铺路帮手 第十七章 因式分解-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十七章 测试时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共21分） 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的 是() A.m(a+b)=ma+mb B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.x2+x=x2(1+二) D.x2-9=(x+3)(x-3) 2.对于①a-2ab=a(1-2b),②(a+2)(a-1)= a2+a-2,从左到右的变形，表述正确的 是() A.①是因式分解，②是乘法运算 B.①是乘法运算，②是因式分解 C.①②都是因式分解 D.①②都是乘法运算 3.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的 是() A.-4a2-b2 B.-4a2+b2 C.a2-b D.9a2-16b2 4.把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式，正 确的结果是( A.(x-y)(-a-b-c) B.(y-x)(a-b-c) C.-(x-y)(a+b+c) D.-(y-x)(a+b-c) 5.若9a2(x-y)2-3a(y-x)3=M·(3a+x-y), 则M等于( ) A.y-x B.x-Y C.3a(x-y)2 D.-3a(x-y) 6.将下列多项式因式分解，结果中不含因式 (x+2)的是( ) A.2x2+4x B.3x2-12 C.x2+x-6 D.(x-2)2+8(x-2)+16 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 因式分解 测试分数：70分 7.生活情境·编译密码（南京模拟）小军是一 位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有 这样一条信息：x-y,a-b,c,x2-y2,a,x+y,分 别对应下列六个字：我，学，数，练，习，爱.现 将ac(x2-y2)-bc(x2-y2)因式分解，结果呈 现的密码信息可能是( A.我爱练习 B.我爱数学 C.我爱学习 D.练习数学 二、填空题（每题3分，共15分） 8.多项式12abc+8a3b的公因式是 9.已知a+b=3,a-b=5,则式子a2-b2的值是 10.已知三角形三边长a,b,c满足(a-b)2+(a -b)c=0,则此三角形一定是 角形 11.已知长方形的边长为a和b,周长为12，面 积为8，则ab+ab2的值为 12.如图，将一张大长方形纸板按图中实线裁 剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的 大正方形，2块是边长都为b厘米的小正 方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相 同的小长方形，且a>b.观察图形，可以发 现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解 为 b a 三、解答题（共34分） 13.(8分)分解因式： (1)16(x-y)2-25(x+y)2; 年级上·ZBR·数学第20页 (2)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81. 14.(8分)已知a+b=1,b=4,利用因式分解 求a(a+b)(a-b)-a(a+b)2的值. 15.数学思想·整体思想(9分)（濮阳期末）先 阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成整体，设x+y=m,则原式 =m2+2m+1=(m+1)2. 再将x+y=m代人，得原式=(x+y+1)2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思 想”是数学解题中常用的一种思想方法 请你完成下列各题： (1)因式分解：1-2(x-y)+(x-y)2; (2)因式分解：25(a+2)2-10(a+2)+1; (3)因式分解：(y2-6y)(y2-6y+18)+81. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 16.数学思想·类比思想(9分)【问题情境】我 们知道形如a±2ab+b2的式子称为完全平 方式.对于一些不是完全平方式的多项式， 我们可做如下变形：先添加一个适当的项， 使式子中出现完全平方式，再减去这个项， 使整个式子的值不变，这种方法叫作配方 法.配方法是一种重要的解决数学问题的 方法，不仅可以将有些看似不能分解的多 项式分解因式，还能解决一些与非负数有 关的问题及求代数式最大、最小值等问题 例如：分解因式x2-2x-3. 解：原式=x2-2x+1-1-3 =（x2-2x+1)-4 =(x-1)2-4 =(x-1+2)(x-1-2) =(x+1)(x-3); 例如：求代数式x2+4x+6的最小值. 解：原式=x2+4x+4-4+6 =x2+4x+4+2 =(x+2)2+2. （x+2)2≥0， .当x=-2时，x2+4x+6有最小值是2. 【解决问题】 (1)若多项式x2-10x+m是一个完全平方 式，那么常数m的值为 (2)分解因式：x2+8x+7; (3)求代数式-x2-12x+9的最大或最 小值. 年级上·ZBR·数学第21页OD、PM、PN.由对称知PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA, PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴.OC=OP=OD,∠AOB 「=)∠C0D,:△PMN周长的最小值是5cm,CD=5cm, ∴.OC=OD=CD,∴△OCD是等边三角形，∴.∠C0D=60°， .∠A0B=30°.故选B. 5.D【解析】，△ABC是等边三角形，AC=BC,∠B=60°，作 点E关于直线CD的对称点G,过G作GF⊥AB于点F,交 CD于点P,则此时，EP+PF的值最小.∠B=60°，∠BFG= 90°，∴.∠G=30°..BF=7,∴.BG=2BF=14.又.BE=6,∴. EG=8,.CE=CG=4,.AC=BC=10.故选D. 6.57.(0,2) 8.解：(1)如图，点P即为所求； (4分) P A (2)如图，点P即为所求 (9分) 生态保 B 护区 -1 第十六章整式的乘法 幂的运算、整式的乘法 1.B2.C3.A 4D【解折1愿文=（号）（子）×(~子x(-1) (-1)x(子x(-1)=2故选n 3 5.A 6.C【解析】(3x-2m)(5x-6)=15x2-18x-10mx+12m=15x2 -(18+10m)x+12m,.15x2-(18+10m)x+12m=15x2-78x+ 72,∴.12m=72,18+10m=78,.m=6.故选C. 【方法点拨】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练 运用多项式乘多项式的运算法则。 7.9 8.10【解析】小：2=81=2)，x=3(y+1).9y=32= 3”,…2y=x-9,2y=x-9 23（y+1）,解得x=21.1 .1 y=6心3x+2y= 21号6=10 1 9.+8x2y10.yang8888 11.解：原式=(2x3y-2x2y2+x2y2-x3y)÷x2y=(x3y-x2y2）÷x2y= x-Y, (4分) 当x=2026,y=2025时，原式=2026-2025=1. (7分)》 12.解：S隅影=(3a+b)(2a+b)-(a+b)2=6a2+3ab+2ab+b2-a2 2ab-b2=5a2+3ab(平方米)，∴.绿化的面积是(5a2+3ab)平 方米； （5分)》 当a=5,b=2时，原式=5×25+3×5×2=155（平方米）， (7分) ∴.当a=5,b=2时的绿化面积为155平方米 (8分) 乘法公式 1.D2.C 3.A【解析】小(x-n)2=x2-2nx+n2=x2+x+m,.-2n=1,n2= 1 m,心n=-2m= 故选A 4.B5.B6.17.7或-1 8.36【解析】找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2； (a+b)4的第三项系数为6=1+2+3；(a+b)的第三项系数 追梦之旅铺路卷·八年级 为10=1+2+3+4：不难发现(a+b)m的第三项系数为1+2+3 +…+(n-2)+(n-1),.(a+b)9第三项系数为1+2+3+…+8 =36. 9.解：(1)原式=3a-2a2+2(a2-1)=3a-2a2+2a2-2=3a-2; (4分) (2)原式=4(y2+2y+1)-(4y2-9)=4y2+8y+4-4y2+9=8y+ 13. (8分) 10.解：原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1, (4分) .2a2+3a-6=0,即2a2+3a=6, (6分) ∴.原式=6+1=7. (9分) 11解：原式=2[(3-1)x(3+1)×(3+1)×(3+1)×(3+1) x(3+1]=2×[(32-1)×(3+1)x(3+1)x(3+1)× (36+1)] (4分) =×灯(3-1x341)x(341)x(3+1]=2x[(3 x3410x3+11=红(3-1x311=3 (9分) 12.解：(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab (2分) (2）)(m+n)2-(m-n)2=4mn,.(m-n)2=(m+n)2-4mn, (4分) :m+n=-2,mn=-3,.(m-n)2=(-2)2-4×(-3)=16. m-n=±4； (5分) (3).·四边形ACDE,四边形CFGB是正方形，A、C、B在一 条直线上，.∠DCB=∠ACF=90.S,+S2=20,.x2+y2= 1 1 20,S明w=SA4cs+SAcm=2x·y+2x·y=x·y=21(x+ y)2-(+y)]=2×(6-20)=8. (10分) 第十七章因式分解 1.D 2.A 【方法点拔】本题考查了因式分解，整式的乘法运算，熟知因 式分解的定义“将一个多项式化为几个整式的乘积的形式 叫因式分解”是解题关键 3.A 4.B【解析】原式=-a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)=(-a+b+c)(x -y）=-(a-b-c)(x-y)=(a-b-c)(y-x).故选B. 路 5.C6.C7.B 8.4ab9.15 手 10.等腰【解析】：(a-b)2+(a-b)c=(a-b)(a-b+c)=0,a- b+c≠0，a-b=0,即a=b,则此三角形为等腰三角形. 案 11.48【解析】根据题意得a+b=6,ab=8,所以a2b+ab2=ab (a+b)=8×6=48. 12.(2a+b)(2b+a) 13.解：(1)原式=[4(x-y)+5(x+y)][4(x-y)-5(x+y）] （2分) =(4x-4y+5x+5y）(4x-4y-5x-5y)=(9x+y)(-x-9y); (4分) (2)原式=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4.(8分) 14.解：原式=a(a+b)[a-b-(a+b)]=a(a+b)(-2b)= -2ab(a+b), (4分) a+6=1,b三4，原式=-2x×1=-) (8分) 15.解：(1)设x-y=m,原式=1-2m+m2=(1-m)2=[1-(x- y）]2=(1-x+y)2; (3分) (2)设a+2=m,原式=25m2-10m+1=(5m-1)2=[5(a+2)） -1]2=(5a+9)2; (6分) (3)设y2-6y=m,原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+ 9)2=(y2-6y+9)2=(y-3)4 (9分) 16.解：(1)25 (2分) 上·ZBR·数学第20页 (2)原式=x2+8x+16-16+7=(x2+8x+16)-9=(x+4)2-9= (x+4+3)(x+4-3)=(x+7)(x+1); (5分) (3)原式=-(x2+12x-9)=-[(x2+12x+36)-36-9]= -[(x+6)2-45]=-(x+6)2+45, (7分) -(x+6)2≤0，.当x=-6时，-x2-12x+9有最大值45. (9分) 第十八章分式 分式 1.A2.B3.D 4.C 【方法点拔】本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约 分，掌握利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解 是解题关键 5.x 1 6.2 【解析】由题意，得1-1xl=0,x2-2x+1≠0，解得x= 1,则原式=2 【解析】3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),.m=x 2,n=3(x+2(x-2.:”=8,3(x+2)x-2）-3(x+2)= m x-2 8,解得x=号 8解：当x=4时，分式号没有意义，说明此时2x+场=0，则6 =-8; (3分) 当x=-3时，分式号的值为零，说明此时x-a=0,则a= 3. (6分) a2%得38、11 把a,b的值代入a+h, -3+1613 (9分) 9.解：(1)C (4分) (2)m+3_m2-1+4m2-14 4 m+1m+1 m+l m1m1m (10分) 分式的运算 1.B 铺2.C【解析：a+6=2,h=-5,原式=+2_a+6)2-2b ab ab _22-2×(-5)-14 -5 5 故选C 3.D4.D5.D 案6D【解析】由题意可知：M=x-y-yY x-y x-y -2y_2y故选D. x-y y-x 7.B 8.9 91【解析】原式+2中：本，=》·x+y,把一 x+y=1代入得，原式=1. 10.30 60 aa(a+2) 11.解：(1)原式=(x+4)_（x+2)(x-2）_+4-26 x(x+2)(x+2)2 x+2x+2x+25 (4分) x-3 2(x-1) -x-1 (2)原武=x+1x-D）(+1)x-可(+1(- 11 (8分) x-11-x 卫原默克诗“》. x-2 追梦之旅铺路卷·八年级 x-2.xx+3.x3 (x-3)2x-35x-3x-3-3 (4分) ,x≠2且x≠3，.取x=1, (6分) 则原式：名子（塔案不峰-） (8分) 13.解：(1)x+31 (2分) x+1x-3 (2)小强说的有道理， (3分) 理由如下： :-】*+3_x-1)(x+1)(x+3)(x-3) 6 x-3x+1(x-3)(x+1)(x+1)(x-3)(x+1)(x-3)’ (6分) 当x是大于3的正整数时，（x+1)(x-3)>0, (x+10(-3>0*-*+3 8 (9分) x-3x+1 4:1》尚宽您：白及2-品·计 a+1,a-1_1 (a-1)2‘a+1a-1 (4分) a-1≠0，a+1≠0，.a≠1，a≠-1，.当a=10时，原式= 10-19(答案不唯-) 11 (6分) 2aa+12 2a (2)由题意得：a·。a-2a+1(a+)(a-a a+1 22a-22 (a-1)2(a-1)2a-1 (8分) 2 ·被墨水遮住的式子是。 (10分) 分式方程 1.C2.A3.D 1 4.C【解析】解分式方程，得x=一 =】-2:关于x的方程一4 1 2有解，心2≠±2m≠且m0故选0 m 5.C 6.C【解析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小 时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是2，依题意得 -63(x-6-2】-1,解得x=12,经检验，x=12是所列分式 2x 方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小 时.故选C. 7.C【解析】解分式方程，得x=-2a-1.分式方程的解为负 数，-2-1<00子：当x=1时，a=-1=-1时，a 0,此时分式的分诗为00>分，且a≠0：解不等式组得 {2不等式组无解，a≤2a的取值范周为子a≤ x<a 2,且a≠0.满足条件的整数a的值为1,2.所有满足条件 的整数a的值之积是2.故选C. 4 8. 93或？或-1【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),得k-1- (x+1)=k(x-1),化简得(k+1)x=2k-2,当k=-1时，此一 元一次方程无解，即原方程无解.又，·当x=±1时原方程无 解，当=1时，=3，当=-1时，=了综上，k的位为3 或号或-1 上·ZBR·数学第21页