2.3 确定圆的条件 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.3 确定圆的条件 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列说法正确的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 垂直平分弦的直线必定经过圆心 2.如图，是的内接三角形，连接，，若，则为(    ) A. B. C. D. 3.是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧对应图中的三种做法，下列说法正确的是(    ) A. 三种做法均正确 B. 只有做法一和做法二正确 C. 只有做法二和做法三正确 D. 只有做法二正确 4.对于题目：“已知：点为的外心，，求的度数”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得，下列判断正确的是(    ) A. 小亮的求解不正确，或 B. 小亮的求解正确 C. 小亮的求解不正确，应该等于 D. 小亮的求解不正确，的度数不固定 5.如图，为等腰三角形的外心，，连接，记，，则、满足的关系式为(    ) A. B. C. D. 6.平面上有不在同一直线上的个点，过其中个点作圆，可以作出个圆，那么的值不可能为(    ) A. B. C. D. 7.如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长为，在此网格中找两个格点即小正方形的顶点、，使为的外心，则的长度是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，是的外接圆若，则______度 10.如图，是的外心，则          ． 11.若直角三角形的两直角边长是和，则它的外接圆的直径是          ． 12.下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆；三角形的外心到三角形三边的距离相等；圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是          填序号 13.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标是          ． 14.将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为          ． 15.如图，已知内接于半径为的，，则的面积的最大值为______． 16.如图，在矩形中，，，为的中点，的外接圆与交于点，则弦的长度为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为________； 求的外接圆与轴的另一个交点坐标． 18.本小题分 如图，已知，用尺规作图画出的外接圆不写画法，保留作图痕迹； 若是直角三角形，且，，则的外接圆的半径为______． 19.本小题分 如图，已知平面直角坐标系中，，． 写出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标：______，______； 判断点与的位置关系，写出解题过程． 20.本小题分 如图，内接于，直径，于点，的延长线交于点若，，求的长． 21.本小题分 已知在平面直角坐标系中位置如图． 利用格点画出的外接圆，并写出圆心的坐标为______． 画出绕点按顺时针方向旋转后的； 画出关于点的中心对称图形． 22.本小题分 如图，内接于，是的直径，点，在直径上，，． 求证：； 的延长线交于点，若，，求的半径． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以选项不符合题意； B.平分弦非直径的直径垂直于弦，所以选项不符合题意； C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项不符合题意； D.垂直平分弦的直线必定经过圆心，所以选项符合题意． 故选：． 根据确定圆的条件对选项进行判断；根据垂径定理对选项和选项进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对选项进行判断． 本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了线段垂直平分线的性质、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系． 2.【答案】  【解析】解：由圆周角定理得：， ， ， ， ， 故选：． 根据圆周角定理得到，再根据题意计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理的是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：做法一、由作图可知平分， ， ， 故做法一正确． 做法二、由作图可知平分， ， ， 经过圆心， ， 故做法二正确． 做法三、由作图可知垂直平分线段，经过圆心， ， 故做法三正确． 故选：． 根据垂径定理，圆周角定理一一判断即可． 本题考查了作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，垂径定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 4.【答案】  【解析】解：如图，， 如图，， 四边形为的内接四边形， ， 综上所述：或， 故选：． 分是锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 5.【答案】  【解析】，，，连接、，为等腰三角形的外心，，，，，，故选D． 6.【答案】  【解析】分三种情况讨论：当、、、四个点中有三个点在同一条直线上，另外一个点不在这条直线上时，可以确定个圆，如图所示；     当、、、四个点中任意三个点都不在同一条直线上，而且它们共圆时，只能确定个圆，如图所示； 当、、、四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四个点不共圆时，则任意三点都能确定个圆，一共可以确定个圆，如图所示． 综上所述，这四个点可以确定圆的个数为或或故选B． 7.【答案】  【解析】点为的外心，，点和点的位置如图所示，，故选 A． 8.【答案】  【解析】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ， 为等边三角形， ， 故选：． 连接，根据圆周角定理得到，再根据等边三角形的判定和性质解答． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，连接， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出． 本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 10.【答案】  【解析】如图， ，，  同理，，，，． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  度  【解析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：， ， 是的一个外角， ， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：如图，作直线，交于，交于， 由题意可知，当点在点位置时，的面积的最大， ，， ， 在中，，， 则，， ， 故答案为：． 作直线，交于，交于，根据圆周角定理求出，根据余弦的定义求出，根据正弦的定义求出，根据垂径定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接， 在矩形中，，， 的外接圆与交于点， ， ， ，，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 连接，根据圆内接四边形对角互补可得，因为，在中，利用锐角三角函数即可得出的长，则可得出答案． 本题考查圆内接四边形的性质，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补的性质． 17.【答案】解：如图，点即为所求，； 故答案为：； 半径． 的外接圆与轴的另一个交点坐标是．  【解析】本题考查坐标与图形性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是连接三角形的外心是各边垂直平分线的交点． 线段，的垂直平分线的交点，即为的外接圆的圆心，进而即可得到答案； 根据垂径定理即可得到结论． 18.【答案】见解答；  ．  【解析】解：如图，为所作； ， 为的外接圆的直径， 的外接圆的半径． 故答案为：． 作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可； 根据圆周角定理得到为直角的直径，从而得到的外接圆的半径． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理． 19.【答案】，；   点在内．  【解析】解：如图，点就是要找的圆心； 圆心的坐标为． 故答案为：，； 圆的半径． 线段，所以点在内． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点，根据图形即可得出点的坐标； 用两点间距离公式求出圆的半径和线段的长，当小于圆的半径时点在圆内． 本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心的坐标是解题的关键． 20.【答案】的长是．  【解析】解：于点，，， ，， ，且， ， 解得， 是的中点，是的中点， ， 的长是． 由于点，根据垂径定理得，由勾股定理得，求得，则． 此题重点考查垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地求出的长进而求出的长是解题的关键． 21.【答案】画图见解答；．   见解答．   见解答．  【解析】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． 由图可得，圆心的坐标为． 故答案为：． 如图，即为所求． 如图，即为所求． 分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求，即可得圆心的坐标． 根据旋转的性质作图即可． 根据中心对称的性质作图即可． 本题考查作图旋转变换、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】见解析；   半径为．  【解析】证明：， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ； 解：过点作于点，连接，， ，， 又， ， ，为中点， 又为直径， ， ∽， ， ， 由知， ， 得， ， 半径为． 由等腰三角形的性质可得，再由是的直径，得出，从而得出，，由三角形内角和定理得出，得出，最后由等腰三角形判定得出； 过点作于点，连接，证明∽，列出比例式，再得出，代入得，得，即可求解． 本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$