常用逻辑用语典型题型归纳专项练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

常用逻辑用语 一、充分必要条件的判断 1． 已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2． “月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4． 设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5． 满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 二、充分必要条件的探求 1． 下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 2． 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3． 使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 三、充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1． 已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4． 已知小明手中有两张卡牌，每张卡牌的编号均为中的一个数字，设甲：小明手中的两张卡牌的编号之和为；乙：小明手中的两张卡牌的编号均不超过2且编号之和为奇数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 5． “”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，求证：的充要条件是. 7． 设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 四、充分必要条件中的参数问题 1． 方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 2． 命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3． （多选题）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（   ） A．2 B． C． D．0 4． 关于的方程的解为的充要条件是 ． 5． 已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 6． 命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 7． 已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 8． 已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 五、全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．（24-25高一上·重庆·期中）命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2． 已知命题，，则命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 3． 若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 4． 已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5． 下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 六、全称（存在）量词命题中的参数问题 1． （1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 2． 在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 3． 已知，，；，使得. (1)若是真命题，求的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围. 4． 已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 七、常用逻辑用语与集合问题的综合考查（常考点） 1． 设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2． 若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 3． 已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） 4.A． B． C． D．以上都不对 （多选题）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5.已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 6.已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 一、充分必要条件的判断（重点） 1． A 易知，根据定义即可判断得出结论. 易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2． B 根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论. 充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立； 必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立， 故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件． 故选：B. 3． B 证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 4． B 根据充分必要条件的定义，即可判断选项. ，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5． B 利用充分必要条件的判断方法，结合电路图的知识即可得解. 对于A，闭合开关或者闭合开关都可以使灯泡R亮，即充分性成立， 反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关，即必要性不成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充分而不必要条件，不符合题意，故A错误； 对于B，闭合开关而不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立， 反之，若要使灯泡R亮，则开关必须闭合，即必要性成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件，符合题意，故B正确； 对于C，闭合开关可使灯泡R亮，即充分性成立， 反之，若要使灯泡R亮，开关一定是闭合的，即必要性成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充要条件，不符合题意，故C错误； 对于D，闭合开关但不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立， 反之，灯泡R亮也可不闭合开关，只要闭合开关即可，即必要性不成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件，不符合题意，故D错误. 故选：B. 二、充分必要条件的探求 1． C 利用充分不必要条件的定义即可判断. 因为是的真子集，即由能推出， 而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”． 故选：C． 2． D 先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解. 对于A，由题可知成立的充要条件是， 当时，能得出，而成立，不能得出， 故是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，是的充分必要条件，故B错误； 对于C，当时，不能得出，而时，不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，当时，不能得出，而时，能推出， 故是的必要不充分条件，故D正确； 故选：D. 3． C 根据充分不必要条件的判定可得 各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 三、充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1． C 利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 2． D 通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3． C 根据充分条件和必要条件来判断. 当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 4． C 根据题意分析两张卡牌的编号的可能性情况，结合充分、必要条件分析判断. 由小明手中的两张卡牌的编号之和为3，可知小明手中的两张卡牌的编号分别为； 若小明手中的两张卡牌的编号均不超过2，则此时其手中的卡牌的编号有1，1和1，2及2，2三种可能， 但其编号之和为奇数，所以只能为1，2， 两者等价，故甲是乙的充要条件. 故选：C. 5． D 根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6． 证明见解析 先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. ①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 7． 证明见解析 设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性. 证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 四、充分必要条件中的参数问题（难点） 1． A 根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 由题知，，解得. 故选：A 2． D 根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 3． BCD 依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得. 由可解得：或， 依题意，是的真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得. 故选：BCD. 4． 根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 5． 由题意可得，求解即可. 因为是的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 6． 根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 7． (1) (2)． （1）分和进行讨论； （2）根据条件得到是A的真子集，求出，分和进行讨论，看是否满足是A的真子集，然后再根据子集的概念列出所有情况即可． （1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是A的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为． 8． (1) (2) (3). (4). （1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. （1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 五、全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1． C 由全称命题的否定为特称命题即可求解. “，”的否定是，， 故选：C 2． A 由特称命题的否定定义可得答案. 由题可得，，的否定是，. 故选：A 3． C 由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 4． C 举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 5． D 根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可. 原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. 六、全称（存在）量词命题中的参数问题 1． （1）且；（2） （1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. （1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 2． 选条件①，;选条件②, 由都是真命题，先分别求的范围，最后求交集即可. 由命题p为真，可得不等式对于恒成立. 因为，所以，所以. 选条件①. 若命题q为真，则关于的方程有解， 所以，解得. 又都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 选条件②. 对于命题q， 当，即时，，命题q为真命题； 当时，由得或，所以或. 综上，或. 又p，q都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 3． (1)1 (2)或. （1）由，利用全称命题为真命题即可求得； （2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应a的取值范围即可求解. （1）要使，为真命题，只需，即的最大值为1. （2）若使，使得为真命题，则，解得. ①真假时，只需所以； ②假真时，只需所以， 所以或. 综上，的取值范围为或. 4． (1) (2)或 （1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. （1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 七、常用逻辑用语与集合问题的综合考查 1． C 由否定的定义即可得解. 由否定的定义可知：若命题，，则，. 故选：C. 2． C 根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． “”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 3． C 通过集合间的子集关系，借助数轴分析可得命题中，再由简易逻辑知识得到命题的等价性. 当命题为真时，由，得， 当命题为真时，，因此. 故选：C 4． AC 先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 5． (1) (2) （1）由题意可得，再利用补集与交集定义计算即可得； （2）由题意可得集合是集合的真子集，再分及讨论并计算即可得. （1）当时，，且， 故； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意； 当，即，即时， 只需或，即或， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 6． (1) (2)或. （1）利用判别式大于等于0可求解； （2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可. （1）因为命题“，方程有实根”是真命题， 所以方程有实根，则有，解得， 所以实数m的取值集合. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当即时，不等式组无解，所以，满足题意； 当即时，不等式组的解集为， 由题意是的真子集，所以，所以. 综上，满足题意的a的取值范围是或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $