第十五章 轴对称 追梦综合演练卷-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

=PE=2.SAOMN=8,"SAow+SAow-SAr=80M PG+20N,PE-2=80M+0N=10 15.1.4【解析】由题意可知，∠CE0=∠ODB=90°，OB=OC, BD=1.4m,CE=1.8m..∠B0C=90°，∴.∠C0E+∠B0D= ∠BOD+∠OBD=90°...∠COE=∠OBD,在△C0OE和 I∠CEO=∠ODB △OBD中， ∠COE=∠OBD,∴.△COE≌△OBD(AAS),∴ OC=BO CE=OD=1.8m,OE=BD=1.4m,.DE=OD-0E=1.8-1.4 =0.4(m),∴.CN=EF=0.4+1=1.4(m). 16.证明：AB=AC,∴.∠B=∠C.DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F 分别为垂足，∴.LBED=∠CFD=90°. (3分) 卷 D是BC的中点，∴BD=CD,在△BED和△CFD中， I∠BED=∠CFD ∠B=∠C 案 ,.△BED≌△CFD(AAS),.DE=DF BD=CD (9分) 17.解：(1)如图所示，射线DE即为所求作： (3分) (2)DE=2BC. （4分) 理由如下：DE平分∠ADC,.LADE=∠CDE.AD= CD,DE=DE,∴.△ADE≌△CDE(SAS),∴.AE=CE,∠AED =∠CED=90°，∴，AC=2AE,DE⊥AC.AD⊥AB,AC⊥CB ∴.∠AED=∠DAB=∠ACB=90°，∴.∠DAE+∠BAC=90° ∠BAC+∠B=90°..∠DAE=∠B, (6分) I∠AED=∠BCA 在△DEA和△ACB中， LDAE=LB,.△DEA≌△ACB AD=BA (AAS),∴.DE=AC,AE=BC.AC=2AE,∴.DE=2BC (9分) 18.解：（1)·∠BAC=∠DAE,·.∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠DAC,.∠DAB=∠EAC..·∠B=∠ACB,∴.AB=AC..· ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE, (2分) (AB=AC 在△DAB和△EAC中∠DAB=∠EAC,.△DAB≌△EAC LAD-AE (SAS),∴.∠B=∠ACE,∠ACE=∠ACB=∠B.CE∥ AB,∠B+∠BCE=180°，.∠B+∠ACB+∠ACE=180°， ∠ACB=60°： (5分) (2)由(1)得AB=AC,∠ACB=60°，.△ABC是等边三角 形，∠DAE=∠BAC=60°，.△ADE是等边三角形， ∠ADE=60°：∠BAD=32°，.∠FAD=60°-32°=28°， ∠DFC=28°+60°=88°. (9分) 19.解：AB∥CD,.∠ABP=∠CDP.PD⊥CD,.∠CDP= 90°，.∠ABP=90°，即PB⊥AB,.∴.PD=PB. (4分) I∠ABP=∠CDP 在△ABP与△CDP中， PB=PD ,.△ABP≌ ∠APB=∠CPD △CDP(ASA),.CD=AB=16米 (9分) 20.解：(1)△AEF≌△CEB成立， (2分) 理由如下：.AD⊥BC,CE⊥AB,∴.∠AEF=∠CDF=∠BEC =∠BDA=90°..·∠AFE=∠CFD,.∴.∠EAF=∠ECB,在 (∠AEF=∠CEB=90° △AEF和△CEB中， AE=CE ,∴.△AEF≌ (∠FAE=∠BCE △CEB(ASA); (5分) (2②)BD=4, (7分) 理由如下：.AD⊥BC,.∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ADC 追梦之旅铺路卷·入年级 (AC=AB 和Rt△ADB中， AD=ADRt△ADC≌Rt△ADB,.BD= cs BC.:△AEF≌△CEB,AF=BC,BD=1 CD=- 1 h (9分) 21.解：过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F..AC平分 ∠BAD,CE⊥AB,∴.CF=CE. (2分) 在Rt△ACF和Rt△ACE中，AC=AC,CF=CE,∴.Rt△ACF ≌Rt△ACE(HL),∴.AF=AE. (4分) 又：AF=AD+DF,AE=AB-BE,AE=2(AB+AD),DF= BE.在△CDF和△CBE中，DF=BE,∠CFD=∠CEB=90°， CF=CE,.△CDF≌△CBE(SAS),.∠CDF=∠CBE. (8分) .∠ADC+∠CDF=180°，∴.∠ABC+∠ADC=180°.(10分) (AB=AD 22.(1)证明：在△ABC和△ADC中，{BC=DC,.△ABC≌ AC=AC △ADC(SSS),∴，∠BAC=∠DAC,.∴AE是∠PRQ的平分 线： (4分) （2)解：实践小组的判断对， (6分) 理由如下：设AC与BD交于点M.在△ABM和△ADM中， (AB=AD ∠BAM=∠DAM,∴.△ABM≌△ADM(SAS),∴.∠AMB= AM=AM ∠AMD..'∠AMB+∠AMD=180°，∴.∠AMB=∠AMD=90°， AC⊥BD.AC是铅锤线，.BD是水平的..门框是水 平的.∴.实践小组的判断对 (10分) 23.解：(1)EF=BE+FD (2分) （2)(1)中的结论不变，即EF=BE+FD, (3分) 理由如下：延长CD至G,使DG=BE,连接AG..∠ABC+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠ADC=180°，∠ADG=∠ABC. AB=AD,∴.△ABE≌△ADC(SAS),∴.∠DAG=∠BAE,AE= AG:∠BAF=∠BMD,∠BME+∠DMAF=子∠BMD, LDAG+∠DAF=)∠BAD,,∠GMF=∠EAE.yAF=AF, ∴.△EAF≌△GAF(SAS),'.EF=FG=DG+FD=BE+FD. (6分) (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,理由如下：延长CD 至G,使DG=BE,连接AG.,·∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG +∠ADC=180°，∴.∠ADG=∠ABC.,AB=AD,∴，△ABE≌ △ADC(SAS),∴∠DAG=∠BAE,AE=AG.:∠BAE+ ∠EAD=∠BAD,∴.∠DAG+∠DAE+∠DAF=∠BAD+ ∠DAF..·∠EAF= 2 ∠BAD,LDAG+LBAD=LBAD 1 1 +∠DAF,∠DAG-∠DAF=2LBAD,LCAF=2 ∠BAD,.∠GAF=∠EAF.,AF=AF,∴.△EAF≌△GAF (SAS),..EF=FG=DG-FD=BE-FD. (10分) 第十五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查ADAC CCC D C B 1.A2.D3.A 4.C【解析】设等腰三角形的顶角为x°，则底角为(x+15)° 由题意得：x+2(x+15)=180,解得x=50,∴.此等腰三角形的 顶角为50°.故选C. 5.C6.C 7.C【解析】(2)相等的角是对顶角是错误的，故逆命题错 误；(1)(3)(4)正确.故选C. 8.D【解析】小：AB=AC,BC=5,S△ABc=15,AD⊥BC于点D, AD=6.:EF垂直平分AB,点A、B关于直线EF对称， PB+PD的最小值为6.故选D. 上·ZBR·数学第5页 9.c 10.B【解析】因为点P1的坐标为(3,0)，根据点P的运动方 式，结合反射角等于入射角可知，点P2的坐标为(7,4)，点 P,的坐标为(8,3)，点P。的坐标为(5,0)，点P、的坐标为 (1,4),点P。的坐标为(0,3)，点P7的坐标为(3,0)， 由此可见，点P每反弹6次，点的坐标循环出现，因为2026 ÷6=337…4,所以点P2026的坐标为(5,0).故选B. 11.-2 12.50°【解析】由翻折的性质可知：∠BDE=∠BDE. ∠ADB1=70°，∴.∠BDE= 2∠BDB,=2×110=55.: △ABC为等边三角形，.∠B=60°.在△BDE中，∠BED= 180°-55°-60°=65°..∠BEB,=2×65°=130°，∴.∠CEB =180°-130°=50°. 14.105 【方法点拔】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性 质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.根据作图步 骤得出EF为线段AC的垂直平分线，得出DA=DC,从而得 出∠CDB,再由CD=CB得出∠B=∠CDB,从而得出∠BCD, 即可得到∠BCA度数. 159或10【解析】当点P在0C左侧时.P0=A0-AP=10 -2,00=L,当P0=Q0时，10-2=4,4= 3当点P在 0C右侧时.P0=AP-A0=2t-10,0Q=t,.当P0=Q0 时，2-10=t心t=10.综上所述，当t=3或10s时，△P00 是等腰三角形. 16.解：(1)根据题意，得AB-BC<AC<AB+BC,即20-8<2m-2< 20+8.解得7<m<15; (4分) (2)当AB=AC=20时，△ABC的周长为20+20+8=48.当 BC=AC=8时，BC+AC=16<AB..△ABC不存在，故舍去， ∴.△ABC的周长为48. (9分) 17.解：(1)如图，△AB,C即为所求； (3分) (2)-13-42 (5分) (3)如图，点P即为所求. (9分) 18.(1)证明：：AB=AC,.∠B=∠C.在△DBE和△ECF中 BE=CF,∠B=∠C,BD=CE,.△DBE≌△ECF(SAS), DE=EF,∴△DEF是等腰三角形； (5分) (2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF,.∠1=∠3.：∠A+ 1 ∠B+∠C=180°，LA=40,∠B=∠C,∠B=2X180°- 40)=70°，.∠1+∠2=110°，∠3+∠2=110°，∠DEF =70°. (9分) 19.解：(1)如图所示，DE即为所求； (4分) 、D (2)连接AE,.AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30° DE垂直平分AB,.BE=AE,DE⊥AB,.BE=AE=2DE= 追梦之旅铺路卷·八年级 6, (7分) .∠BAE=LB=30°，∠AEC=∠B+LBAE=60°， ∠EAC=90°，∴.CE=2AE=12,.BC=BE+CE=6+12=18. (9分) 20.证明：(1).△ABC和△ADE都是等腰三角形，.AB=AC, AD=AE.,·∠BAC=∠DAE,.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. (2分) (AB=AC 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE AD=AE (SAS),∴.BD=CE: (4分) (2)连接CD,由(1)知∠BAD=∠CAE,又.∠BAC= 2∠CAE,∴.∠BAC=2∠BAD,∴.∠BAD=∠CAD,(7分) (AB=AC 在△ABD和△ACD中，{∠BAD=∠CAD,∴.△ABD≌△ACD 大 (AD=AD (SAS),∴.BD=CD,∴.点D在BC的中垂线上..AB=AC, .·点A在BC的中垂线上，∴.AD垂直平分线段BC.(9分) 案 21.证明：(1)：AC=BC,∠ACB=90°，.∠BAC=∠ABC=45°， .'∠CAD=∠CBD=15°，.∠BAD=∠ABD=30°，∴.AD= BD. (2分) 又.'AC=BC,∠CAD=∠CBD,∴.△ADC≌△BDC(SAS),∴ ∠ACD=∠BCD=45°，∴.∠ADC=∠BDC=120°.(3分) ∠ADC+∠CDE=180°，.∠CDE=60°，∠BDE=120°- 60°=60°，.∠BDE=LCDE,即DE平分∠BDC;(5分) (2)连接CM,.DC=DM,∠CDE=60°，.∴.△CDM为等边三 角形，∴.∠CMD=60°，CD=CM,∴.∠CME=120°，∴.∠CME =∠BDC..·CE=CA,∴.∠CAE=∠E..·∠CAE=∠CBD, ∠E=∠CBD,在△CME和△CDB中，∠E=∠CBD,∠CME =∠CDB,CM=CD,∴.△CME≌△CDB(AAS),∴.ME=BD. (10分) 22.(1)证明：由旋转的性质，得△APC≌△BDC,PC=DC, ∠PCD=60°，.△DPC是等边三角形： (3分) (2)解：△DPB是直角三角形，理由如下：由旋转，得∠BDC =∠APC=150°，又由(1)知△DPC是等边三角形，. ∠PDC=60°，.∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，∴.△DPB是 直角三角形； (6分) (3)解：设∠APC=x,则∠BPD=200°-x,∠BDP=x-60°，① 若PD=PB,则(200-x)+2(x-60)=180°，∴.x=100°； (7分) ②若PD=DB,则2(200°-x)+(x-60°)=180°，.x=160°； (8分) ③若PB=DB,则200°-x=x-60°，.x=130°：综上所述， ∠APC的度数是100°，160°或130°. (10分) 23.解：(1)设点M、V运动x秒后，M、V两点重合，x+10=2x, 解得x=10; (3分) (2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN,AM= t,AN=AB-BN=10-2t..:三角形AMN是等边三角形，∴.t= 10-2,解得=9点，N运动号秒后，可得到等边三 角形AMN; (6分) (3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边 的等腰三角形， (7分) 由(1)知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，假设△AMW 是等腰三角形，.AW=AM,.∠AMW=∠AWM,.∠AMC= ∠ANB.AB=BC=AC,△ACB是等边三角形，∠C= I∠AMC=∠ANB ∠B.在△ACM和△ABN中 {∠C=∠B ,∴.△ACM≌ AC=AB △ABN(AAS),.CM=BN. (8分) 设此时M、N运动的时间为y,则CM=y-10,NB=30-2y, y-10=30-2y,解得y=3 ,-40故假设成立.当点MN在BC 边上运动时，能得到以MW为底边的等腰△AMN,此时M、 V运动的时间为细秋 (10分) 上·ZBR·数学第6页铺路卷 ZBR·八年级数学E +为期中、期末铺路炒为中考、未来铺路 第十五章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 5 6 10 答案 1.下列四种垃圾分类回收标识中，是轴对称图形的是( 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上 桌 的高，AD=3cm,则AB的长度是() A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm D B 报 y 痴 第2题图 第3题图 第5题图 惑 3.如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让 它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点A,那么就能 确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是( T 业 A.等腰三角形的三线合一 B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等边对等角 4.若一个等腰三角形的底角比顶角大15°，则此等腰三角形的顶 ① 角为( ) 腳 A.45° B.40° C.50° D.55° 5.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6,BD是∠ABC的平分线， 延长BC到点E,使CE=CD,则BE的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B 是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三 弯 角形，则点C的个数是( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 第6题图 第8题图 第9题图 7.下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有() (1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离 相等； (2)对顶角相等； (3)在三角形中，相等的角所对的边也相等； (4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.学习情境·最值如图，在△ABC中，AB=AC,BC=5,S△ABc=15, AD⊥BC于点D,EF垂直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一 点P使PB+PD最小，则这个最小值为( A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在△ABC中，IB,IC分别平分∠ABC,∠ACB,过点I作DE BC,分别交AB于点D,交AC于点E,给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC; ④△ADE周长等于AB+AC.其中正确的是( A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 10.生活情境·台球小静同学观察台球比 4 赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下： 如图，已知长方形OABC,小球P从 A (0,3)出发，沿如图所示的方向运动，012345678元 每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第 次碰到长方形的边时的位置为P（3,0),当小球P第2026次 碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点P26的坐标是( A.(1,4) B.(5,0) C.(0,3) D.(3,0) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如果点P(-m,3)与点P(-5,n)关于y轴对称，则m+n 12.学习情境·翻折如图，点D,E分别在等边三角形ABC的边 AB,BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B,处.若 ∠ADB1=70°，则∠CEB1= 0 660 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，将等边三角形FBD分割成4个小等边三角形，沿着等边 三角形FBD的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边 三角形中的单项式的值都相等，那么a-b= 14.[学科内融合]如图，已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以点 A,C为圆心，以大于2AC的长为半径作弧，两弧相交于点E, F:②作直线EF交AB于点D,连接CD.若CD=CB,∠A=25°， 则∠BCA的度数为 15.数学思想·分类讨论如图，∠B0C=60°，点A是B0延长线上 一点，OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移 动，动点Q从点0出发沿OC以1c/s的速度移动，如果点P, Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t= s时， △POQ是等腰三角形 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)已知在△ABC中，AB=20,BC=8,AC=2m-2. (1)求m的取值范围； (2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长， THE ROAD TO 17.(9分)如图，在平面直角坐标系中，A(1,3),B(4,2),C(0,6). (1)作出△ABC关于y轴对称的△AB1C; (2)直接写出A,( ）,B1( (3)在x轴上画出点P,使PA+PB的值最小.（保留作图痕迹) 18.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC, AC上，且BE=CF,BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=40时，求∠DEF的度数. 19.（9分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，请 按要求作答： (1)请用尺规作AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于点 E;(保留痕迹，不写作法) (2)若DE=3,求线段CE,BC的长 THE ROAD TO B 20.(9分)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是 这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE. (1)求证：BD=CE; (2)如果∠BAC=2∠CAE.求证：AD垂直平分线段BC. 。10 21.（10分)如图，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，AC= BC,∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD的延长线上的 一点，且CE=CA. (1)求证：DE平分∠BDC; (2)若点M在DE上，且DC=DM,求证：ME=BD. 22.（10分)如图，点P是等边△ABC内一点，将△APC绕点C顺 时针旋转60°得到△BDC,连接PD. (1)求证：△DPC是等边三角形； (2)当∠APC=150时，试判断△DPB的形状，并说明理由； (3)当∠APB=100°且△DPB是等腰三角形时，求∠APC的 度数. 23.学习情境·动点探究(10分)如图所示，已知在△ABC中，AB= AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形 的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘 米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动. (1)M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？ (2)M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN? 易错 分析 (3)M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰 △AMN?如果存在，请求出此时M、N运动的时间， M -N B 些 做题 心得