追梦专项总结突破卷(五、六) 因式分解 分式-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

铺路卷 ZBR·八年级数学E ,为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（五） 因式分解 题型一 因式分解的概念及应用 1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( A.m2-4+m=(m+2)(m-2)+m B.m2-5=m(m-5) m C.n(a+b)=na+nb D.x2+2x+1=(x+1)2 题型二分解因式常用方法 方法1：提公因式法和公式法 密2.已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.分解因式：-2x2+32x-128 0 y 扁方法2：分组分解法 4.【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组 分解法.分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2” I 分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以 构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无 法构成，则采用“2+2”分组. 例如，x2+2x+1-4=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+ 2)=(x-1)(x+3); 中腳 am+bm+an+on=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+ b)(m+n). 【应用知识】 (1)因式分解：a2-ab+bc-ac; (2)因式分解：-a2-6ab-962+9; 【拓展应用】 (3)已知一个三角形的三边长分别是a,b,c,且满足2a2=c(2a c)+b(2a-b),试判断这个三角形的形状，并说明理由. 方法3：十字相乘法 5.阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 即由(x+p)(x+q)=x2+(p+g)x+pq,得x2+(p+q)x+pg=（x+p) （x+g) 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行 因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子x2+3x+2分解因式. 解：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x3-8x2+12x; (2)若x2+x-6可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能 的值 方法4：拆项法 6.下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务 “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为 一项或相互抵消为零.反过来，同样可以对某些多项式恢复那 些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项 或多项（拆项），我们称此方法为“拆项法”.利用这种方法可 以对多项式进行因式分解 【例题分析】因式分解：x2+4x+3. 解：原式=x2+x+3x+3…第一步 =(x2+x)+(3x+3)…第二步 =x(x+1)+3(x+1)…第三步 =(x+1)(x+3).…第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了 进行因式分解： A.提公因式法 B.平方差公式 C.完全平方公式 D.整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式x2-6x+5因式分解. 方法5：换元法 7.阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工 具.下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解 题思路： 将“x2-2x”看成一个整体，设x2-2x=m, 则：原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2,7 再将“m”还原为“x2-2x”即可. 解题过程如下： THE ROAD TO 解：设x2-2x=m, 则：原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2. 问题：(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有 彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行 因式分解. 。27· 铺路卷 ZBR:八年级数学E 帅为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（六） 分式 题型一分式的有关概念及基本性质 1婴使分式，，)有意义，的取值应满足( (x-2)(x-3) A.x≠2 B.x≠3 C.x≠2或x≠3 D.x≠2且x≠3 2.下列运算正确的是( x2-1=+1 A2-2x+1乙 B,+2y2 x+3y3 C =x-y D.-y=-y x-y -x-Y x-Y 3如图，若a=26,则表示-6的值的点落在( a2-b2 ①② ③ ④ -2 -10 2 A.① B.② C.③ D.④ 题型二分式的运算 4学习情境·过程纠错在计算( (1),牛时，嘉嘉和琪琪使用 方法不同，但计算结果相同，则( 嘉嘉：+1).+1=(-1+凸).+1.+1=1 x+1 x+1 xx+1 x 琪琪：(+1）.+1--1.+1++1_-L+1_2 x+1 =1 xx+l xxxx 2x A.嘉嘉正确 B琪琪正确 C.都正确 D.都不正确 5.学习情境·墨迹覆盖试卷上一个正确的式子(1+】)÷★= a+b a-b 。被小颖同学不小心滴上墨汁，被型汁遮住部分的代数 为 6.化简： (1) 1 .a2-4a+4 x+1x+19 (2)(a- a-11 a-1 。28· 7充化商语滚值字21然后双-101 2中选择一个合适的数作为x的值代入求值 题型三科学记数法与负整数指数幂 8若a=-2,6=22,c=(分）2，d=(分°，则( A.a<b<d<c B.a<b<c<d C.b<a<d<c D.a<c<b<d 9.科技情境·碳纳米管碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良 好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为 0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用 科学记数法表示为 米 题型四分式方程 10.将关于x的分武方程，)=，21去分母、去括号后所得整式 方程正确的是( A.3=-5-x+2 B.3=-5-x-2 C.3=5-x+2 D.3=5-x-2 g+1≥y2 11.若关于y的不等式组{ 3 有且只有4个整数 5(y-2)<y+(a-3) 解，且关于x的方程x,++1=2有非负整数解，则所有符合条 x-22-x 件的整数a的和是( A.-3 B.-2 C.1 D.2 12.热点情境·残奥会全国第十二届残疾人运动会将会在广东、香 港、澳门举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用A,B两种 机器人来搬运建筑材料，其中A型机器人每小时搬运的建筑材 料是B型机器人每小时搬运的建筑材料的2倍，A型机器人搬 运1200kg所用时间比B型机器人搬运1000kg所用时间少 1小时，设B型机器人每小时搬运建筑材料xkg,列方程 为 13.中考新趋势·新定义在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为 a※b=1 1.1 a b ,如2※4= 2+4,根据这个规则，则方程3※(x-1)=1 的解为( 1 A.x22 5 B.x=-1 C.x= D.x=-3 2 易错 分析 14.解方程： 0+=1 (2)21.4 x-1 x x+22-xx2-4 厨 15.生活情境·共享单车某社区去年购买了A、B两种型号的共享 单车，购买A种单车共花费15000元，购买B种单车共花费 14000元，购买A种单车的数量是购买B种单车数量的1.5倍， 且购买一辆A种单车比购买一辆B种单车少200元. (1)求去年购买一辆A种和一辆B种单车各需要多少元？ (2)为积极响应政府提出的“绿色发展，低碳出行”号召，该社空 区决定今年再买A、B两种型号的单车共60辆，恰逢厂家对A、 B两种型号单车的售价进行调整，A种单车售价比去年购买时 做题 提高了10%，B种单车售价比去年购买时降低了10%，如果今 心得 年购买A、B两种单车的总费用不超过34000元，那么该社区 今年最多购买多少辆B种单车？ 宪5.解：.EF垂直平分AD,∴.AF=DF,∴.∠ADF=∠DAF. ∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,又，'AD平分 ∠BAC,.∴.∠BAD=∠CAD,.∴.∠B=∠CAF=50°. 6.D 7.D 【方法点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和 定理，分∠A是顶角和底角两种情况进行讨论，即可得到∠B 度数. 8.C【解析】当这个外角为顶角的外角时，则顶角为180° 110°=70°：当这个外角为底角的外角时，顶角为180°-70°- 70°=40°.故选C. 9.B10.B 11.解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形.：BD⊥AC 大 ∠ABD=40°，.∠A=50°，即顶角的度数为50°.如图2，当 等腰三角形为钝角三角形.BD上AC,∠DBA=40°， 豪 ∠BAD=50°，.∠BAC=130°.综上，这个等腰三角形顶角 的度数为50或130° 图1 图2 12.C 13.D【解析】连接AD.△ABC是等腰三角形，点D是BC 边的中点，MD1BC,Sac=2BC·AD=之×6xA0 24,解得AD=8.MN是线段AB的垂直平分线，.，点B关 于直线MN的对称，点为，点A,∴.AD的长为BE+ED的最小 值，△BDE的周长最短=AD+2BC=8+7X6=8+3=11 1 故选D. 14.C【解析】△ABC是等边三角形，.BA=BC.BDL AC,AQ=2,QD=1.5,.AD=DC=AQ+QD=3.5.作点Q关 于BD的对称，点Q',连接PQ'交BD于，点E,连接QE,此时 PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'.,AQ 2,AD=DC=3.5,QD=DQ'=1.5,BP=2,∴.AP=AQ'=5. ∠A=60°，∴.△APQ'是等边三角形，∴.PQ'=PA=5,∴.PE+ 0E的最小值为5.故选C. 15.解：如图所示，当小明所走路线为CM-MN-ND时，其所走 的总路程最短 、C1 追梦专项总结突破卷（四） 1.B 2.B 【易错提醒】不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，相同 点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法转化为指数的加 法运算，而幂的乘方转化为指数的乘法运算 3.C【解析】由已知得：a·a”=a3,即a1=a3,.n+l=8,.n =7.故选C. 4.A 1 119 5.解：(1)原式=1+4×1-4=1+44=4 (2)原式=x6·（-x)-(-x9)÷(-x2)=-x-x=-2x. 6.解：(1)22×8*=2,22×(2)=2，.22×23=22， 22*3=2,.2+3x=23,解得：x=7; (2)32×92+1÷27+1=81,32×(32)2+1÷(33)1=81, 追梦之旅铺路卷·八年级 32X34+2÷33+3=34,.34+4÷33+3=30,.34+43+3)=34,. 4x+4-(3x+3)=4,解得：x=3. 7.6a2-2a+18.3a-1 9.9【解析】原式=6ax3+(18-2a)x2+(a-6)x+3,由题意可知 18-2a=0,解得a=9. 10.解：(1)原式=m3-3m-m3+3m=0; (2)原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2-2x2y）÷ 22 3x2y=3wy-3 11.解：（1)由题意可知：(3x-a)(2x+b)=6x2-13x+6,(3x+a) (x+b)=3x2-7x-6,.6x2+(3b-2a)x-ab=6x2-13x+6,3x2+ （3动o)ab=3-7-6{602二7B解得6-3 (b=-39 (2)(3x+2)(2x-3)=6x2-9x+4x-6=6x2-5x-6. 12解：配电房面积为2(3x-3)(x-1)+x(x+1)=(2-2x+ 2(平方米)：当x=3时，3×32-2x3+3=18(平方米)， 所以该配电房示意图的面积为18平方米. 13.D14.D15.±1216.1 17.解：(1)：a+b=5,ab=4,.a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4 =17; (2).(a-b)2=a2+b2-2ab=17-8=9,∴.a-b=±3，又.'a> b,∴.a-b=3: （3)由(2)得4=3，解方程组的解得81 b=1 追梦专项总结突破卷（五） 1.D 2.A【解析】整理，得(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+ b-c)=0.:a+b-c≠0，∴.a-b=0,即a=b.则△ABC为等腰 三角形.故选A. 3.解：-2x2+32x-128=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2. 4.:(1)a2-ab+bc-ac=(a2-ab)+(bc-ac)=a(a-b)-c(a-b) =(a-b)(a-c); (2)-a2-6ab-9b2+9=(-a2-6ab-9b2)+9=9-(a2+6ab+ 9b2)=32-(a+3b)2=(3+a+3b)(3-a-3b); (3)这个三角形是等边三角形，理由如下：：2a2=c(2a-c)+ b(2a-b),.2a2=2ac-c2+2ab-b2,2a2-2ac+c2-2ab+b2= 0,(a2-2ac+c2)+(a2-2ab+b2)=0,(a-c)2+(a-b)2=0,.a -c=0,a-b=0,∴.a=c,a=b,a=b=c,∴这个三角形是等边 三角形. 5.解：(1)x-8x2+12x=x(x2-8x+12)=x[x2+(-6-2)x+(-6) ×(-2)]=x(x-6)(x-2); (2)·-6=(-1)×6=1×(-6)=2×(-3)=(-2)×3,∴.p=-1 +6=5或p=1-6=-5或p=2-3=-1或p=-2+3=1,故整数 p的值可能为5或-5或1或-1. 6.解：(1)A (2)x2-6x+5=x2-x-5x+5=(x2-x)-(5x-5)=x(x-1)-5(x -1)=（x-1)(x-5). 7.解：(1)不彻底，完整的解答过程：设x2-2x=m,则原式=m (m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2 =（x-1)4; (2)设x2+6x=m,则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m +9)2=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3) 追梦专项总结突破卷（六） 1.D2.A a(a-b) 3.C【解析】原式= a+b)(a-6)a+6当a=26时，原式= 散达C 4.D 【方法点拨】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是 掌握分式混合运算顺序和运算法则， 5品【折1动品学”品 十 上·ZBR·数学第13页 6解：(1)原式=--(+1)(x-1) x+1x+1 =x-1; (2)原式=a(a-1)-4.a-1=a(a-2).a-1-a a-1‘(a-2)2-a-1(a-2)2a-2 7解：原式=1÷+12+111 ,x-111 x-1 x-1 x-2 x-1 x x-2 x 1=-2-x-2 x-2x(x-2)x(x-2分“x≠2，且x≠0，x≠1，取x=-1 时，原式=号 8A【解折a=-2=-4,6=22=子c=(宁)2=4，d ()°=1，-4k<1<4,即a<bdke故选A 9.5×101010.A 1A【解析】解不等式子+1≥2得)≥-2，解不等式 50)-2》3y+(a-3).得y7,:不学式组有且只有4个整 数解，1<a 4 ≤2，.-3<a≤1，解分式方程得x=3-a,:x =3-a为非负整数，-3<a≤1，当a=1时x=2,分式方程无 解，∴a=-2或-1或0，.所有满足条件的整数a的和是 -2-1+0=-3.故选A. 12.100120-1 x 2x 11 3C【解标3※(x)=山3+1，解得*=2，当子 三时，3(-1)0，所以x=了是方程的解故选C 14解4（1)去分每，得4-1=x(x-1,解得=分检验：当 =之时，x(-1)0,=2是原方程的解： (2)去分母，得2(x-2)+x+2=4,解得x=2.检验：当x=2 时，(x+2)(x-2)=0,∴.原方程无解. 15.解：(1)设去年购买一辆B种单车需要x元，则购买一辆A 种单车需要(x-200)元，可得15000 x-200 1.5x14000 解得x =700,经检验x=700是原方程的解，700-200=500（元）， 故去年购买一辆A种和一辆B种单车各需要500元， 700元； (2)设购买B型单车m辆，则购买A型单车(60-m)辆，可 得700×(1-10%)m+500×(1+10%)(60-m)≤34000，解 得m≤12.5.m是正整数，.m的最大值是12，即该社区 今年最多购买B种单车12辆. 追梦专项总结突破卷（七） 1.B2.B 3.A【解析】根据三角形外角性质得，∠1=∠2+90°，.∠1= 120°，·.∠2=30°.故选A. 4.C 5C【解析】根据题意得：1=+ R+3,解得：R,= 2,经检验 3是原方程的解，即R,的电阻值是)n.故选C. R1= 2 2 ,48607560 1.30-y ×1.5 8.解：(1)A=-1,B=2k+3,∴C=A·B=(k-1)(2k+3)= 2k2+3k-2k-3=2k2+k-3,.程序自动呈现的整式C为2k2+ k-3: (2)B2-2C=(2k+3)2-2(2k2+k-3)=4k2+12k+9-4k2-2k+6 =10k+15,整式B2-2C的值大于5，∴.10k+15>5,.解得k >-1,:k为正整数，.k的最小值为1. 9.解：(1)同意他的看法，理由如下：0B⊥0C,.∠C0E+ 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠BOD=90°..·BD⊥OA,∴.∠B+∠BOD=90°，∴.∠COE =∠B; (2)连接AC.由题意可得OC=OA,.△AOC是等腰三角形， .∠CA0=∠AC0.∠COE=50°，∠CA0+LAC0+∠C0E= 180,∠C40=180°-∠C0 =65°； 2 (3).·CE⊥OA,BD⊥OA,∴.∠CE0=∠ODB=90°.又 ∠COE=∠B,OC=OB,∴.△OCE≌△BOD(AAS),∴.OE= BD=7cm,..DE=OD-OE=15-7=8(cm). 10.解：(1)AC垂直平分BD△ABC≌△ADC (2)例：选性质①，证明：性质①：，AB=AD,CB=CD,∴.点 A,C均在线段BD的中垂线上，·.AC垂直平分BD: 1 (3):AC垂直平分BD,S学形O=SaAm+5ao=2BD· 大 年01T=0F·Q8=(00+0H）.0gC=0n.1gC+0w 6=30. 追梦专项总结突破卷（八） 案 1解：(1)322 80每株A种花卉为a元 2 Γ2x 2)由题意，得35X0)解得m=7,经橙验，m 是原分式方程的解，∴m=7. 2.解：(1)C (2)由题可知，BE=CD=1m,EC=BD=8m,∠AEC=∠ABD= 90°..∠HGF=90°，∴.∠HGF=∠AEC..FG=DB,∴.FG= I∠AEC=∠HGF CE.在△HFG和△ACE中，{CE=FG ,∴.△HFG≌ ∠ACE=∠HFG △ACE(ASA),∴.HG=AE=14m,∴.AB=AE+BE=14+1=15 (m),答：旗杆AB的高度为15m; (3)为了测量结果的准确性，应多次测量∠ACE,HG,取平均 值.（答案不唯一） 3.解：任务1：是 任务2：证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，∴.∠ACB= CD为角平分线，.LACD=∠BCD=7LACB= ∠ACD=∠A,.CD=DA,.△ADC是等腰三角形； LDCB=∠A,∠B=60°，∴∠BDC=80°，∴.∠BDC=∠ACB, △BCD和△BAC是“等角三角形”，CD为△ABC的等 角分割线； 任务3：分三种情况：①当DA=DC时，∠ACD=∠A=42°， CD是△ABC的等角分割线，∴.∠ACB=∠BDC=42°+42°= 84:②当DA=AC时，∠4CD=LADC=7x(180°-42)= 69°.，CD是△ABC的等角分割线，∴.∠BCD=∠A=42°，则 ∠ACB=69°+42°=111°；③当AC=DC时，∠ADC=∠A= 42°，则∠BDC=180°-42°=138°=∠ACB,那么∠B=180°- 42°-138°=0°（舍去），故∠ACB的度数为84°或111. 追梦期未达标测试卷 答案12345678910 速查BBCDD A CCC D 1.B2.B3.C 4.D【解析】A.(-p2q)3=-pg3,错误；B.12a2bc÷6ab2= 3m 2ac,错误：C.3m÷(3m-1)=3m-,错误：D.(-4w)·x =x-4.正确.故选D. 5.D【解析】~E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,.AE= (AE=AF AF,在△AED与△AFD中，{ED=FD,.△AED≌△AFD AD=AD (SSS).故选D. 上·ZBR·数学第14页