铺路帮手 第十四章 全等三角形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十四章 全等三角 测试时间：20分钟 一、选择题（每题3分，共12分） 1.下列各组中的两个图形属于全等图形的 是( A. 00 B C. D.Y 下W 2.图中的两个三角形全等，则∠1等于( a629b 73以 A.45° B.62° C.73° D.135° 3.如图，若△ABC≌△DEF,B,E,C,F在同 直线上，BC=7,EC=4,则CF的长是() A.2 B.3 C.5 D.7 B E C F A 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=30.若 △ABC≌△ADE,∠DAC=35°，则∠EAC的 度数为() A.40° B.35 C.30° D.25° 二、填空题（每题3分，共12分） 5.[教材练习2变式]如图，若把△ABC绕点A 旋转一定的角度得到△ADE,则图中全等的 三角形记为 ,∠BAC的对应角 为 ,DE的对应边为 第5题图 第6题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 全等三角形 形及其性质 测试分数：30分 6.如图，N,C,A三点在同一直线上，N,B,M三 点在同一直线上，在△ABC中，∠A:∠ABC: ∠ACB=3:5:10,若△MNC≌△ABC,则 ∠BCM的度数等于 7.如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上 的点，若△ADB≌△EDB兰△EDC,则A BC ,∠C的度数为 第7题图 第8题图 8.学科内融合如图，在平面直角坐标系中， △OAB的顶点坐标分别是A(-6,0),B(0, 5),△OA'B'≌△AOB,若点A'在x轴上，则 点B'的坐标是 三、解答题（共6分） 9.(6分)如图，已知△ABF≌△CDE. (1)若∠B=30°，∠DCF=40°，求∠EFC的 度数； (2)若BD=10,EF=2,求BF的长. B 八年级上·ZBR·数学第5页 三角形全 测试时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1.如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作 出了CN∥OA,连接EN,作图痕迹中，△ODM ≌△CEN根据的是() A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS N/G D C E/B 第1题图 第2题图 2.如图，点F,C在BE上，AC=DF,BF=EC,AB =DE,AC与DF相交于点G,则与2∠DFE 相等的是( A.∠A+∠D B.3∠B C.180°-∠FGC D.∠ACE+∠B 3.Rt△ABC、Rt△DEF如图放置，其中∠ACB= ∠DFE=90°，AB=DE且AB⊥DE,DE与AB 相交于点G,DF与AB相交于点H.若DF= a,BC=b,CF=c,则AE的长为( A.a+c B.b+c C.a+b-c D.a-b+c F C 第3题图 第4题图 4.[教材习题3变式]（信阳期末）在测量一个 小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动 钳”按如图方法进行测量，其中OA=OD,OB =OC,测得AB=5厘米，EF=7厘米，圆形容 器的壁厚是( A.1厘米 B.2厘米 C.5厘米 D.7厘米 5.学习情境·题目讨论（北京期中）老师布置 的作业中有这么一道题： 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 等的判定 测试分数：50分 如图，在△ABC中，D为 BC的中点，若AC=3,AD=4,则 AB的长不可能是() A.5 B.7 C.8 D.9 甲同学认为AB,AC,AD这三条边不在同一 个三角形中，无法解答，老师给的题目有错 误.乙同学认为可以从中点D出发，构造辅 助线，利用全等的知识解决.丙同学认为可 以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等 的知识解决.你认为正确的是( A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 二、填空题（每题3分，共9分） 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边 AC上，DE⊥AB于点E,DC=DE,∠A=32°， 则∠BDC的度数为 ≥D E 第6题图 第7题图 7.生活情境·测假山距离数学实践活动中，为 了测量校园内假山底部A,B两点之间的距 离，小明首先在地面上取一个可以直接到 达A点和B点的点C,连接AC并延长到点 D,使CD=AC,连接BC并延长到点E,使 CE=CB,并测得D,E两点之间的距离为 8m,则A,B两点之间的距离为 8.(洛阳期中)如图，EB交AC M 于点M,交CF于点D,AB交 FC于点N,∠E=∠F=90°， ∠B=∠C,AE=AF,给出下列 结论：①∠1=∠2；②CD=DN;③△ACN≌ △ABM:④BE=CF.其中正确的结论有 .(填序号)》 年级上·ZBR·数学第6页 三、解答题（共26分） 9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E 在BC上(BD<BE),BD=CE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若∠ADE=2∠B,BD=2,求AE的长， 10.(9分)如图，已知△ABC和△CDE均是直 角三角形，∠ACB=∠CED=90°，AC=CE, AB⊥CD于点F. (1)求证：△ABC≌△CDE; (2)若点B是EC的中点，DE=10cm,求 AC的长. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·) 11.核心素养·推理能力(9分)一节数学课 后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC =90°，B0⊥AC于点0，点P,D分别在AO 和BC上，PB=PD,DE⊥AC于点E,求证： △BPO≌△PDE. B 备用图 (1)理清思路，完成解答 本题证明的思路可用下列框图表示： PB=PD(已知] △BPO≌△PDE LBOP=ZPED 8O.⊥AC.DE⊥AC(已知)☐ L3=L4∠3=∠PBD-∠121=∠C=45已知 ∠4=∠2-∠C ∠PBD=∠2 根据上述思路，请你完整地书写本题的证 明过程； (2)特殊位置，证明结论， 若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证： AP=CD. 年级上·ZBR·数学第7页 角的三 测试时间：20分钟 一、选择题（每题3分，共12分） 1.[教材例题变式]为了促进某地的旅游发 展，某村要在三条公路围成的一块三角形 平地上修建一个度假村.要使这个度假村 到三条公路的距离相等，则度假村应 建在() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点D.无法确定 2.如图，PM⊥OA,PN⊥OB,若PM=PN, ∠BOC=30°，则∠AOB的度数为() A.30° B.450 C.60° D.50° D A B B 第2题图 第3题图 3.[教材练习2变式]如图，△ABC的外角的 平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC 的距离为3，则点P到AB的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，0是△ABC内一点，且0到三边AB, AC,BC的距离OF=OE=OD,若∠BAC= 70°，则∠B0C=( A.120° B.115° C.130° D.125° 二、填空题（每题3分，共6分） 5.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 点E,△BDC的面积为24，BC=12,则DE 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 平分线 测试分数：35分 第5题图 第6题图 6.如图，在∠AOB的边OA,OB上取点M,N, 连接MN,PM平分∠AMN,PN平分∠MNB, 若MN=2,△PMW的面积是2，△OMN的面 积是8，则△OMN的周长是 三、解答题（共17分） 7.[教材习题4变式](8分)如图是一块三角 形草坪，现要在草坪上建一个凉亭P供大 家休息，且凉亭P到草坪三边的距离相等， 利用直尺和圆规，确定凉亭P的位置.（保 留作图痕迹，不写作法) 8.(9分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, ∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上， BD=DF. (1)求证：CF=EB; (2)若AB=12,AF=8,求CF的长. 年级上·ZBR·数学第8页 专题构造全等三 方法1利用“角平分线”构造全等三角形 方法指导：因为角平分线本身已经具备 全等三角形的三个条件中的两个（角相 等和公共边相等)，故在处理角平分线问 题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上的一点作角两边的垂 线段 1.如图，∠A0B=90°，0C是∠A0B的角平分 线.把直角三角尺的直角顶点落在OC的任 意一点P上，使三角尺的两条直角边分别 与OA,OB相交于点E,F.如图1，若PE1 OA,PF⊥OB,我们依据“角平分线上的点到 角的两边距离相等”有结论：PE=PF.把三 角尺绕点P旋转一定角度（如图2），那么 PE=PF是否仍成立？请说明理由 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 角形的常用辅助线 方法2利用“截长补短法”构造全等三角形 方法指导：截长补短法的具体做法：在某 一条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或将某条线段延长，使之与特定线段 相等，再利用全等三角形的性质加以说 明.当条件中出现角平分线时，又体现了 方法1中的构造全等三角形.这种方法适 用于证明线段的和、差、倍、分等关系. 2.如图，∠A+∠D=180°，BE平分∠ABC,CE 平分∠BCD,点E在AD上. (1)探讨线段AB,CD和BC之间的等量关 系，并说明理由； (2)探讨线段BE与CE之间的位置关系， 并说明理由. 年级上·ZBR·数学第9页 3.（1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的 点，∠BMF=?∠BMD,试探究图中线段B, EF,FD之间的数量关系 (2)如图2，已知在四边形ABCD中，∠ABC +∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延 长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足 (1)中的结论，请求出∠EAF与∠DAB的数 量关系 E 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法指导：将中线延长一倍，然后利用 “SAS”判定三角形全等. 4.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问 题：如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求 BC边上的中线AD的取值范围.小明在组 内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的 方法思考： (1)求得AD的取值范围是 A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样， 可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集合到同一个 三角形中， 【问题解决】 (2)如图2，已知：CD=AB,∠BDA=∠BAD, AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. D 图 图2 年级上·ZBR·数学第10页情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线” “邻CD三分线”时，①当m>n时，∠BPC=子LA-子 1 1 LABC=3m°3n:②当m<n时，LP=3∠ABC3∠A m 1 -了me综上所述：∠BPC的度数为：子m或了m 2 号了写好 1 1 第十四章全等三角形 全等三角形及其性质 1.B2.C3.B 4.B【解析】：∠B=80°，∠C=30°，∠BAC=180°-80°- 30°=70°..△ABC≌△ADE,∴.∠BAC=∠DAE,∴.∠EAC= 70°-35°=35°.故选B. 5.△ABC≌△ADE∠DAE BC 6.20°【解析】，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10: ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，.∠A=30°，∠ACB=100° ∠ABC=50°.△MNC≌△ABC,.∠NCM=∠ACB=100°， ∠N=∠ABC=50°，BC=NC,∠NBC=∠N=50°，.∠BCW =180°-∠N-∠NBC=80°，∴.∠BCM=∠MCN-∠BCW= 100°-80°=20°. 7. 2 ·30°【解析】·△ADB≌△EDB≌△EDC,.AB=EB= EC,∠ABD=∠EBD=LECD,LBED=LCED=LA,BC AB ABAB 1 EB+EC-2AB=2 .·∠BED+∠CED=180°，∴.∠BED= ∠CED=∠A=90°，∴.∠ABD+∠EBD+∠ECD=90°，∴. ∠ECD=30° 8.(6,-5) 【方法点拨】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的 性质，根据点A、B的坐标求出OA=6,OB=5,根据全等三角 形的性质得出OA'=OA=6,A'B'=OB=5,再求出点B'的坐标 即可. 9.解：(1).△ABF≌△CDE,.∠D=∠B=30°，∴.∠EFC= ∠DCF+∠D=70°： (2分) (2).'△ABF≌△CDE,∴.BF=DE,∴.BF-EF=DE-EF,即 路 BE=DF. (4分) ,BD=10,EF=2,∴.BE=(10-2)÷2=4.∴BF=BE+EF=6. 手 (6分) 三角形全等的判定 案 1.B 2.C【解析】.BF=EC,∴.BF+FC=EC+FC,∴.BC=EF,在 (AC=DF △ABC与△DEF中，AB=DE,.△ABC兰△DEF(SSS), BC=EF ∠ACB=∠DFE,∴.2∠DFE=∠AGF=∠DGC=180°-∠FGC. 故选C. 3.C【解析】AB⊥DE,.∠DGH=90°.：∠DFE=90°， ∠AFH=∠DGH..·∠DHG=∠AHF..∠A=∠D.在△ABC (∠A=∠D 与△DEF中，{∠ACB=∠DFE=90°，.△ABC≌△DEF （AB=DE （AAS),∴.AC=DF,BC=EF.DF=a,BC=b,CF=c.∴.AE= AC+EF-CF=DF+BC-CF=a+b-c.故选C. 4.A【解析】在△AOB和△DOC中，OA=OD,∠AOB= ∠DOC,BO=CO,∴，△AOB≌△DOC(SAS),∴.AB=CD=5 厘米EF=7厘米，圆柱形容器的壁厚是？×(7-5)=1 （厘米).故选A. 5.D 追梦之旅铺路卷·八年级 (BD=BD 661°【解析】在Rt△BCD和Rt△BED中，DC-DERt △BCD≌Rt△BED(HL),.∠CDB=∠EDB..·∠CDE=∠A +∠AED=32°+90°=122°，∴.∠BDC=∠EDB=61°. 7.8m 8.①③④【解析】在△ABE和△ACF中，∠E=∠F,∠B= ∠C,AE=AF,·△ABE≌△ACF(AAS),.∠EAB=∠FAC, .∠EAB-∠BAC=∠FAC-∠BAC,.∠1=∠2.①正确：没 有条件可以证明CD=DN,②错误；：△ABE≌△ACF,∴.AB =AC,在△ACN和△ABM中，∠C=∠B,AC=AB,∠CAB= ∠BAC,.△ACN≌△ABM(ASA),③正确；△ABE≌ △ACF,.BE=CF,④正确..其中正确的结论有①③④ 9.（1)证明：.AB=AC,∴.∠B=∠C, (1分) (AB=AC 在△ABD和△ACE中，{∠B=∠C,.△ABD≌△ACE BD=CE (SAS); (4分) (2)解：.·∠ADE=2∠B,∴.∠B=∠BAD,BD=AD=2.（6分) .·△ABD≌△ACE,∴.AE=AD=2. (8分) 10.(1)证明：：AB⊥CD,.∠FAC+LACF=90°.∠ACE= 90°，∴.∠DCB+∠ACF=90°，.∠FAC=∠DCB.(3分) I∠FAC=∠DCB 在△ABC和△CDE中，{AC=CE ,.△ABC≌ (∠ACB=∠CED=90° △CDE(ASA); (5分) (2)解：.：△ABC≌△CDE,.DE=BC=10Cm. (7分) 点B是EC的中点，.EC=2BC=20cm,.AC=EC= 20cm (9分) 11.证明：(1).AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠C=45°.B0⊥AC, ∴.∠1=45°，.∠1=∠C=45°..PB=PD,∴.∠2=∠PBD. :∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C,.∠3=∠4.(3分) ,·B0⊥AC,DE⊥AC,∴.∠BOP=∠PED=90°. 在△BPO和△PDE中， ∠3=∠4 ∠BOP=∠PED,∴.△BPO≌△PDE(AAS); (5分) BP=PD (2)由(1)，得∠3=∠4，.BP平分∠AB0,.∠ABP=∠3， ∴.∠ABP=∠4. (6分) (∠A=∠C 在△ABP和△CPD中， ∠ABP=∠4，∴.△ABP≌△CPD PB=DP (AAS),..AP=CD. (9分) 角的平分线 1.C 2.C【解析】：点P在∠AOB的内部，PM⊥A0,PN⊥OB,PM =PN,.点P在∠AOB的平分线上，OC平分∠A0B, ∠B0C=30°，∴.∠AOB=60°.故选C. 3.C 4.D【解析】：∠BAC=70°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC =110°.由题意得OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.,:OF=OE= OD,B0平分LABC,C0平分LACB,·∠0BC=2 ∠ABC,L0CB=2∠ACB,∠B0C=180-（∠0BC+ ∠0CB)=180°-7（∠ABC+LACB)=180°-550=1250故 选D. 5.4 6.12【解析】过P作PH⊥MN于H,PK⊥OB于K,PL⊥AO 于L,连接PO..PM平分∠AMN,PN平分∠MNB,.PL= PH,PK=PH,PL=PKMN=2,△PMN的面积=2MN· P2PK=PL-2.M PL.Saro 上·ZBR·数学第17页 1 ON PK,SoM+S=SArN+roOM+ON) ·PK=8+2=10,∴.OM+ON=10,∴.△OMN的周长=OM+ON +MN=10+2=12. 7解：如图. (8分) D 8.（1)证明：DE⊥AB于点E,∴.∠DEB=90°，又.AD平分 ∠BAC,∠C=90°，∴.DC=DE, (2分) 在Rt△DCP和Rt△DEB中，{PCD,Rt△DCF≌R △DEB(HL),∴.CF=EB; (5分)》 （2)解：在△1CD和△4BD中，{0知R△ACD ≌Rt△AED(HL),.AC=AE. (7分) 设CF=BE=x,则AE=AB-BE=12-x,AC=AF+FC=8+x,即 12-x=8+x,解得x=2..CF=2. (9分)》 专题构造全等三角形的常用辅助线 1.解：PE=PF仍成立. 理由如下：过P点作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N. OC是∠AOB的角平分线，∴.PM=PN..∠PMO=∠PNO= ∠MON=90°，∴.∠MPN=90°.：LMPE+∠EPN=90° LEPN+∠NPF=90°，∴.LMPE=LNPF,在△PME和 I∠PME=∠PNF △PNF中，{PM=PN ,.△PME≌△PNF(ASA), I∠MPE=∠NPF PE=PF. 2.解：(1)BC=CD+AB;理由如下：延长BE交CD延长线于F. ∠A+∠D=180°，.AB∥CD,∴.∠ABC+∠DCB=180°. BE平分LABC,CE平分LBCD,∠EBC)∠ABC ∠ECB=子LBCD,,LBBC+LBCB=子(LABC+LBCD) 1 =90°，∴.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90° .CE⊥BE.:CE平分∠BCD,.∠BCE=∠FCE.在△BCE ∠BCE=∠FCE 与△FCE中， EC=EC ,.△BCE≌△FCE(ASA), A∠BEC=∠FEC .BC=FC,BE=FE.AB∥CD,∠ABE=∠F.在△ABE与 I∠ABE=∠F △DFE中 BE=FE ,.△ABE≌△DFE(ASA),· ∠AEB=∠DEF AB=DF,..BC=CF=CD+DF=CD+AB: (2)BE⊥CE:理由如下：.·∠A+∠D=180°，.AB∥CD, ∠ABC+∠DCB=180°.：BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ∠EBC=7LABC,∠BCB=2RCD,∠BBC+∠BCB= 2 Z(LABC+LBCD)=90,LBEC=180°-（∠EBC+ ∠ECB)=180°-90°=90°，.BE⊥CE. 3.解：(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.∠B+∠ADC =180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴.∠B=∠ADG.在△ABE和 (AB=AD △ADG中，{∠B=∠ADG,∴.△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE= BE=DG AG,∠BAE=∠DAG.,·∠BAD=∠BAE+∠EAD,∠EAG= LED+LDAG,.∠BMD=∠EAG.:LEAF=2∠BAD, 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠EAF= ∠EAC,∠EAF=LGAF,在△AEF和△AGF 1 (AE=AG 中， ∠EAF=∠GAF,.△AEF≌△AGF(SAS),.EF=FG. AF=AF ·GF=GD+DF=DF+BE,∴.EF=BE+FD; (2)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG. ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴.∠ADC= (AB=AD ∠ABE.在△ABE和△ADG中，{∠ABE=∠ADG,∴.△ABE≌ BE=DG △ADG(SAS),∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE.,·EF=BE+DF,. (AE=AG EF=DG+DF=GF.在△AEF和△AGF中，{AF=AF, EF=GF △AEF≌△AGF(SSS),∴.∠FAE=∠FAG..'∠FAE+∠FAG+ ∠GAE=360°，∴.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，.∴.2 ∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2LFAE+∠DAB=360°， ∠BMF=1803∠DMB 4.(1)C (2)证明：延长AE到F,使EF=AE,连接DF.,·AE是△ABD (BE=DE 的中线，∴.BE=ED.在△ABE与△FDE中，{ ∠AEB=∠FED, （AE=FE ∴.△ABE≌△FDE(SAS),∴.AB=DF,∠BAE=∠EFD., ∠ADB是△ADC的外角，∴.∠DAC+∠ACD=∠ADB= ∠BAD.·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD,∴. ∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,.∠ADF=∠ADC.:AB= (AD=AD DC,DF=DC.在△ADF与△ADC中， ∠ADF=∠ADC, FD=CD △ADF≌△ADC(SAS),.∠C=∠AFD=∠BAE. 第十五章轴对称 图形的轴对称 1.B2.D3.C4.D 5.A【解析】.DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴.AE= CE.,'AB=8cm,BC=6cm,∴.△EBC的周长=BC+CE+BE= BC+AB=6+8=14(cm).故选A. 6.B【解析】，∠BAC=110°，∴.∠C+∠B=70°.∴.EG、FH分 别为△CAB的垂直平分线，.EC=EA,FB=FA,.LEAC= 路 ∠C,∠FAB=∠B,∴.∠EAC+∠FAB=70°，∴.∠EAF=110°- 70°=40°.故选B. 手 7.12:08:518.7.5 9.55°【解析】根据折叠的性质得：∠BOG=∠BOG. ∠A0B'=70°，.∠B0B=180°-∠A0B'=110°，.∠B'0G= 案 ×110°=550. 1 10.32【解析】.点P关于OA,OB的对称点为P1,P2,.OP =0P=0P,=8,∠P,0P=2LA0B=90,SaA,=20P, ×0P,=32. 11.解：如图，点P'、P即为所求 (8分) E A 01 12.证明：.ED⊥AC,∴.∠EDC=∠EBC=90°.在Rt△ECB和 Rt△ECD中，{ODC,.Rt△ECB≌Rt△ECD(HL), (4分) 上·ZBR·数学第18页