽都相等，并且三个停车区域 5 面积的和是长方形空地面积的 ，则硬化路面的宽为___米. 分层训练 构建学科思维 12 12.（东营中考）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋 的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边 上留 一个宽的门（建在 处，另用其他材料）． 分层训练 构建学科思维 13 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？ 解：设矩形的垂直于外墙的边的长为，则边 的 长为 ． 根据题意，得 ． 化简，得 ， 分层训练 构建学科思维 14 解得， ， 当时， ， 当时， ． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为 时， 能围成一个面积为 的羊圈． 分层训练 构建学科思维 （2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案； 如果不能，请说明理由． 解：不能．理由如下： 由题意，得 ， 化简，得 ， ， 一元二次方程没有实数根． 羊圈的面积不能达到 ． 分层训练 构建学科思维 16 13.如图，四边形为矩形， ， ，若点从点出发沿以 的速 度向运动，从点出发沿以 的速度向 运动，如果、 同时出发，当一个点到达终点 时，另一点也同时停止．设运动的时间为 ． 分层训练 构建学科思维 17 （1）当为何值时， 为等腰三角形？ 解：根据题意，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即，解得 ． 当时， 为等腰三角形． 分层训练 构建学科思维 18 （2）当为何值时，的面积为 ？ 解： ， 且 ， ，解得 ． 当时，的面积为 ． 分层训练 构建学科思维 19 （3）五边形的面积能否达到？若能，请求出 的 值；若不能，请说明理由； 解：不能.理由如下： ， 分层训练 构建学科思维 20 当 时， 整理，得 ， ， 该方程没有实数根， 五边形的面积不能达到 ． 分层训练 构建学科思维 （4）当为何值时，、两点之间的距离为 ？ 解：在中， ， 根据题意，得 ， ，解得， ， ，，且,, 三点构成三角形, ， ． 分层训练 构建学科思维 22 $第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 第2课时 一元二次方程的应用——平均变化率问题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 平均变化率问题 1.（2024·眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该 村的“智慧春耕”让生产更高效，稳步提升了水稻亩产量，水稻亩 产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，设该村水稻 亩产量年平均增长率为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（内江中考）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降 到每件16元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.某出口公司今年计划每月平均盈利125万元，由于原料成本上 升，二月份盈利比计划减少 ，从三月份开始，公司采用新技 术，盈利不断上升，四月份盈利达到121万元. （1）二月份实际盈利_____万元； 100 分层训练 构建学科思维 5 （2）求二月份到四月份盈利的月平均增长率. 解：设二月份到四月份盈利的月平均增长率为 ，根据题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：二月份到四月份盈利的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 利润问题 4.【答题模板】某商店将进货单价为40元/个的商品按50元/个出 售时，可售出500个，经市场调查发现：该商品每个每涨价1元， 其销量就减少10个，若商店计划赚8 000元，则每个商品的售价 应定为多少？ 分层训练 构建学科思维 7 解：设每个商品涨价 元，则每个商品的利润为_________元，所 售个数为_____________个. 根据每个商品的利润×所售个数 总利润可列方程: _______________________________. 分层训练 构建学科思维 8 5.某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局规定，每件商 品的利润率不得超过.若每件商品售价定为 元，则可卖出 件，商店预期要盈利280元，则每件商品的售价应定 为( ) A A.20元 B.20.8元 C.20元或30元 D.30元 分层训练 构建学科思维 9 6.某商家销售一种进价为15元的商品，促销前销售单价为25元， 平均每天能售出80件.根据市场调查，销售单价每降低1元，平均 每天可多售出40件． （1）若每件商品降价 元，则商店每天的平均销量是__________ 件（用含 的代数式表示）； 分层训练 构建学科思维 10 （2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品 200件，平均每天的利润达到1 280元，每件商品的定价应为多少元？ 分层训练 构建学科思维 11 解：设每件商品的定价为 元，则每件商品的销售利润为 元， 平均每天能售出 件. 依题意，得 . 整理，得 ， 解得， ． 当时， , 当时， . 答：每件商品的定价应为19元． 分层训练 构建学科思维 12 7.（达州中考）某公司今年4月的营业额为 万元，按计划第 二季度的总营业额要达到9 100万元，设该公司5、6两月的营业 额的月平均增长率为 ．根据题意列方程，则下列方程正确的是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 8.根据某省统计局发布的数据，某市2023年一季度规上工业增加 值与2022年一季度同期相比下降了 ，2024年一季度规上工 业增加值与2023年一季度同期相比增长了 ，则2022年至2024 年的年平均增长率是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 9.某快递公司今年8月份与10月份投递的快递件数分别为10万件 和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率； 解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 ． 根据题意，得 ， 解得， （舍）， 答：该快递公司投送的快递件数的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 15 （2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司 现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在 不增加人手的情况下，该公司能否完成今年11月份的投递任务． 分层训练 构建学科思维 16 解：11月份的快递件数为 （万件）， ， 因为 ， 所以在不增加人手的情况下，该公司不能完成今年11月份的投递 任务． 分层训练 构建学科思维 17 10.某校文化节期间，九（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一 批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内， 销售量（个）与销售单价 （元/个）之间的函数关系如图所示． 分层训练 构建学科思维 18 （1）求与 的表达式并写出自变量的取值范围； 解：设与的表达式为 ， 将， 代入，得 解得 与之间的函数表达式为 ． 分层训练 构建学科思维 19 （2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？ 解：依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ． 答：销售单价应定为40元/个或60元/个. 分层训练 构建学科思维 20 11.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当每间客房 的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.每间客房的定价每 提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还 需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提 高了 元. 分层训练 构建学科思维 21 （1）填表（不需化简） 项目 入住的房间数 量/间 每间客房的价格 /元 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 _ _______ _________ _ ______________ 分层训练 构建学科思维 22 （2）若该青年旅社希望每天的纯收入为14 000元，且能吸引更 多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入 总收入-维 护费用） 分层训练 构建学科思维 23 解： ，依题意，得 ， 整理，得 . 解得， . 当时， . 当时， . 当 时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为 （元）. 答：每间客房的定价应为300元. 分层训练 构建学科思维 24 $第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中一定是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 2.（教材P20习题变式）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是 _________. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.（教材P19练习变式）把下列关于 的一元二次方程化为一般形 式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （1） ； 解：将方程化为一般形式是 ，其中二次项系数是3， 一次项系数是 ，常数项是0. 分层训练 构建学科思维 4 （2） ； 解：将方程化为一般形式是 ，其中二次项系数是2， 一次项系数是0，常数项是1. （3） . 解：将方程化为一般形式是 ，其中二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为0. 分层训练 构建学科思维 5 知识点3 一元二次方程的解 4.（2024·深圳）一元二次方程 的一个解为 ，则 ___. 5.是关于的一元二次方程 的解，则 ____. 2 分层训练 构建学科思维 6 知识点4 根据实际问题列一元二次方程 6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同 程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售 价的月均下降率是 ，则所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.根据下列问题,列出关于 的一元二次方程（不必求解），并将 其化为一般形式. （1）正方体的表面积为36，求正方体的边长 ； 解：，化为一般形式为 . （2）小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件 衬衫的价格恰好比衬衫总件数的6倍还少5元，求小明母亲共买回 衬衫的件数 . 解：，化为一般形式为 . 分层训练 构建学科思维 8 8.【数学文化】（襄阳中考）我国南宋数学家杨辉在1275年提出 的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二 步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽 比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为 步，根据题意列方程 正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 9.已知是关于 的一元二次方程 的一个根,那么直线 经过的象限是( ) B A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 10.（2024·南充）已知是方程 的一个根，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 10 11.（易错点：忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错）若 是关于的一元二次方程，则 的值 为___. 1 分层训练 构建学科思维 11 12.根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （1）小明用的铁丝围成一个斜边长为 的直角三角形， 求该直角三角形的两直角边长； 解：设该直角三角形的一条直角边长为 ，则另一直角边长 为 ， 根据题意,得 .整理化简，得 . 分层训练 构建学科思维 12 （2）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为 单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛， 求参赛的足球队个数. 解：设参赛的足球队有 个，根据题意，得 .整理化简，得 . 分层训练 构建学科思维 13 13.已知关于的方程 . （1）当 为何值时，此方程是一元一次方程？ 解：由题意，得且， ， 即 . 当 为3时，此方程是一元一次方程. 分层训练 构建学科思维 14 （2）当 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：由题意，得 ， 即 . 当 时，此方程是一元二次方程. 分层训练 构建学科思维 15 14.若是方程 的一个根，设 ， . （1）求 的值； 解：是方程 的一个根， . . 分层训练 构建学科思维 16 （2）求 的值. 解：由（1），知 , . 分层训练 构建学科思维 17 微专题2 根据一元二次方程的解的定义求值 类型1 已知一元二次方程的解求方程中待定字母的值 方法：将解代入原方程中即可求解. 1.（深圳中考）已知方程的一个根是1，则 的 值为___． 【变式】 （枣庄中考）已知关于 的一元二次方程 有一个根为，则 ____． 2 分层训练 构建学科思维 18 类型2 已知一元二次方程的解求代数式的值 方法：若方程中的待定字母无法求出，应采用整体思想解决 问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已 知条件可求出，将其整体代入即可求解. 2.（连云港中考）若关于 的一元二次方程 的一个解是，则 的值是___． 【变式】 （扬州中考）若是方程 的一个根， 则 的值为______． 1 2018 分层训练 构建学科思维 19 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第2课时 因式分解法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 用因式分解法解一元二次方程 1.一元二次方程 的解为( ) D A. B. C.， D.， 2.方程 的解是( ) D A. B. C.， D., 分层训练 构建学科思维 3 3.我们解一元二次方程 时,可以运用因式分解法，将 此方程化为 ，从而得到两个一元一次方程： 或，进而得到原方程的解为， .这种 解法体现的数学思想是( ) A A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 分层训练 构建学科思维 4 4.已知某一元二次方程的两根分别为， ，则这个 方程可能为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.如果二次三项式能分解成 的形式，则 方程 的两个根为( ) A A.， B., C., D., 分层训练 构建学科思维 6 6.用因式分解法解方程 ，将左边因式分解后有一 个因式为，则 的值为( ) D A. B.5 C. D.1 7.用因式分解法解下列方程,正确的是( ) D A.， B.，或 C.，或 D.，或 分层训练 构建学科思维 7 8.用因式分解法解下列方程： （1） ； 解：方程左边分解因式，得 ， ， . 分层训练 构建学科思维 8 （2） ； 解：方程左边分解因式，得 . 所以或 . 得， ． 分层训练 构建学科思维 9 （3） ； 解:方程左边分解因式，得 . ， . （4） . 解：方程左边分解因式，得 . ， . 分层训练 构建学科思维 10 9.小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下： 小敏： 两边都除以 ， 得 ， 则 . 小霞： 移项，得 ， 方程左边因式分解，得 . 则或 ， ， . 你认为她们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误， 请在框内打“×”并写出你的解答过程. 分层训练 构建学科思维 11 [答案] ×; ×; 解：解答过程如下： 移项，得 ， 方程左边分解因式，得 . 所以或 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 12 10.已知关于的一元二次方程 有一个根 为0，则 ___. 2 11.【整体思想】已知，则 的值为 ( ) A A.2或0 B.或0 C.2或 D. 或1 分层训练 构建学科思维 13 12.用因式分解法解下列方程： （1） ； 解：原方程变形为 . 方程左边分解因式，得 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 14 （2） . 解：方程左边分解因式，得 ， 即 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 15 13.方程 的根是_________________________. ，， 分层训练 构建学科思维 16 微专题3 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【注重阅读理解】阅读下列材料： （1）将 分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ， . 分层训练 构建学科思维 17 ②交叉相乘，验中项： . ③横向写出两因式： . 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 分层训练 构建学科思维 18 （2）根据乘法原理：若，则或 . 试用上述方法和原理解下列方程： （1）（2024·齐齐哈尔） ； 解： , 或 . ， . 分层训练 构建学科思维 19 （2）（凉山州中考） . 解： ， 或 . ， . 分层训练 构建学科思维 20 【变式1】 一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程 的一个根，则此三角形的周长是 ____ . 【变式2】 若关于的一元二次方程 可变形为 ,为整数，则 的最大值为____. 13 11 【变式3】 解方程： . 解： ， ， . 分层训练 构建学科思维 21 【变式4】 解方程： . 解： , ， . 分层训练 构建学科思维 22 $第22章 一元二次方程 章末复习 一元二次方程 1 复习点1 一元二次方程及其相关概念 1.方程是关于的一元二次方程，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 2.将方程 化成一般形式，其一次项系数是( ) C A. B.2 C. D.7 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 一元二次方程的解法 3.方程 的解是( ) C A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 3 4.用给出的方法解下列方程： （1） （配方法）； 解：移项，得 . 配方，得 ， 即 . 直接开平方，得 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 4 （2） （因式分解法）； 解：方程左边因式分解，得 . 所以或 ， 即， ． 分层训练 构建学科思维 5 （3） （公式法）. 解：将方程化为一般形式，得 . ， . ， . 分层训练 构建学科思维 6 复习点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 5.关于的一元二次方程 有实数根，则 的最小整数值为( ) B A.1 B.0 C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.已知关于的方程 ，则下列分析正确的是 ( ) B A.当 时，方程有两个相等的实数根 B.当 时，方程有两个不相等的实数根 C.当 时，方程没有实数根 D.方程的根的情况与 的值无关 分层训练 构建学科思维 8 7.（2024·泸州）已知，是一元二次方程 的 两个实数根，则 的值是____. 14 分层训练 构建学科思维 9 8.关于的一元二次方程 . （1）若方程有两个实数根，求 的取值范围； 解： 关于的一元二次方程 有两个实数根. , . 分层训练 构建学科思维 10 （2）若方程的两个根为，，且，求 的 值． 解： 方程的两个根为， ， , . , , . , 符合题意. 分层训练 构建学科思维 11 复习点4 一元二次方程的应用 9.【数学文化】（泰安中考）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买 椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的 价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后， 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少 株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是 ( ) 分层训练 构建学科思维 12 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 13 10.如图，在中， ， ，.以点为圆心， 的长为半径 画弧，交线段于点，以点为圆心， 的长 为半径画弧，交线段于点 .下列哪条线段的 长度是方程 的一个根( ) B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 分层训练 构建学科思维 14 11.如图，在一块长，宽 的矩形土地上，要建造一个花 园，使花园所占面积为矩形土地面积的一半，且花园周围的小路 宽度相等，则小路的宽度为_____． 分层训练 构建学科思维 15 12.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的 规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该 品牌头盔4月份销售150顶，6月份销售216顶，且从4月份到6月份 销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 由题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 分层训练 构建学科思维 16 （2）若此种头盔的进价为30元/顶，测算在市场中，当售价为40 元/顶时，月销售量为600顶，若在此基础上售价每上涨1元/顶，则 月销售量将减少10顶，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可 能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/顶？ 分层训练 构建学科思维 17 解：设该品牌头盔的实际售价为 元/顶， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得（不合题意，舍去）， . 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/顶． 分层训练 构建学科思维 18 13.，是一元二次方程 的两个实数根， 若满足 ，则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程” 的定义，解决下列问题： 分层训练 构建学科思维 19 （1）通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”： ； 解：解方程 ，得 ， . ， 不是“差根方程”. 分层训练 构建学科思维 20 （2）已知关于的方程是“差根方程”，求 的值. 解：设方程的两根分别为，，则 ， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ， . ， ，即 . 解得， . 的值为或 . 分层训练 构建学科思维 21 $第22章 一元二次方程 专题训练（二） 一元二次方程的解法 1 类型1 直接开平方法 形如或 的方程用直接开平方 法求解. 1.用直接开平方法解方程： （1） ； 解：， ， ， . 分层训练 构建学科思维 2 （2） ； 解：移项，得 ， 直接开平方，得 ， 即， ． （3） . 解：直接开平方，得 . 即， . 分层训练 构建学科思维 3 类型2 因式分解法 能化为形如 的一元二次方程用因式分解法求解. 2.用因式分解法解方程： （1） ； 解:移项，得 ． 方程左边因式分解，得 ． 所以或 ． 得， ． 分层训练 构建学科思维 4 （2） ； 解：移项，得 ． 方程左边分解因式，得 ． 所以或 ． 得， ． （3） . 解：方程左边分解因式，得 ， 所以或 . 得， . 分层训练 构建学科思维 5 类型3 配方法 若二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，则用配方法求解较 简便. 3.用配方法解方程： 分层训练 构建学科思维 6 （1） ； 解：原方程可化为 . 配方，得 ， 即 . 直接开平方，得 ， 所以， . 分层训练 构建学科思维 7 （2） . 解：整理，得 ， . 配方，得 ， 即 . 直接开平方，得 . 即， . 分层训练 构建学科思维 8 类型4 公式法 若一元二次方程易于化为一般形式且系数的绝对值较小，则可用 公式法求解. 4.用公式法解方程： 分层训练 构建学科思维 9 （1） ； 解：将方程化为一般形式，得 ， ，， ， ， 所以 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 10 （2） . 解：将方程化为一般形式，得 ， ，， ， . 所以 . 即， . 分层训练 构建学科思维 11 类型5 选择合适的方法解一元二次方程 5.用适当的方法解下列方程： （1） ； 解：直接开平方，得 . 所以 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 12 （2） ； 解：原方程可变形为 ， 方程左边因式分解，得 ， 所以或 ， 得， ． 分层训练 构建学科思维 13 （3） ； 解：整理，得 . ，， ， . 所以 . 即， . 分层训练 构建学科思维 14 （4） . 解：原方程可变形为 ， 或 ， ， . 分层训练 构建学科思维 15 类型6 换元法 6.【阅读理解问题】阅读材料： 为解方程，我们可以将 看作 一个整体，然后设 ，那么原方程可化为 ，①解得， . 当时，， . 当时，， . 故原方程的解为，，， . 分层训练 构建学科思维 16 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 ______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 换元 （2）请利用以上知识解方程： . 解：设，那么原方程可化为 ， 解得， . 当时，， . 当时， 无实数根，舍去. 原方程的解为， . 分层训练 构建学科思维 17 $第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.4 一元二次方程根的判别式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 一元二次方程根的判别式 1.（吉林中考）一元二次方程 根的判别式的值是 ( ) C A.33 B.23 C.17 D. 2.若方程的根的判别式的值为17，则 的值为( ) C A.1 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 3.（滨州中考）一元二次方程 根的情况为( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 4.下列一元二次方程中，无实数根的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.（河南中考）关于的一元二次方程 的根的情 况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 分层训练 构建学科思维 5 6.（教材P33练习T1变式）不解方程，判断下列一元二次方程根 的情况. （1） ； 解：，， ， . 此方程有两个相等的实数根. 分层训练 构建学科思维 6 （2） ； 解：将方程化为一般形式,得 . ，， ， . 此方程没有实数根. 分层训练 构建学科思维 7 （3） . 解：将方程化为一般形式，得 . ，， ， . 此方程有两个不相等的实数根. 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 利用根的判别式确定一元二次方程中字母的取值 （范围） 7.若关于的一元二次方程有实数根，则 的 取值范围在数轴上表示正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 8.（聊城中考）若一元二次方程 有实数解，则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 分层训练 构建学科思维 10 9.（甘孜州中考）关于的一元二次方程 有两个 相等的实数根，则 的值为___． 10.（长春中考）若关于的方程 有两个不相等的 实数根，则实数 的取值范围是______． 4 分层训练 构建学科思维 11 11.已知关于的方程 . （1）若此方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； 解： 关于的方程 有两个不相等的实数 根， . 解得 . 分层训练 构建学科思维 12 （2）在（1）的条件下，当 取满足条件的最小整数时，求方程 的解. 解： ， 的最小整数值为0. 此时方程可化为 . 解得， . 分层训练 构建学科思维 13 12.（内江中考）对于实数，定义运算“ ”为 ， 例如：，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 14 13.（邵阳中考）在平面直角坐标系中，若直线 不经 过第一象限，则关于的方程 的实数根的个数为 ( ) D A.0 B.1 C.2 D.1或2 14.已知，，分别是三角形的三边长，且关于 的方程 有两个相等的实数根，则该三角形 是______三角形. 直角 分层训练 构建学科思维 15 15.已知关于的方程，其中，， 是 的三边． （1）若是方程的一个根，则 的形状是 __________ ___； （2）若方程有两个相等的实数根，则 的形状是 ________ _____； 等腰三角形 直角三 角形 分层训练 构建学科思维 16 （3）若 是等边三角形，试求方程 的根． 分层训练 构建学科思维 17 解： 是等边三角形， ， 方程可化为 ， 整理，得 . ， 或 ， 所以， ． 分层训练 构建学科思维 18 16.（教材P36习题变式）已知关于 的方程 . （1）求证：不论 为何值，方程总有实数根； 证明：当时，方程可变形为，解得 . 当时， ，方程 有两个实数根， 所以不论 为何值，方程总有实数根. 分层训练 构建学科思维 19 （2）若方程有两个实数根，且都是整数，求正整数 的值. 解：由方程 ，得 ， 解得， . 因为方程有两个实数根，且都是正整数， 所以正整数 的值为1或2. 分层训练 构建学科思维 20 $第22章 一元二次方程 专题训练（五） 一元二次方程的实际应用 1 类型1 增长率问题 1.（郴州中考）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加， 2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ． 由题意，得 ， 解得， （不合题意舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 分层训练 构建学科思维 2 （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过 前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游 客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是 万人. 由题意,得 ， 解得 ． 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 分层训练 构建学科思维 3 类型2 利润问题 2.商场销售某种商品，进价100元，每件售价150元，平均每天售 出60件．经调查发现：当商品售价每降低10元时，平均每天可多 售出30件． （1）当商品售价降低20元时，每天销售量可达到 _____件，每 天盈利_______元； 120 3 600 分层训练 构建学科思维 4 （2）每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利 可达到3 675元？ 解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为 元，平均每天可售出 件．由题意，得 ， 整理，得 ， 解得 . 答：每件商品降价15元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达 到3 675元． 分层训练 构建学科思维 5 类型3 传播问题 3.某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两 轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若 干个相同数目的有益菌． 分层训练 构建学科思维 6 （1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌？ 解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成 个有益菌． 由题意，得 ， 解得， （舍去）． 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌． 分层训练 构建学科思维 7 （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 解：由题意，得 个． 答：经过三轮培植后有480 000个有益菌． 分层训练 构建学科思维 8 类型4 数字问题 4.如图是某一个月的日历表，在表上可以用一个 方框圈出4个数（如图所示）.若圈出的四个数中， 最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数 （请用方程知识解答）. 分层训练 构建学科思维 9 解：设这个最小数为，则最大数为 .依题意，得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：这个最小数为5. 分层训练 构建学科思维 10 类型5 握手问题 5.春节期间，九（1）班全体同学通过打电话的方式互相拜年，如 果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全 班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 分层训练 构建学科思维 11 用点，，， ， 分别表示第1名同学、第2名同学、第 3名同学……第48名同学，把该班级人数与通电话次数 之间的 关系用如图模型表示： ；；；； ； ；；； __； __． 分层训练 构建学科思维 12 （1）填写图中第四个图中的值为 ____，第五个图中 的值为 ____． 10 15 （2）通过探索发现，通电话次数与该班级人数 之间的关系式 为 ______________， 当时，对应的 _______． 1 128 分层训练 构建学科思维 13 （3）若九（1）班全体女生相互之间共通话190次，该班共有多 少名女生？ 解：设九（1）班共有 名女生. 由题意，得 ， 化简，得 ， 解得， （不合题意，舍去）． 答：该班共有20名女生． 分层训练 构建学科思维 14 类型6 面积问题 6.如图，， 是一条射线， ，一只蚂蚁由点以速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以 的速度 沿方向爬行，多长时间时，两只蚂蚁与点 组成的三角形面积为 . 分层训练 构建学科思维 15 解：设时，两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 ，此 时两只蚂蚁分别位于点， 处. 分两种情况进行讨论： ①第一只蚂蚁在线段 上运动时，则 ， . ， . 分层训练 构建学科思维 16 由题意，得 . 整理，得 . 解得， . ②当第一只蚂蚁在线段 上运动时，则 ， . ， . 分层训练 构建学科思维 由题意，得 . 整理，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 综上所述，两只蚂蚁爬行或或时，它们与点 组成 的三角形面积是 . 分层训练 构建学科思维 $第22章 一元二次方程 全国视野 核心素养专练 1 1.【推理能力、创新意识】已知一次函数 的图象如图所示，则一元二次方程 根的情况叙述正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不确定 分层训练 构建学科思维 2 2.【运算能力、应用意识、创新意识】已知一个直角三角形两条 直角边的长是方程 的两个根，则这个直角三角 形的斜边长是( ) A A.3 B. C.2 D. 分层训练 构建学科思维 3 3.【跨学科融合】【模型观念、应用意识】根据 物理学规律，如果把一个物体从地面以 的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过 2 离地面的高度（单位：）为 根据上述规律，该物 体落回地面所需要的时间约为___ （结果保留整数）. 分层训练 构建学科思维 4 4.【运算能力、推理能力】若一元二次方程 ，为常数的两根，满足， ，则 符合条件的一个方程为_________________________. （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 5 5.【模型意识、应用能力】如图，由点， ， ，确定的的面积为18，则 的值为 _______. 3或12 分层训练 构建学科思维 6 6.【运算能力、推理能力】已知关于 的方程 . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； 证明： ， 方程总有两个不相等的实数根. （2）已知方程的一个根为，求代数式 的值. 解： 是此方程的一个根， 把代入方程，得 ， 即， . 分层训练 构建学科思维 7 7.【数学文化】【模型观念、应用意识】印度古算书中有这样一 首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方， 蹦蹦跳跳树林里. 其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数 共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？ 解：设共有只猴子，由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 答：这群猴子的总数为16只或48只． 分层训练 构建学科思维 8 8.【数学文化】【几何直观、应用意识】《九章算术》有题如下： 今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而 斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？ 意思是：如图，今有甲、乙二人，站在同一个 地方 处，甲行走的速度为7，乙行走的速度为 3,乙向正东方的 处走，甲、乙同时出发,甲先 向正南方的 处走10步，再斜向北偏东某方向 走了一段后与乙相会于 处．问甲、乙所走的 路程各是多少？ 分层训练 构建学科思维 9 解：设甲、乙到处所用的时间为，这时乙共行走了 步， 甲共行走了 步. 步， 步. 又 ， ， ， , . 分层训练 构建学科思维 10 不合题意，舍去，故 ， （步）， （步）. 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步． 分层训练 构建学科思维 11 $