第1章三角形章末测试卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级（2024）上册苏科版-第1章三角形章末测试卷 一、单选题 1．下列说法中，正确的有（   ） A．三角形的三条高所在的直线交于一点 B．内错角相等 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．垂直于一条线段，并且平分这条线段的线段，叫作这条线段的垂直平分线 2．如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 3．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 4．在和中，，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 7．如图，点在的平分线上，于点，，点是射线上的一个动点，线段长度的最小值为，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 10．已知是的三条边长，化简： ． 11．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 12．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 13．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是 ． 14．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 15．如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 16．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 三、解答题 17．如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 19．如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； (3)连接，则的面积为_________． 21．如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分， (1)如图，求证：； (2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由． 22．已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接． (1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：． (2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年数学八年级（2024）上册苏科版-第1章三角形章末测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D D C D 1．A 【分析】本题考查三角形的高线，内错角，点到直线的距离，垂直平分线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三条高所在的直线交于一点，原说法正确，符合题意； B、内错角不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：判定一般三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需熟练掌握．要用“”判定，根据已知条件，有和，因此需要或． 【详解】解：∵，， ∴用“”判定，要补充． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于，小于，符合题意的只有B选项， 故选：B 4．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分别过点A、作，垂足分别为点G，H，则，然后分两种情况：当点B，C在的两侧，且点在的两侧时；当点B，C在的两侧，且点在的同侧时，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：分别过点A、作，垂足分别为点G，H，则， 如图，当点B，C在的两侧，且点在的两侧时，              在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点B，C在的两侧，且点在的同侧时， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故选：C 5．D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．根据等腰三角形的三线合一可得，，则选项A和C正确；先求出，再根据定理可得，则选项B正确；根据不一定是的角平分线可得与不一定相等，则选项D错误． 【详解】解：∵在中，，是角平分线， ∴，（等腰三角形的三线合一），则选项A和C正确，不符合题意； ∴， 在和中， ， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵点是上一点，不一定是的角平分线， ∴与不一定相等，则选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 由条件先根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，进一步证明可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， 在与中， ∴， ∴全等的三角形共有5对， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握这两个性质是解题关键．根据垂线段最短可以得出时，最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，从而得出答案． 【详解】解：当时，最短， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为，即． 故选：C． 8．D 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤由，通过，可证，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接OB.   ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ，，， ， ， ，， ，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9． 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 12．3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 13． 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 15． a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 16．4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 17．见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求， 由作图可知，， 在和中， ， ∴． 18．见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，涉及等边三角形性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握手拉手模型证全等是解决问题的关键． 根据题意，由“手拉手”模型求证，结合全等三角形的性质及等边三角形的性质即可得证． 【详解】证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 20．(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点． （1）作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； （2）分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）用围成的矩形面积减去其余三个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到，即为所求； （2）解：如图2所示，分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到，则即为所求； （3）解：如图，． 21．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）过作于，于，于，设与相交于点，可证，得到，，，即得，再证明，得到，由等腰三角形的性质可得，即得到，进而由余角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求证； （）先证明是等边三角形，得到，，在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点，可证是等边三角形，得到，可证明，得到，，进而证明，得到，再证明，得到，即得，即得到，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过作于，于，于，设与相交于点， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， 在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 由（）可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，证得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的性质得到，，进而可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，证明，得到，，以为边作，另一边交于M，证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到为等边三角形，由等边三角形的性质得到，再由求得，证明得到，即可得到结论； （3）由（2）知为等边三角形，根据，和已知条件得到，于是得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点B为线段的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （2）解：成立，证明如下： ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 以为边作，另一边交于M， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边作，另一边交于M，连接， 由（2）知为等边三角形， ∵， ∴， ∵，由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $