铺路帮手 第十三章 三角形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

十十十十十十十十十十十 《铺路帮手》答案 第十三章三角形 与三角形有关的线段 1.A2.B 3.B【解析】设第三根木棒的长度是xcm,则10-6<x<10+6, 解得4<x<10,.第三根木棒的长度可以是5cm.故选B. 4.B【解析】：点D、E分别是边BC、AD上的中点，.SACn= 2SAMc=4cm,SAcm之SA4cn=2cm.点F是边CE的中 1 ,点Se=S ACED=2×2=1Cm.故选B 5.D 6.3a+b-3c【解析】a,b,c分别为△ABC的三边，a+b-c> 0,a-c-b<0,c-a-b<0,∴.原式=a+b-c+(a-c-b)-(c-a-b) =a+b-c+a-c-b-c+a+b=3a+6-3c. 7.三角形具有稳定性 8.4△ABC,△ADC,△ABE,△ADE 9.62° 10号 【解析】：△ABC中，AD为中线，.BD=DC.∴SAABD= S△ADc:DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=6cm,AC= 4m7·AB·0B=7·4c0r7×6E0=2× 1 1 .DE42 4DF,DF63 11.解：DA+DB+DC2(AB+BC+AC), (3分) 理由：在△ABD中，AD+BD>AB.在△BCD中，BD+CD>BC. 在△ACD中，AD+CD>AC. (6分) .'AD+BD+BD+CD+AD+CD>AB+BC+AC...DA+DB+DC> 2(AB+BC+AC). (8分) 12.解：(1)：△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，点D 为BC中点，∴.BD=CD,CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE,即 CE=AE+AB..CE=AC-AE,..AC-AE=AE+AB..AB= 16cm,4C=20cm,∴.20-AE=AE+16,∴.AE=2cm;(4分） (2):D是BC的中点，.BD=CD,.SARDE=S△cnE·设AC 边上的高度为h.①当SAABE=2 SACDE时.：S△BDs=S△cDE,· SAr=SAs,即}·AE:h=7·CB:,AB=GB=2 AC=10em:②当2Sax=5oec=75rs时，2x ·AE·h =分×3·GB:AA5=cB,即B=写4Cen,综上 4 所述，线段AE的长为10cm或4cm. (8分) 13.解：他们的解答过程都不正确. (1分) 根据题意可知有两种情况：①当腰长为8cm,周长为28cm 时，底边长为28-8-8=12(cm).8cm,8cm,12cm能够组 成三角形，.另外两边为8cm和12cm. (4分) ②当底边为8cm,周长为28cm时，腰长为(28-8)÷2=10 (cm).:10cm,10cm,8cm能够组成三角形，∴.另外两边为 10cm和10cm. (7分) 综上可知另外两边为8cm,12cm或10cm,10cm.(9分) 与三角形有关的角 1.C 2.B【解析】小：∠1=58°，a/%,∴∠3=∠1=58°.∠2=24， .∠A=58°-24°=34°.故选B. 3.B【解析】在△ABC中，∠A=90°，.∠ACB+LABC=90°. 又.：∠1+∠ACB=180°，∠2+∠ABC=180°，∴.∠1+∠2= 360°-∠ACB-∠ABC=270°.故选B. 追梦之旅铺路卷·八年级 4.D 5.D【解析】由题意得∠4=∠1=45°，∠5=∠3=65°，∠2= ∠6，.∠2=180°-45°-(180°-65°×2)=85°.故选D. 6.35°7.105° 8.75°【解析】.∠AEF=36°，∠BEG=57°，.∠FEH=180°- 36°-57°=87°.：AB∥CD,∴.∠EFG=LAEF=36°.FH平 分LEFG,∠EFH7∠EFG=18°，∠EHF=180°-87- 18°=75°. 9.34° 10.解：(1)125 (3分) (2)在△ABC中，AD是高，∠C=70°，∠ABC=60°， ∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°，∠BAC=180°-∠ABC- ∠C=50°， (5分) AE是∠BAC的平分线∠CME=号∠BAC=25, ∠DAE=∠CAE-∠DAC=25°-20°=5°. (8分) 11.解：延长CD交AB于点E,:∠BEC是△ACE的一个外角， .∴.∠BEC=∠A+∠C=90°+21°=111°， (2分) 同理∠BDC=∠BEC+∠B=111°+32°=143°. (4分) 而检验工人量得∠BDC=149°，所以零件不合格.(6分) 12.解：(1)∠BAC=44°，.∠B+∠C=180°-∠BAC=180°- 44°=136°..∠B=∠C,∴.2∠C=136°，∴.∠C=68°； (4分) (2).·∠ADE=∠AED,∠ADE=75°，.∠AED=75°，(7分) .·∠AED+∠CED=180°，∴.∠CED=180°-75°=105°.. ∠CDE+∠CED+∠C=180°，∴.∠CDE=180°-105°-68°= 7 (9分) 13.解：(1)85或100 (2分) (2).BP⊥CP,∴.∠BPC=90°，.∠PBC+∠PCB=90°， ·BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和LACB邻AC三分 线∠PBC=子LABC,∠PCB=子LACB, 2 -∠ABC+ 子∠ACB=90°，∠ABC+LACB=1350,在△ABC中，∠A 2 =180°-（∠ABC+∠ACB)=45°； (5分) (3)∠BPG的度数为子m或了m或子m 1 1 .1 3m+ 3n或3m- 名或了-3m 1 (10分) 路 【解析】分4种情况进行画图计算； 手 案 图① 图② 图③ 情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻 AC三分线”时，LBPC=名乙A=多 m;情况二：如图②，当 2 BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时， ∠BPC=了LA=m,情况三：如图③，当BP和CP分别 是“邻BC三分线”、“尔AC三分线”时，∠BPC= 3∠A+ 1 2 ABC=3m+3n; 图④ 图⑤ 上·ZBR·数学第16页 情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线” “邻CD三分线”时，①当m>n时，LBPC=子LA-子 1 1 LABC=3m°-3n;②当m<n时，∠P=3∠ABC-3∠A m 1 -了me综上所述：∠BPC的度数为：子m或了m 2 号成了日 1 1 第十四章全等三角形 全等三角形及其性质 1.B2.C3.B 4.B【解析】：∠B=80°，∠C=30°，∠BAC=180°-80°- 30°=70°..·△ABC≌△ADE,∴.∠BAC=∠DAE,∴.∠EAC= 70°-35°=35°.故选B. 5.△ABC≌△ADE∠DAE BC 6.20°【解析】，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10: ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴.∠A=30°，∠ACB=100° ∠ABC=50°.△MNC≌△ABC,.∠NCM=∠ACB=100°， ∠N=∠ABC=50°，BC=NC,∠NBC=∠N=50°，.∠BCW =180°-∠N-∠NBC=80°，∴.∠BCM=∠MCN-∠BCW= 100°-80°=20°. 7. 2 ·30°【解析】·△ADB≌△EDB≌△EDC,.AB=EB= EC,∠ABD=∠EBD=LECD,LBED=LCED=LA,BC AB ABAB 1 EB+EC2AB=2 ,.·∠BED+∠CED=180°，.∴.∠BED= ∠CED=∠A=90°，∴.∠ABD+∠EBD+∠ECD=90°，∴. ∠ECD=30 8.(6,-5) 【方法点拨】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的 性质，根据点A、B的坐标求出OA=6,OB=5,根据全等三角 形的性质得出OA'=OA=6,A'B'=OB=5,再求出点B'的坐标 即可. 9.解：(1).△ABF≌△CDE,.∠D=∠B=30°，∴.∠EFC= ∠DCF+∠D=70°： (2分) (2).'△ABF≌△CDE,∴.BF=DE,∴.BF-EF=DE-EF,即 路 BE=DF. (4分) ,BD=10,EF=2,.BE=(10-2)÷2=4.∴BF=BE+EF=6. 手 (6分) 三角形全等的判定 案 1.B 2.C【解析】.BF=EC,∴.BF+FC=EC+FC,∴.BC=EF,在 (AC=DF △ABC与△DEF中，AB=DE,.△ABC兰△DEF(SSS), BC=EF ∠ACB=∠DFE,∴.2∠DFE=∠AGF=∠DGC=180°-∠FGC. 故选C. 3.C【解析】AB⊥DE,.∠DGH=90°.∠DFE=90°， ∠AFH=∠DGH..·∠DHG=∠AHF..∠A=∠D.在△ABC (∠A=∠D 与△DEF中，{∠ACB=∠DFE=90°，.△ABC≌△DEF AB=DE （AAS),∴.AC=DF,BC=EF.DF=a,BC=b,CF=c.∴.AE= AC+EF-CF=DF+BC-CF=a+b-c.故选C. 4.A【解析】在△AOB和△DOC中，OA=OD,∠AOB= ∠DOC,BO=CO,∴，△AOB≌△DOC(SAS),∴.AB=CD=5 厘米EF=7厘米，圆柱形容器的壁厚是？×(7-5)=1 （厘米).故选A. 5.D 追梦之旅铺路卷·八年级 (BD=BD 661°【解析】在Rt△BCD和Rt△BED中，DC-DERt △BCD≌Rt△BED(HL),.∠CDB=∠EDB..·∠CDE=∠A +∠AED=32°+90°=122°，∴.∠BDC=∠EDB=61°. 7.8m 8.①③④【解析】在△ABE和△ACF中，∠E=∠F,∠B= ∠C,AE=AF,·△ABE≌△ACF(AAS),.∠EAB=∠FAC, .∠EAB-∠BAC=∠FAC-∠BAC,.∠1=∠2.①正确：没 有条件可以证明CD=DN,②错误；：△ABE≌△ACF,∴.AB =AC,在△ACN和△ABM中，∠C=∠B,AC=AB,∠CAB= ∠BAC,∴.△ACN≌△ABM(ASA),③正确；△ABE≌ △ACF,.BE=CF,④正确..其中正确的结论有①③④ 9.（1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C, (1分) (AB=AC 在△ABD和△ACE中，{∠B=∠C,.'.△ABD≌△ACE BD=CE (SAS); (4分) (2)解：.·∠ADE=2∠B,∴.∠B=∠BAD,BD=AD=2.（6分) .'△ABD≌△ACE,∴.AE=AD=2. (8分) 10.(1)证明：：AB⊥CD,.∠FAC+∠ACF=90°.∠ACE= 90°，∴.∠DCB+∠ACF=90°，.∠FAC=∠DCB.(3分) I∠FAC=∠DCB 在△ABC和△CDE中，AC=CE ,.△ABC≌ (∠ACB=∠CED=90° △CDE(ASA); (5分) (2)解：.：△ABC≌△CDE,.DE=BC=10cm. (7分) 点B是EC的中点，.EC=2BC=20cm,.AC=EC= 20cm (9分) 11.证明：(1).AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠C=45°.B0⊥AC, ∴.∠1=45°，.∠1=∠C=45°..PB=PD,∴.∠2=∠PBD. ∠3=∠PBC-∠1，∠4=L2-LC,.∠3=∠4.(3分) ,·B0⊥AC,DE⊥AC,∴.∠BOP=∠PED=90°. 在△BPO和△PDE中， ∠3=∠4 ∠BOP=∠PED,∴.△BPO≌△PDE(AAS); (5分) BP=PD (2)由(1)，得∠3=∠4，.BP平分∠AB0,.∠ABP=∠3， ∴.∠ABP=∠4. (6分) (∠A=∠C 在△ABP和△CPD中， ∠ABP=∠4，∴.△ABP≌△CPD PB=DP (AAS),∴.AP=CD. (9分) 角的平分线 1.C 2.C【解析】：点P在∠AOB的内部，PM⊥AO,PN⊥OB,PM =PN,.点P在∠AOB的平分线上，OC平分∠A0B, ∠B0C=30°，∴.∠AOB=60°.故选C. 3.C 4.D【解析】：∠BAC=70°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC =110°.由题意得OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB..:OF=OE= OD,B0平分LABC,C0平分LACB,·∠0BC=2 LABC,L0CB=2∠ACB,∠B0C=180-（∠0BC+ ∠0CB)=180°-7（∠ABC+LACB)=180°-550=1250.故 选D. 5.4 6.12【解析】过P作PH⊥MN于H,PK⊥OB于K,PL⊥AO 于L,连接PO.,PM平分∠AMN,PN平分∠MNB,∴.PL= PH,PK=PH,PL=PKMN=2,△PMN的面积=2MN· P2PK=PL-2.M PL.Saro 上·ZBR·数学第17页第十三章 与三角形 测试时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1.如图表示三角形分类，则Q表示的 是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 等腰】 三边都不 三角形 相等的三 角形 第1题图 第2题图 2.如图，CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平 分线、中线，则下列各式中错误的是() A.AB=2BF B.AE=BE C.∠ACE=2∠ACBD.CD LAB 3.学习情境·课堂讨论数学课上，老师让小明 准备三根木棒用来研究三角形三条边之间 的关系，小明已经准备了6cm和10cm的木 棒，若第三根木棒能够和已经准备了的木棒 构成三角形，则第三根木棒的长度可以 是() A.4cm B.5cm C.16cm D.18cm 4.如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为 BC,AD,CE的中点，且S△ABc=8cm2,则阴影 部分的面积为( ) A.0.5cm2 B.1 cm2 C.1.5cm2 D.2 cm2 B D 第4题图 第5题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 三角形 有关的线段 测试分数：55分 5.（重庆月考)在△ABC中，AD为中线，BE为 角平分线，则在以下等式中：①∠BAD= ∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE =EC,其中正确的是( A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、填空题（每题3分，共15分） 6.设a、b、c是△ABC的三边，化简：Ia+b-c|- la-c-bl+Ic-a-bl= 7.生活情境·建筑意大利面根根筋道，看起来 极易折断，棉花糖柔软、容易固定.利用意大 利面做架子，棉花糖做连接，能搭建出“又 高又稳”的建筑.在如图所示的模型中三角 形架子是其主要结构，这种设计的原理 是 第7题图 第8题图 8.如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 9.如图，在△ABC中，BD是△ABC的高，BE是 △ABC的角平分线，∠ABC=80°，∠DBE= 12°，则∠A的度数是 A DE 第9题图 第10题图 10.[教材习题7变式]如图，在△ABC中，AD 是中线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F 若AB=6cm,AC=4em,则DE 年级上·ZBR·数学第1页 三、解答题（共25分） 11.（8分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点D.连接AD,试说明DA+ DB+DC与，(AB+BC+AC)的大小关系. 12.（8分)如图，在△ABC中，AB=16cm,AC= 20cm,D是BC的中点，点E在边AC上. (1)若△CDE的周长与四边形ABDE的周 长相等，求线段AE的长 (2)连接BE,若△ABE的面积与△CDE的 面积之间存在2倍关系，求线段AE的长， B 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 13.中考新趋势·过程纠错(9分)阅读两名同 学对下题的解答过程， 一个等腰三角形的周长为28cm,其中 一边长为8cm,则这个三角形另外两边的 长分别是多少？ 李明说应这样解：设腰长为xcm,则 2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形另 外两边的长均为10cm. 张钢说应这样解：设底边长为xcm,则 2×8+x=28,解得x=12,所以这个三角形 的另外两边的长分别为8cm,12cm. 试判断李明与张钢两人的解答过程是否正 确，若正确，请写出判断的依据；若不正确， 请你写出正确的解答过程， 入年级上·ZBR·数学第2页 与三角形 测试时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1.如果∠A=∠B-∠C,那么△ABC是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 2.如图，直线ab,在Rt△ABC中，点C在直 线a上.若∠1=58°，∠2=24°，则∠A的度 数为( A.56° B.34° C.36° D.24° 第2题图 第3题图 3.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，∠1+∠2 的度数是( A.180° B.270 C.360° D.无法确定 4.生活情境·测量建筑物（洛阳月考）数学实 践是学习数学的重要途径.某数学兴趣小 组在学校操场上进行实地测量.如图，在A 处测得建筑物C在南偏西57°的方向上，在 B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上. 在建筑物C处测得A,B两处的视角∠C的 度数为( A.67° B.57° C.47° D.37o 心 一东 5y3 1入人4 62 第4题图 第5题图 5.跨学科试题·物理如图，光线α照射到平面 镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反 射，且∠1=∠4，∠3=∠5，∠2=6，若已知∠1 =45°，∠3=65°，则∠2的度数为() A.70° B.75° C.80° D.85° 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 有关的角 测试分数：60分 二、填空题（每题3分，共12分） 6.[教材习题7变式]如图，C处在B处的北 偏西40°方向，C处在A处的北偏西75°方 向，则∠ACB的度数为 北 60 45 第6题图 第7题图 7.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ∠1等于 8.如图，△EFG的三个顶点E,G和F分别在 平行线AB,CD上，FH平分∠EFG,交线段 EG于点H.若∠AEF=36°，∠BEG=57°，则 ∠EHF的大小为 E 一D B 第8题图 第9题图 9.如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA 的延长线上，DE交AC于点F.若∠B=46°， ∠C=30°，∠EFC=70°，则∠D= 三、解答题（共33分） 10.(8分)（广州期末）如图，在△ABC中，AD 是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点 0,∠C=70° (1)∠AOB的度数为 (2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数， ED 年级上·ZBR·数学第3页 11.生活情境·零件(6分)（巩义期末）一个 零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B和 ∠C应分别是32°和21°，检验工人量得 ∠BDC=149°，就判断这个零件不合格，运 用三角形的有关知识说出零件不合格的 理由. 12.(9分)如图，在△ABC中，∠B=∠C,D为 边BC上一点（不与点B,C重合），点E为 边AC上一点，∠ADE=∠AED,∠BAC =44°. (1)求∠C的度数； (2)若∠ADE=75°，求∠CDE的度数， B D 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 13.中考新趋势·新定义(10分)【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE= ∠EBC,则BD,BE叫作∠ABC的“三分 线”.其中，BD是“邻AB三分线”，BE是 “邻BC三分线”. 2 【问题解决】 (1)如图②，在△ABC中，∠A=70°，∠B= 45°，若∠B的三分线BD交AC于点D,则 ∠BDC= (2)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是 ∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分 线，且BP⊥CP,求∠A的度数； 【延伸推广】 (3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角， ∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分 线所在的直线交于点P.若∠A=m°，∠B= n°，直接写出∠BPC的度数.（用含m,n的 代数式表示) 年级上·ZBR·数学第4页