2.3确定圆的条件同步训练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.3确定圆的条件同步训练 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（   ） A． B． C． D． 3．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 4．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 5．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 8．在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 10．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则外接圆的圆心的坐标为 ． 12．如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为 ． 13．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 14．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 15．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 16．如图，在梯形中，，点为上方一动点，连接、，以点为圆心作的半径为2，点为上一动点，连接、，则的最大值为 17．如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是 ． 18．如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为 ． 三、解答题 19．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 20．如图，已知，做，使它过点、、（保留作图痕迹，不写作法）． 21．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 22．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.3确定圆的条件同步训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B B B C D A 1．C 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 2．A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，线段垂直平分线的尺规作图，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解即可． 【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴由作图方法可知只有A选项的作图中点为三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 4．D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角与弦的关系以及三角形外心的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点需逐一分析． 【详解】解：①不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定，错误； ②根据垂径定理，平分非直径弦的直径必垂直于该弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立，未限定条件则不成立，错误； ④ 三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（即外接圆半径），正确； 综上，正确的有②和④，共2个． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 8．C 【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 9．D 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 10．A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆的圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，外接圆的圆心的坐标为． 故答案为：． 12． 【分析】连接，连接交于点G，由和是等边三角形得，，，根据全等三角形判定证得，得到，，进而计算出，再根据全等三角形判定证得，得到，当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大，此时是的垂直平分线，设，得，再根据勾股定理列出方程，再代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于点G， 和都是等边三角形， ∴，，，， ∵， ， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大， ∴此时是的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中 ， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，得， ∴， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形外心的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外心的性质，灵活运用角度的计算，并找到边长最长的情形是解题关键． 13．3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 14． 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 15． 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 16．14 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，等边三角形的性质与判定，连接，再作的外接圆，可证明为等边三角形，得到，则D为的外接圆圆心，当点D在线段上时，有最大长度，当点E在线段上时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，再作的外接圆， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴D为的外接圆圆心， ∴当点D在线段上时，有最大长度，最大值为， ∴当点E在线段上时，最大为． 故答案为：14． 17．4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解． 【详解】如图所示， （1）的外心为满足条件的一个点， （2）以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， （3）分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为4． 故答案为：4． 18．7 【分析】首先得出，进而得出为等边三角形，由已知得出的长，进而得出的长，再求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图：作于点M， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心定与性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、垂径定理等知识点，求得的长是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出以为对角线的正方形的另一条对角线，交于点，连结即可； （2）分别作出，垂直平分线交点O． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 【点睛】本题考查了三角形中线的意义，正方形的性质，三角形的外心，垂直平分线的性质，解题关键是掌握正方形的性质，垂直平分线的性质． 20．作图见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，分别作线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求 21．(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴， ∴点M在内． 22．探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $