第21章 二次根式 习题课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次根式的乘法运算与积的算术平方根化简，以“基础—中档—拓展”分层训练结构清晰呈现知识脉络。通过从具体计算（如√3×√12=6）到实际应用（实验基地面积问题），再到规律探究（a√(a/(a²−1))=√(a+a/(a²−1))），构建由浅入深的学习支架，帮助学生逐步建立概念联系和运算逻辑。 其亮点在于深度融合新课标核心素养，体现数学眼光、思维与语言的统一。例如第18题通过观察特殊式子发现规律，培养抽象能力和创新意识；第11题辨析错误运算过程，强化推理能力与严谨思维；第14题开放性设问引导学生主动探索整数解，提升模型意识与应用能力。教学中可借助板书梳理步骤、小组讨论分析错因，既促进学生深度理解又助力教师精准施教，实现知识掌握与素养发展的双目标。

第21章 二次根式 全国视野 核心素养专练 1 1.【跨学科融合】电流通过导线时会产生热量，电流 （单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位： ） 与产生的热量（单位：）满足 ．已知导线的电阻为 ，内导线产生的热量，电流 的值是( ) B A.2 B.5 C.8 D.10 分层训练 构建学科思维 2 2.【运算能力、几何直观、推理能力、创新意识】（广元中考） 如图，实数，，在数轴上所对应的点分别为，， ， 点关于原点的对称点为.若为整数，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 3 3.【运算能力、推理能力、应用意识】已知，都是实数， 为 整数，若，则称与是关于 的一组“平衡数”. （1） 与________是关于1的一组“平衡数”； （2） 与________是关于3的一组“平衡数”； 分层训练 构建学科思维 4 （3）若，，判断与 是否为关于某数 的一组“平衡数”，请说明理由. 解：与 是关于19的一组“平衡数”.理由如下： ， ， . . 与 是关于19的一组“平衡数”. 分层训练 构建学科思维 5 4.【运算能力、几何直观、推理能力】如图，将一个长、宽分别 为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形． （1）用含，， 的代数式表示纸片剩余部分的面积； 解：剩余部分的面积为 ． 分层训练 构建学科思维 6 （2）当，， 时，求剩余 部分的面积． 解：当，，时， ． 分层训练 构建学科思维 7 5.【运算能力、几何直观、推理能力】如图，直径为1个单位长 度的圆从原点出发沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点 . （1）数轴上点 对应的数是___； 分层训练 构建学科思维 8 （2）从上述事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后， 实数与数轴上的点是一一对应的.有理数中的相关概念、运算法 则及运算律同样适用于实数.解决下列问题： ① 的相反数是______; ②计算 的结果是___； 2 分层训练 构建学科思维 9 ③若的整数部分为，小数部分为，求 的值. 解： ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 10 $第21章 二次根式 教材回归（一） 二次根式的双重非负性及 的化简 1 一、 的双重非负性 教材母题 （教材P3练习题T2） 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1） ； 解：由，得 , 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 2 （2） ； 解：由，得 , 当时， 在实数范围内有意义. （3） ； 解：由，且，得 , 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 3 （4） . 解：由，且，得 , 当时， 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 4 1.（通辽中考）二次根式在实数范围内有意义，则实数 的取值范围在数轴上表示为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 2.若在实数范围内有意义，则 满足的条 件是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 3.（绥化中考）若式子有意义，则 的取值范围是__________ _______． 4.已知实数,满足,则 的 值为___. 5.已知，则 ___. 且 1 6 分层训练 构建学科思维 7 6.已知满足，求 的值. 解：由题意，得， ， . ， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 8 7.先化简，再求值：，其中实数， 满足 . 解：原式 . ，， . 原式 . 分层训练 构建学科思维 9 二、 的化简 教材母题 （教材P3思考题） 等于什么？我们不妨取的一些值，如2，，3， 等，分 别计算对应的 的值，看看有什么规律： 解：；； ； ；…… 概括：当时， ； 当时， . 分层训练 构建学科思维 10 8.化简 的结果是 ( ) A A. B. C. D. 9.若2，5，为三角形的三边长，则化简 的结果为( ) A A.5 B. C. D.10 分层训练 构建学科思维 11 10.实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果为( ) C A. B. C. D. 11.当时，化简 的结果为( ) A A.3 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 12.有如下一串二次根式： ； ； ； ； … 分层训练 构建学科思维 13 （1）求①，②，③，④的值； 解：①原式 . ②原式 . ③原式 . ④原式 . （2）仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式； 解：第⑤个二次根式为 . 分层训练 构建学科思维 14 （3）仿照①，②，③，④，⑤，写出第ⓝ个二次根式，并化简. 解：第ⓝ个二次根式为 . 化简： . 分层训练 构建学科思维 15 $第21章 二次根式 章末复习 二次根式 1 复习点1 二次根式的定义 1.下列式子中，是二次根式的有( ) ;;; . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 二次根式有意义的条件 2.（湘西州中考）要使二次根式有意义，则 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 3.（济宁中考）若代数式有意义，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D.且 分层训练 构建学科思维 3 复习点3 二次根式的性质 4.若，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 5.已知，则 的算术平方根是___. 6.实数在数轴上的位置如图所示，则 化 简后为_________. 1 分层训练 构建学科思维 4 复习点4 最简二次根式、同类二次根式 7.下列二次根式中，能与 合并的是( ) A A. B. C. D. 8.下列二次根式中，最简二次根式是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 9.已知最简二次根式与可以合并成一项，则， 的值分别为( ) C A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 6 复习点5 二次根式的运算 10.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 11.已知，则 的 值为( ) B A. B. C. D.1 分层训练 构建学科思维 7 12.用定义一种新运算：对于任意实数和 ，规定 ，如： ．则 结果为( ) A A. B. C. D. 13.（荆州中考）若的整数部分为，小数部分为 ，则代 数式 的值是___. 2 分层训练 构建学科思维 8 14.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠 的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为 ，宽为 ，则这个大长方形的周长为______． 分层训练 构建学科思维 9 15.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 16.（济宁中考）已知， ，求代数式 的值. 解：， ， , , . 分层训练 构建学科思维 12 17.【数学文化】阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为，，，记 ，那么这 个三角形的面积 .这个公式叫“海伦 公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式. 中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式 又被称为“海伦-秦九韶公式”. 分层训练 构建学科思维 13 回答下列问题： 如图，在中，，， . （1）求 的面积； 解：根据题意，得 . . 分层训练 构建学科思维 14 （2）设边上的高为，边上的高为 ， 求 的值. 解： ， . ， . . 分层训练 构建学科思维 15 $第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的乘法 1.【答题模板】计算: （1） ___； 3 12 36 6 分层训练 构建学科思维 3 （2） __ _； 18 （3）（__×__）__ _____. 2 3 3 3 5 6 3 5 分层训练 构建学科思维 4 2.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 3.（教材P6例1变式）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 4.王老师想设计一个长方形的实验基地,便于同学们进行实地考察. 为了考查同学们的数学应用能力,他把长方形的基地设计成长为 米,宽为 米,让同学们算出这块实验基地的面积. 解:这块实验基地的面积为 （平方米）. 答：这块实验基地的面积为7200平方米. 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 积的算术平方根 5.【答题模板】化简： （1）______ ___； 0.09 （2） ____. 4 6.（教材P7例2变式）将 化简，正确的结果是( ) A A. B. C.6 D.30 5 0.3 1.5 6 4 6 分层训练 构建学科思维 9 7.下列各式化简后的结果是 的是( ) C A. B. C. D. 8.（教材P15复习题变式）若 成立，则( ) B A.， B.， C. D. 9.实数，在数轴上的位置如图所示,则化简 的结果是 _______. 分层训练 构建学科思维 10 10.（教材P7“做一做”变式）化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 11.下列计算正确的有( ) ； ； ； . A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 13 12.把 根号外的因数移到根号内，结果是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 13.射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式 进行计算， 其中为子弹的加速度，为枪筒的长.如果 ， ，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示） 为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 14.（黄冈中考）请写出一个正整数的值使得是整数: ___． 15.（呼伦贝尔中考）已知， 是实数，且满足 ，则 的值是__. 8 16.观察分析下列数据：0，，，，，，， ，根据数据排列的规律得到第16个数据应是_______ （结果需化简）. 分层训练 构建学科思维 16 17.计算: （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 17 18.【注重阅读理解】探究过程:观察下列各式及其验证过程. . 验证： . 分层训练 构建学科思维 18 同理可得： ， 通过上述探究你能猜测出：_ _________ ，并验 证你的结论. 分层训练 构建学科思维 解：验证： . 分层训练 构建学科思维 20 $第21章 二次根式 专题训练（一） 二次根式的运算及应用 1 类型1 二次根式的运算 1.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 2 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 3 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 2.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 类型2 与二次根式有关的化简求值 3.已知，求代数式 的值． 解：因为 ， 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 8 4.先化简,再求值：，其中 ， . 解：原式 . 当， 时， 原式 . 分层训练 构建学科思维 9 5.设的整数部分为，小数部分为 ，求 的值． 解：， ， ，又的整数部分为,小数部分为 , ， ， ． 分层训练 构建学科思维 10 6.【整体思想】已知， . 解：， ， ， . （1）求 的值； [答案] 原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）求 的值. [答案] 原式 . 分层训练 构建学科思维 12 类型3 二次根式中的新定义问题 7.已知实数，，定义“★”运算规则如下： ★ 求★★ 的值. 解：由题意，得★ . ★★★ . 分层训练 构建学科思维 13 类型4 二次根式中的阅读理解题 8.小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个 式子的平方,如 ,善于思考的小明进行了以下 探索： 设 （其中，，， 均为正整数），则 有，， . 这样小明就找到了一种把 的式子化为平方式的方法. 分层训练 构建学科思维 14 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当，，，均为正整数时,若 ， 用含，的式子分别表示，，得__________， ______； （2）利用所探索的结论,找一组正整数，，，填空：___ ___ ______ （写出一组即可）； 4 2 1 1 分层训练 构建学科思维 15 （3）若，且，，均为正整数，求 的 值. 分层训练 构建学科思维 16 解：根据题意，得 ，且， 为正整数, ，或， . 或 . 当,时， , 当,时， . 分层训练 构建学科思维 17 $第21章 二次根式 21.1 二次根式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的定义 1.下列各式中不是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 2.下列各式中，一定是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 二次根式有意义的条件 3.（湘潭中考）若代数式在实数范围内有意义，则 的取 值范围是( ) D A. B. C. D. 4.若有意义，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.要使二次根式在实数范围内有意义，必须使 ___0. 6.若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围__________ _______. 且 分层训练 构建学科思维 5 7.当 满足什么条件时,下列二次根式有意义？ （1） ； 解：由题意，得且 ， . （2） . 解：由题意，得 为任意实数. 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 二次根式的性质 8.下列等式正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 9.化简： （1） ______； （2） _____； （3） __； （4） ____. 2022 分层训练 构建学科思维 8 10.（教材P3思考变式）化简： ______ , ___ , ______ 0 【变式】 如果,那么 的取值范围是______. 分层训练 构建学科思维 9 11.（绥化中考）若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C.且 D.且 分层训练 构建学科思维 10 12.（遂宁中考）实数， 在数轴上的位置如图所示，化简: ___. 2 分层训练 构建学科思维 11 13.要使下列式子有意义,字母 的取值必须满足什么条件? （1） ； 解：由题意，得且,且 . （2） . 解：依题意，得 解得 . 分层训练 构建学科思维 12 14.在一节数学课上，李老师出了这样一道题目： 先化简，再求值：，其中 . 小明是这样计算的： 解： . 当时，原式 . 小荣是这样计算的： 解： . 聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？ 分层训练 构建学科思维 13 解：小荣的计算结果正确，小明错在对 的化简，当 时， . 分层训练 构建学科思维 14 15.二次根式的双重非负性是指被开方数 ,其化简的结果 ，利用 的双重非负性解决以下问题： （1）已知,则 _____； 分层训练 构建学科思维 15 （2）已知实数,满足 ，求 的值； 解：因为 ， 所以， ， 解得， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 16 （3）若,为实数，且，求 的值. 解：因为，且 , ， 所以， ， 当，时， ， 当，时， . 分层训练 构建学科思维 17 微专题1 非负性的应用 【方法指导】（1）常见的非负数有：算术平方根、任意实数的 偶次方、任意实数的绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重 非负性.（2）根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都 等于0”构建方程，可求字母或式子的值. 分层训练 构建学科思维 18 题型1 偶次方、绝对值的非负性 1.如果，那么 __. 分层训练 构建学科思维 19 题型2 算术平方根的非负性 类型1 中被开方数 2.已知,为实数，且满足，则 的值为____. 20 分层训练 构建学科思维 20 类型2 3.已知实数，满足,则代数式 的 值为____. 4.已知，则 的值为____. 5.当____时， 有最小值，最小值为___. 6 分层训练 构建学科思维 21 类型3 算术平方根的双重非负性 6.若，求 的值. 解：， . ，， . . 分层训练 构建学科思维 22 $第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 同类二次根式 1.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( ) A A. B. C. D. 2.若最简二次根式与是同类二次根式，则 ___． 3.若与最简二次根式可以合并，则 ___． 5 4 分层训练 构建学科思维 3 4.下列二次根式：，，，， . （1）能与 合并的是________； （2）能与 合并的是______________. ， 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 二次根式的加减 5.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 6.（1）化简： _____． （2）计算： ___． 7.已知：，则 ___. 6 分层训练 构建学科思维 5 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 9.计算： . 解：原式 （1）以上解答过程中，从第____步开始出现错误；（填序号） ③ （2）请写出本题的正确解答过程. 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 10.若,则___, ___. 11.当时，代数式 的值是___. 12.若等腰三角形的两条边长分别为和 ，则这个三角形的 周长为____________. 0 2 分层训练 构建学科思维 9 13.【新定义】我们规定“ ”的意义是：当 时， ，当时， ，其他运算符号意义 不变.按上述规定， ___. 3 分层训练 构建学科思维 10 14.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 15.若 ,都是正整数，且，与 是可以合并的二次根 式，是否存在，，使？若存在，请求出， 的 值；若不存在，请说明理由. 分层训练 构建学科思维 14 解：因为与 是可以合并的二次根式， ，，且， 都是正整数， 所以，或 ， . 所以，或， . 分层训练 构建学科思维 15 16.通过对实数的学习我们知道， 是一个无理数，将这个数减 去整数部分，差就是小数部分．即 的整数部分是1，小数部分 是 ，请回答以下问题： （1）的整数部分是 ___， 的小数部分是 _________； 3 分层训练 构建学科思维 16 （2）若是的整数部分，是 的小数部分．求 的值； 解：，是的整数部分， ． ， 的整数部分为1． 是 的小数部分， ， ． 分层训练 构建学科思维 17 （3）若，其中是整数，且 ，求 的值． 解： ， ，即 ． ，其中是整数，且 ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 18 $第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的除法 1.【答题模板】计算： （1） ； 10 2 分层训练 构建学科思维 3 （2） （3） . 48 18 4 3 16 4 分层训练 构建学科思维 4 2.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 3.某精密仪器的一个零件上有一个长方形的孔，其面积为 ，宽为，则这个孔的长为_____ . 分层训练 构建学科思维 5 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 知识点2 商的算术平方根 5.【答题模板】化简. （1） （2） . 分层训练 构建学科思维 8 6.下列各式成立的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 7.化简： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 知识点3 最简二次根式 8.下列二次根式中，最简二次根式是( ) C A. B. C. D. 9.若二次根式是最简二次根式，则正整数 的最小值为___. 2 分层训练 构建学科思维 12 10.把下列各个二次根式化为最简二次根式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 11.若，把 化成最简二次根式为( ) C A. B. C. D. 12.化简：_____； _____. 13.已知，，则 _____． 分层训练 构建学科思维 14 14.若和都是最简二次根式，则___， ___. 15.如果等式成立，那么 的取值范围是______． 1 2 分层训练 构建学科思维 15 16.（随州中考）已知为正整数，若 是整数，则根据 可知 有最小值 .设为正整数，若 是大于1的整数，则 的最小值 为___，最大值为____. 3 75 分层训练 构建学科思维 16 17.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 17 （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 18 18.电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能收看电视节目的区域越广.已知电视塔高 与电视节目信号的传播半径 之间存在近似关系 其中是地球半径， .现有 两座高分别为， 的电视塔，求它们的传播 半径的比值. 分层训练 构建学科思维 19 解：设两座电视塔的传播半径分别为， . ， ， ， . 答：两座电视塔的传播半径的比值为 . 分层训练 构建学科思维 20 19.已知，且 为奇数. 求 的值. 分层训练 构建学科思维 21 解： ， ，，解得 . 又为奇数， . 原式 . 分层训练 构建学科思维 22 $第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减 第2课时 二次根式的混合运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的混合运算 1.（青岛中考）计算 的结果是( ) B A. B.1 C. D.3 2.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1） _________； （2）（泰安中考） _____. 分层训练 构建学科思维 4 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 二次根式的运算与乘法公式 5.（天津中考）计算 的结果为 ___． 6.计算： ____. 1 分层训练 构建学科思维 6 7.已知， ，则 （1） _____； （2） ___； （3） ____. 6 分层训练 构建学科思维 7 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 9.在计算 时，小明的解题过程如下： 解：原式 ① ② ③ .④ （1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 ____步开始 出错的； ③ 分层训练 构建学科思维 9 （2）请你给出正确的解题过程． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 10 10.估计 的值在( ) B A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 11.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后输出 结果是( ) C A.14 B.16 C. D. 分层训练 构建学科思维 11 12.观察下列等式： ① ； ② ； ③ 请你根据以上规律，写出第6个等式：________________________. 分层训练 构建学科思维 12 13.计算: （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 14.已知， .求下列各代数式的值. （1） ； 解：， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 15 （2） ． 解：由（1），知 ， 且 , ． 分层训练 构建学科思维 16 15.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，， 一样 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ; ; . 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化 简： . 分层训练 构建学科思维 17 （1）化简：___； ____； （2）请用不同的方法化简 ； 解：解法一： . 解法二：． 分层训练 构建学科思维 18 （3）化简： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 19 $第21章 二次根式 本章思想方法 1 思想1 整体思想 1.已知，，求 的值. 分层训练 构建学科思维 2 解：， ， ， . 原式 . 分层训练 构建学科思维 3 2.已知，，求 的值． 解：， ， ． ． 分层训练 构建学科思维 4 思想2 数形结合思想 3.实数，在数轴上的位置如图，则化简 的 结果是( ) A A. B. C. D.0 4.已知数，， 在数轴上的位置如图所示，化简： ___. 0 分层训练 构建学科思维 5 思想3 转化思想 5.已知实数，满足，则 的值为____． 6.已知，求， 的值. 解：，且 ， ， 且，解得 ， ，解得 . , . 分层训练 构建学科思维 6 思想4 类比思想 7.求 的值. 解：设 ， 两边平方，得 ， 即 ， .解得 ． 分层训练 构建学科思维 7 ， ． 请利用上述方法，求 的值． 分层训练 构建学科思维 解：设 ， 两边平方，得 ， 即 ， ．解得 ． ， ． 分层训练 构建学科思维 9 8.阅读理解：对于任意正实数， ． ， ， ，只有当时，等号成立， 在 中，只有当时，有最小值 ． 根据上述内容，解答下列问题： （1）若，则 的最大值是__； 分层训练 构建学科思维 10 （2）若，当为何值时， 有最小值？最小值是多少？ 解：， ， ， 只有当，即或（舍去）时，等号成立， 当时， 有最小值，最小值为2． 分层训练 构建学科思维 11 $