第二章 一元二次函数、方程和不等式常见题型归纳专项练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 基本不等式“一正二定三相等”辨析 1． 如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2． 下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 3． “”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4． 下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C．， D． 5． （多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 直接法求最值 1． 若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 2． 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3． 已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 4． 若，则的最大值为 ． 5． 已知，若，则的最小值是 ， 拼凑法求最值（常考点） 1． 已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 2． 已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3． 已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 5． 已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 常数代换法求最值（重点） 1． 已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 2． 已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3． 已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4． 已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 5． 已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二次（一次）的商式求最值 1． 已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． （多选题）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 3． 若，则的最小值是 . 4． （1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 消元法求最值 1．已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 2． 已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 4． （多选题）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 5． 已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 6． 已知，为非负实数，且，则的最小值为 . 换元法求最值 1． 设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2． 若正实数x，y满足，则的最小值是 . 3． 已知，满足，则的最小值为 4．已知实数，满足，，，则的最小值是 . 双换元法求最值 1． 若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2． （多选题）已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 3． 若正实数，满足，则的最小值是 . 4．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 利用基本不等式证明（难点） 1． 已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 2． 已知，求证 (1)； (2). 3． 设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 4．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 5． （1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 6． （1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 实际问题中的基本不等式 1． 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 2． 某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏. 3． 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 4． 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 5． 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 6．（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为． (1)当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； (2)若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 基本不等式与恒（能）成立问题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．芦岛·月考）（多选题）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4． 当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 5． 不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 6． 已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 . 7． 已知，恒成立，则的取值范围是 . 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 解不含参数的一元二次不等式 1． 解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 解含参数的一元二次不等式（重点） 1．解关于的不等式：（其中）． 2．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 3． （1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 分式不等式（含高次不等式） 1．解下列不等式： (1)； (2)． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 3．求不等式的解集． 4． （1）解不等式； （2）； （3）. 一元二次不等式求参数问题（常考点） 1．若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 2． 已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ） A．16 B．25 C．9 D．8 2． （多选题）已知关于x的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为或 4． （多选题）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 5． （多选题）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（多选题）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（    ） A． B． C． D． 7． 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 一元二次不等式恒成立问题（难点） 1． 当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2． 对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3． “，”的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 4． 恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5． 已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 6． 已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 一元二次不等式有解问题 1． 命题是真命题，则实数的取值范围是 ． 2． 若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 3． 已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ． 4． 若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 ． 5． 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 6． 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 一元二次不等式与实际问题 1． 某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 2． 某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 3． 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 4．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 绝对值不等式 1． 不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 2． 设集合，则（    ） A． B． C． D． 3． “”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4． 不等式的解集是 . 5． 不等式的解集是 ． 6． 解不等式： 答案 基本不等式“一正二定三相等”辨析 1． B 由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 2． B 对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 3． B 由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4． D 对于A，，当时，，不符合要求，故A错误； 对于B：，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是，故B错误； 对于C：因为，所以， ， 当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误； 对于D：，易知，， 则， 当即或时，有最小值，即有最小值，故D对. 故选：D 5． BC 解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误； 故选：BC. 直接法求最值 1． D 由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 2． B 因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 3． D 且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 4． 16 法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 5． 2 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 拼凑法求最值 1． C 由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 2． A 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 3． C 因为，，得到，即， 当且仅当且，即时取等号，所以， 故选：C. 4． D 因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 5． B 解：因为 ， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是， 故选：B 6． A 由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 常数代换法求最值 1.B 因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：B 2.B 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2． 故选：B 3.B ∵正实数满足， ∴， 则 . 当且仅当，且，即时取等号， 故选：B． 4.A 因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 5.C 解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的取值范围为， 故选：C 二次（一次）的商式求最值 1． C ， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 2． BD 对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 3． / 因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： （1）1；（2）. （1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 消元法求最值 1． C 由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 2． A 由题意可知，，故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最小值3. 故选：A. 3． C 解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 4． BCD 因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 5． 1 因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 6． 2 ，为非负实数，且，结合目标式，有，， ，解得，，解得， ， ， 当且仅当即时等号成立， 故. 故答案为：2. 换元法求最值 1． B 设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 2． 16 ，， ，即， 令，上式转化为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当，即时等号成立. 所以得最小值为16. 故答案为：16. 3． 2 由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 4． 由，可得，当且仅当时取等号， 即， 设，则得，解得或， 因，故得，即， 由解得， 即当，时，取得最小值为. 故答案为：. 双换元法求最值 1． D 因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2． AB 令， 由题意，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 由，解得，此时，故A正确； 由，故CD错误； B项，由方程组，又， 解得，故B正确. 故选：AB. 3． 4 设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 4． 解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 利用基本不等式证明（难点） 1． (1)证明见解析 (2)2 （1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 2． (1)证明见解析 (2)证明见解析 （1）解：因为， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. （2）解：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 3． (1)证明见解析 (2) （1）由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以； （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 4． (1)9 (2)证明见解析 （1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 5． （1）证明见解析；（2）证明见解析 证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 6． （1）证明见解析；（2）证明见解析 证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 实际问题中的基本不等式 1． 40 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则，当且仅当时，等号成立， 即当每批生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元． 故答案为：40 2． 由题意，，且周长是， 根据基本不等式，，当取等号， 即至少需要米棚栏. 故答案为： 3． 设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为： 4．（ 元 设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 5． (1)，当时，取得最小值 (2)或 （1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 6． (1) (2)3小时，， （1） 由题意知，小岛距离上岸点的距离， 小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇的距离， 上岸点到城镇所需的时间， 故甲从小岛到城镇所需的时间为． （2）小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇所需的时间， 记甲从小岛到城镇所需的时间，其中， 所以， 整理得，， 当且仅当，此时，，． 答：当，时，小岛到城镇所需时间最短，为3小时． 基本不等式与恒（能）成立问题 1． C 不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 2． B 因为，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取等号， 因为存在，使得不等式能成立， 所以. 所以的最小值等于. 故选：B. 3． CD 解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 4．5 由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 5． 因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 6． 因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 7． 由题意，恒成立，故只需， 当时，， 等号成立当且仅当， 从而当时，的最小值为， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 8． 设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 解不含参数的一元二次不等式 1． 】(1) (2) (3)无解． （1）原不等式可化为，所以不等式的解为； （2）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （3）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． 2． (1) (2)或． (3)一切实数． (4)． （1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 解含参数的一元二次不等式（重点） 1． 答案见解析 因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 2． (1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 （1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 3． （1）答案见解析；（2）答案见解析 （1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 分式不等式（含高次不等式） 1． (1) (2) （1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 2． (1) (2) (3) （1）原不等式，解得， 所以原不等式的解集为． （2）原不等式 ， 解得， 所以原不等式的解集为． （3）由， 则原不等式， 解得或， 所以原不等式的解集为． 3． 或 解法一：原不等式同解于下列两个不等式组： ①或者② 解①得；解②得． 综上所述，原不等式的解集是或． 解法二：原不等式可化为． 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图1所示（数轴标根法）．        由此得到原不等式的解集是或． 4． （1）；（2） ；（3） （1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 一元二次不等式求参数问题（常考点） 1． B 由题设，可得，故. 故选：B 2． A 因为y的取值范围是，则，且，解得， 因为不等式的解集为， 则令，即，两根， 则， 即，且判别式， 解得， 故选：A. 3． AC 因为关于x的不等式的解集为，所以，故A正确. 由题意得，和3是方程的两个实数根， 所以，即. 因为，，所以，故B错误. ，故C正确. 由得，即，解得，故D错误. 故选：AC. 4． BCD 一元二次不等式的解集为或， 则是方程的两根，且， 则，得； 则错误； ，B正确； ，C正确； ，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确. 故选：BCD 5． AD 关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 6．（ BD 由，得 当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需； 综上所述：实数的取值范围是. 对选项逐一检验，只有，符合. 故选：BD 6． 若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 一元二次不等式恒成立问题（难点） 1． C 当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 2． C 由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 3． B 若函数在上恒成立， 则只需， 解得，即的取值范围是， 故“，”的一个充分条件可以是“”. 故选：B 4． D 由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5． (1) (2) （1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 6． (1) (2) （1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 7． (1) (2) （1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 一元二次不等式有解问题 1． 由题意知，解得 故答案为：． 2． 解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 4． 由题意可得命题“，使得”为真命题， 即在上有解， 令，，则， 在为减函数，所以， 所以，即实数a的范围为. 故答案为：. 5． ∵， ∴原不等式可化为， ∴由题意得，不等式有解， 令，则， ， 故要使有解，则， 的取值范围为. 故答案为：. 6． 因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 7． 要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 一元二次不等式与实际问题 1． 由题，商品的年销量为件，又每件售价80元， 则，即， 所以，所以，解得. 2． 或 设的长为x（）m，则的长为m. 易知，所以， 所以矩形的面积. 由矩形的面积大于，得. 又，所以，解得或， 即DN的长的取值范围是. 3． (1) (2)元 （1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 4． (1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. （1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 绝对值不等式 1． B 因为恒成立，所以恒成立， 则的解集为. 故选：B. 2． D 因为，， 所以. 故选：D. 3． B 由，则或，解得或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4． 由可得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 5． 不等式，即， 化简得，解得或. 故答案为：. 6． 由题意可得当时，原不等式可化为，解得：，所以可得时不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得：； 综上所述：所以原不等式的解为：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $