铺路帮手 第十八章 分式-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十八章 分式 分式 测试时间：20分钟 测试分数：40分 一、选择题（每题3分，共12分） 三、解答题（共19分） 1.下列各式中，分式的个数有() ，361 3+722国”， 8.(9分)已知分式x-0 26,当x=4时，分式没有 T 意义；当x=-3时，分式的值为零.求分式 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 a+b的值. a-2b1 2.无论a取何值，下列分式总有意义 的是() A.?+1 B.a-1 a2+1 G.、1 a2-1 D.、1 a+1 3.下列各式从左到右的变形一定正确 的是() 9.数学思想·类比思想(10分)我们知道：分 4后湖 B.4AiM 式和分数有着很多的相似点.如类比分数的 BB÷M 基本性质，我们得到了分式的基本性质，等 bb+1 13 C.2a2a+1 D 等.小学里，把分子比分母小的分数叫作真 x+23x+6 分数.类似的，我们把分子的次数小于分母 4.中考新趋势·新定义如果一个分式的分子 的次数的分式称为真分式，反之，称为假分 或分母可以因式分解，且这个分式不可约 式.对于任何一个假分式都可以化成整式与 分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下 列分式中是和谐分式的是( 真分式的和的形式，如+1-1+2-1 A.2 "x-1x-1x-1 将 2 2 （x+y)2 =1+ x-1x-1 C.x-2 (1)下列分式中，属于真分式的是 x2-y2 D.4-2 x2+2 3 二、填空题（每题3分，共9分）》 B.1 D.*7 x-1 x+1 C.2x-1 x2-1 5.有分别写有x,x+1,x-1的三张卡片，若从 中任选一-个作为分式的分千，使得 2)将假分式化成整式和真分式的和 的形式. 分式为最简分式，则应选择写有 的 卡片. 6若=0，则2四 1 x2-2x+1 7.已知分式21 32-122其中m是这两个分 式中分母的公因式，n是这两个分式的最简 公分母，且”=8，则x= 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学第22页 分式的运算 测试时间：40分钟 测试分数：65分 一、选择题（每题3分，共21分） A 2xy B 2xy C.-2xy D.2 1.将0.000000001用科学记数法表示为( x+y x-y y-x A.1×10-8 B.1×109 7.学科内融合如图，若x为正整数，则表示 C.10×10-10 D.0.1×10-8 (x-3)2 1 的值的点落在() 2.已知a+b=2,b=-5,则g+b的 x2-6x+9x+1 b a ① ③ ④ 值为() 0.150.451.051.65 A号 C、4 24 2.25 D.- A.① B.② c.③ D.④ 5 3.下列运算正确的是( ) 二、填空题（每题3分，共9分） A.36.2a6 B.126263 8计算：(-》2-(-1)2-(m-2° 4a9b26 3ab'3a 2 C a1=2 1 2a D.11、2 3a a-1a+1a2-1 9.若x+y=1,且x≠0，则(x+2y )x+的值 4.(天津期末)若a=-0.32,b=(-3)3,c= 为 (3)2d=(°，则( 10.生活情境·沙漠治理杏花村有沙漠30km, A.a<b<c<d B.c<a<d<b 若原计划每年治理akm,则治理全部沙漠需 C.a<d<c<b D.a<b<d<c 年.为了尽快改善生态环境，杏花 5.学习情境·过程性纠错小沈对下面式子进 村加大了治理力度，若实际每年比原计划多 治理2km,则实际全部治理这些沙漠比原计 行化简整理： 划可提前 年 a1a+1 三、解答题（共35分） a+3a2-9a-3 11.(8分)计算： a(a-3)_1-(a+1)(a+3）…第一步 x2+4xx2-4 a2-9a2-9 a2-9 (1 x2+2xx2+4x+4 a(a-3)-1-(a+1)(a+3) …第二步 a2-9 -7a-4.…第三步 a2-9 对于小沈的化简过程，你认为( A.第一步错误 B.第二步错误 (2)3 2 C.第三步错误 D.没有错误 x2-11+x 6.如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等 于两个代数式下方箭头共同指向的代数式， 则代数式M是( x-Y 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学第23页 2.(8分)（新乡月考）化简求值：(》x-2》 14.学习情境·墨水覆盖(10分)小艺在作业 本上看到一个化简题，但不小心把墨水洒 ÷t-6x+9t x-2+x一3，再从-1<x<4的范围内选 了，遮住了原式子的一部分(·+ 取一个你喜欢的值代入求值 21÷ .a+1 a2-2a+1a-1 (1)小艺假定被墨水遮住的式子是1 ,请 代入原式，先化简，然后再选取一个你喜 欢的a值代入求值； (2)若这道题的答案是2a 7则被墨水遮 住的式子是多少？ 13.（9分)小明和小强一起做分式的游戏，如 图所示他们面前各有三张牌（互相可以看 到对方的牌)，两人各自任选两张牌分别 做分子和分母，组成一个分式，然后两人均 取一个相同的x值，再计算分式的值，值大 者为胜.为使分式有意义，他们约定x是大 于3的正整数 小明的牌： 小强的牌： x+1[x+2[x+3 x-1]x-2x-3 (1)小明组成的分式中值最大的分式是 ,小强组成的分式中值最大的分 式是 (2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然 我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜 者.”小强说的有道理吗？请你通过计算 说明理由， 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学第24页 分式方程 测试时间：40分钟 测试分数：75分 一、选择题（每题3分，共21分） 作的时间是( 1.下列方程是分式方程的是( A.17小时 B.14小时 A.13 =1 B.+2x=3 C.12小时 D.10小时 54 1 D.+2x+3 7.（重庆一模)若关于x的方程a 2 1的解 C.- x3 〔 2.若x=3是分式方程-21 tt-20的解，则a 2(x-a)>0 为负数，且关于x的不等式组 无 2x-1 的值是() x-1≥ 3 A.5 B.-5 C.3 D.-3 解，则所有满足条件的整数a的值之积 3.字画情境·《千里江山图》（信阳期末）《千里 是( 江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的 A.0 B.1 C.2 D.3 局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为 二、填空题（每题3分，共18分） 1.4米的长方形，装裱后，整幅图画宽与长 的比是8：13，且四周边衬的宽度相等.则边 8若与4互为相反数，则*的值 衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x 为 米，根据题意可列方程( 9.关于x的分式方程-11=飞 x2-1x-1x+11 无解，则 h= 10.生产情境·加工零件甲、乙两人加工某种 1.4-x-8 A B.1.4+x8 零件，若单独工作，则乙比甲多用12天 2.4-x13 2.4+x13 才能完成.若两人合作，8天可以完成，设 c.14-2x8 D 1.4+2x_8 甲单独完成工作需要x天，则可得方 2.4-2x13 2.4+2x13 程 4.(安徽模拟)若关于x的方程，24=，”2有 11.中考新趋势·新定义（新乡期末）对于实数 解，则m应满足( a,b定义一种新运算“⑧”：a⑧b=1 A.m≠0 B.m 4 如，183=，1-日则方程*82=2 1-32-8 C.m≠0且m≠} D.m不存在 的解是 5.若关于x的分式方程2，++m=1无解，则 12.(现义期末)关于x的分式方程++2 x-33-x x+1'x+1 m的值为() 1的解为非正数，则k的取值范围 A.3 B.0 C.-1 D.-3 是 6.生活情境·打字速度甲打字员计划用若干 13.生活情境·骑车甲、乙两地相距50km,A 小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后， 骑自行车从甲地到乙地出发3小时20分 乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电 钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地.已知B 脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小 的速度是A的速度的3倍，结果两人同时 时完成任务.则甲打字员原计划完成此项工 到达乙地.则A的速度是 km/h. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学第25页 三、解答题（共36分） 16.生活情境·混动汽车(9分)（林州期末）随 14.(8分)解方程. 着人们环保意识的增强，混动汽车也成了 231 2 (2) 2+3= 广大消费者的宠儿.某品牌油电混合动力 +1x-1x2-1 汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动 力行驶，则费用为70元；若完全用电做动 力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中 每千米用油费用比用电费用多0.4元. (1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少 元？甲、乙两地的距离是多少千米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动 力行驶，且所需费用不超过50元，则至少 15.学习情境·过程性纠错(9分)请阅读下列 需要用电行驶多少千米？ 材料并回答问题： 在解分式方程2 3 三1时，小明的 +1x-1x2-1 解法如下： 解：方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2(x- 1)-3=1① 去括号，得2x-1=3+1② 解得x=2 5 5 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)≠0③ 17.（10分)甲、乙两人做某种机械零件， 所以x=。是原分式方程的解④ (1)已知甲每小时比乙多做6个，甲做90 2 个所用的时间与乙做60个所用时间相等， (1)你认为小明在哪里出现了错误 求甲、乙每小时各做零件多少个？ (只填序号)； (2)已知甲计划做零件60个，乙计划做零 (2)针对小明解分式方程出现的错误和解 件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲 分式方程中的其他重要步骤，请你提出三 比乙提前20分钟完成任务，求乙每小时做 条解分式方程时的注意事项； 零件多少个？ (3)写出上述分式方程的正确解法 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBR·数学第26页(2)原式=x2+8x+16-16+7=(x2+8x+16)-9=(x+4)2-9= (x+4+3)(x+4-3)=(x+7)(x+1); (5分) (3)原式=-(x2+12x-9)=-[(x2+12x+36)-36-9]= -[(x+6)2-45]=-(x+6)2+45, (7分) -(x+6)2≤0，.当x=-6时，-x2-12x+9有最大值45. (9分) 第十八章分式 分式 1.A2.B3.D 4.C 【方法点拔】本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约 分，掌握利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解 是解题关键 5.x 1 6.2 【解析】由题意，得1-1xl=0,x2-2x+1≠0，解得x= 1,则原式=2 【解析】3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),.m=x 2,n=3(x+2(x-2.:”=8,3(x+2)x-2）-3(x+2)= m x-2 8,解得x=号 8解：当x=4时，分式号没有意义，说明此时2x+场=0，则6 =-8; (3分) 当x=-3时，分式号的值为零，说明此时x-a=0,则a= 3. (6分) a2%得38、11 把a,b的值代入a+h, -3+1613 (9分) 9.解：(1)C (4分) (2)m+3_m2-1+4m2-14 4 m+1m+1 m+l m1m1m (10分) 分式的运算 1.B 铺2.C【解析：a+6=2,h=-5,原式=+2_a+6)2-2b ab ab _22-2×(-5)-14 -5 5 故选C 3.D4.D5.D 案6D【解析】由题意可知：M=x-y-yY x-y x-y -2y_2y故选D. x-y y-x 7.B 8.9 91【解析】原式+2中：本，=》·x+y,把一 x+y=1代入得，原式=1. 10.30 60 aa(a+2) 11.解：(1)原式=(x+4)_（x+2)(x-2）_+4-26 x(x+2)(x+2)2 x+2x+2x+25 (4分) x-3 2(x-1) -x-1 (2)原武=x+1x-D）(+1)x-可(+1(- 11 (8分) x-11-x 卫原默克诗“》. x-2 追梦之旅铺路卷·八年级 x-2.xx+3.x3 (x-3)2x-35x-3x-3-3 (4分) ,x≠2且x≠3，.取x=1, (6分) 则原式：名子（塔案不峰-） (8分) 13.解：(1)x+31 (2分) x+1x-3 (2)小强说的有道理， (3分) 理由如下： :-】*+3_x-1)(x+1)(x+3)(x-3) 6 x-3x+1(x-3)(x+1)(x+1)(x-3)(x+1)(x-3)’ (6分) 当x是大于3的正整数时，（x+1)(x-3)>0, (x+10(-3>0*-*+3 8 (9分) x-3x+1 4:1》尚宽您：白及2-品·计 a+1,a-1_1 (a-1)2‘a+1a-1 (4分) a-1≠0，a+1≠0，.a≠1，a≠-1，.当a=10时，原式= 10-19(答案不唯-) 11 (6分) 2aa+12 2a (2)由题意得：a·。a-2a+1(a+)(a-a a+1 22a-22 (a-1)2(a-1)2a-1 (8分) 2 ·被墨水遮住的式子是。 (10分) 分式方程 1.C2.A3.D 1 4.C【解析】解分式方程，得x=一 =】-2:关于x的方程一4 1 2有解，心2≠±2m≠且m0故选0 m 5.C 6.C【解析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小 时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是2，依题意得 -63(x-6-2】-1,解得x=12,经检验，x=12是所列分式 2x 方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小 时.故选C. 7.C【解析】解分式方程，得x=-2a-1.分式方程的解为负 数，-2-1<00子：当x=1时，a=-1=-1时，a 0,此时分式的分诗为00>分，且a≠0：解不等式组得 {2不等式组无解，a≤2a的取值范周为子a≤ x<a 2,且a≠0.满足条件的整数a的值为1,2.所有满足条件 的整数a的值之积是2.故选C. 4 8. 93或？或-1【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),得k-1- (x+1)=k(x-1),化简得(k+1)x=2k-2,当k=-1时，此一 元一次方程无解，即原方程无解.又，·当x=±1时原方程无 解，当=1时，=3，当=-1时，=了综上，k的位为3 或号或-1 上·ZBR·数学第21页 10.88 12=1 【方法点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准 等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 11.x=5 12.k≥1且k≠3【解析】去分母得x+k+2x=x+1,解得x= 2,由分式方程的解为非正数，得到 2 0,+-1, 解得k≥1且k≠3. 13.10【解析】设A的速度为xkm/h,则B的速度为3xkm/h. 根据题意得方程00-3了，解得=10经检验，：=10 x 3x 是原方程的解.故A的速度为10km/h. 14.解：(1)去分母，得3+(x-2)=-(x-3), (2分) 解得x=1, (3分) 经检验，x=1是原方程的解： （4分)》 (2)去分母，得2(x-1)+3(x+1)=11, (6分) 解得x=2, (7分) 经检验，x=2是原方程的解 (8分) 15.解：(1)①② (2分) (2)①去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母： ②去括号时，注意正确运用去括号法则：③解整式方程求 出x要进行检验； (4分) (3)去分母，得2(x-1)-3(x+1)=1. 去括号，得2x-2-3x-3=1. 移项、合并同类项，得-x=6 解得x=-6. (8分) 经检验，x=6是原分式方程的解 (9分) 16.解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用 油费用为(x+0.4)元，由题意，得70-30 x+0.4x (4分) 解得x=0.3,经检验，x=0.3是原方程的解， (5分) .汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距 离是30÷0.3=100（千米）； (6分) (2)0.3+0.4=0.7(元)， (7分) 设汽车用电行驶ykm,由题意，得0.3y+0.7(100-y)≤50 解得y≥50，所以至少需要用电行驶50千米. (9分) 17.解：(1)设乙每小时做x个，则甲每小时做(x+6)个，根据 题意90、60 +6￥，解得x=12, (4分) 经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意，则x+6= 18.故甲每小时做18个，乙每小时做12个； (6分)》 (2)设甲每小时做3x个零件，则乙每小时做4x个零件，根 据题意60,20100 3x604,解得x=15, (8分) 经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意，则4×15= 60(个).即乙每小时做60个零件. (10分) 期未测试前题组训练 选填题 1.B2.B3.C4.B5.A6.B7.C8.A 9.C【解析】作B关于AD的对称点E,过点E作EN⊥AB交 AB于N,交AD于点M.连接BM,,AD平分∠BAC,.E在 AC上，由条件可知AD⊥BE,且AD平分BE,∴.AE=AB=8, .·∠BAC=60°，△ABE是等边三角形，.BM+MN=EM+ MN=EN,此时BM+MN的值最小，在Rt△ENA中，∠AEN= 90°-60°=30°，BN=AW=2AB=4.故选C. 10.C【解析】EF是BC的垂直平分线，∴.BE=CE,∴. ∠EBC=∠ECB..·BD是∠ABC的平分线，∴.∠ABD= ∠CBD,∴.∠ABD=∠DBC=∠ECB..·∠BAC=60°，∠ACE =24°，.LECB=LABD=∠DBC=3×(180°-60°-24)= 追梦之旅铺路卷·八年级 32°.故选C. 11.B【解析】由作图可知，OC=OD,CP=DP,在△POC和 0C=0D △POD中，{OP=OP,.△P0C≌△POD(SSS),.∠AOP CP=DP =∠BOP,故③正确，由作图可知，PC=CD=PD,∴.△PCD 是等边三角形，.∠CPD=60°，'PC=PD,OC=OD,.OP ⊥CD,故④正确，，∠CPQ=∠DPQ=30°，∴.CP=2QC,故 ②正确，：∠ODC显然不是60°，.PC与OD显然不平行. 故选B. 12.ab(a2-9)13.27 14.3【解析】小(x+3)(x-p)=x2+3x-px-3p=x2+(3-p)x-3p =x2+mx-27,.3-p=m,3p=27,即m=-6,p=9,.m+p=3. 50°16.三角形具有稳定性17、 18.1或2【解析】原方程整理，得(2-k)x=2.当2-k=0时， 此一元一次方程无解，即k=2时，原分式方程无解.·分 式方程无解，∴x-2=0,解得x=2,把x=2代入(2-k)x=2, 得=1.∴.k的值为1或2. 19.A=3,B=5 20.1米/秒【解析】设通过AB段的速度是xm/s,则通过BC 段的速度是1.2xm/s,根据题意，得，12+，=22，解得x =1.经检验：x=1是原方程的解且符合题意，.小敏通过 AB路段时的速度为1米/秒. 21.65或25°【解析】当E在线段AB上时，DE垂直平分 AC,.EA=EC,.LA=LACE,'LAEC=80°，.∠A=2× (180-80)=50,MB=Ac,∠B=L4C8=×(1380 50)=65°；当E在BA的延长线时，DE垂直平分AC, EA=EC,.LEAC=LACE,:LAEC=80°，.∠EAC=2× (180°-80°)=50°，.AB=AC,.∠B=∠ACB,∠B+ LACB=LBAC=50°，∠B=2×50°=25°，.LB的度数 为65°或25°. 期末测试前题组训练 简单解答题组（针对16-20题） 路 1.解：(1)12mn-3n2=3n(4m-n); (4分) (2)8a2-16ab+8b2=8(a2-2ab+b2)=8(a-b)2. (8分) 手 1 2解：(1)原式=16×4一(-4)×4+1=4+1+1=6； (3分) 案 1 9 (2)原式=-了y·(-9xy)=3y; (6分) (3)原式=(a2-4ab+4b2+a2-4b2-4a2+2ab)÷2a (7分) =(-2a2-2ab)÷2a=-a-b. (9分) 3.解：(1)方程两边同乘(x+2)(x-1),得x(x+2)-(x+2)(x 1)=3, (3分) 解得x=1.检验：当x=1时，(x+2)(x-1)=0,所以原方程无 解； (5分) 1 (2)方程两边同乘(9x-3),得2(3x-1)+3x=1,解得x=3 (8分) 检验：当x=时，9r-3=0,所以原方程无解 (10分) 4.解：(1)③ (2分) x 11.3 3-￥=-(x-3).3- (2)原式=[(x+3)(x-3)x+3·3(x+3)(x-3)3 3 、.3*-1 =(x+3)(x-3)3=+3 (8分) 上·ZBR·数学第22页