2.3二次函数与一元二次方程不等式典型题型归纳专项练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程不等式 一：解不含参数的一元二次不等式 1.不等式的解集为 A． B． C． D．{或} 2.不等式的解集是                           A． B． C． D． 3.已知集合，，，0，1，2，，则（    ） A． B．，1， C．，0， D．，，0，1， 4.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C． D．或 二： 解含有参数的一元二次不等式 1.若，则关于的不等式的解集是. A．或 B．或 C． D． 2.若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 3.集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.已知，则不等式等价于（    ） A．或 B．或 C．或 D． 三： 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．7 2.在中，斜边，而直角边，之长是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．4 B． C．4或 D． 或1 3.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A．4 B．-10 C．2 D．-10或2 4.（多选题）下列一元二次方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 提升练 一：一元二次不等式的实际应用 1.用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 3.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为减少农民负担，制定积极收购政策，根据市场规律，税率降低个百分点（），收购量增加个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，则的取值范围为 . 4.某公司的笔记本电脑的生产成本（万元）与产量（台）之间的关系为，每台电脑的售价为5000元，则最少售出多少台笔记本电脑才能使公司盈利（    ） A．141 B．151 C．161 D．171 二：解不含参数的一元二次不等式 1.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 2.使式子有意义的实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 3.已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.集合，，则（    ） A． B． C． D． 三 一元二次方程根的分布问题 1.若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ） A．15 B．17 C． D．18 3.已知方程在区间中有且只有一解，则实数k的取值范围是 . 4.关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 四：解含有参数的一元二次不等式 1.关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3.关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 4.集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 拓展练 1.（2007·重庆·高考真题）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 3.“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 归纳练 一：解不含参数的一元二次不等式 1. D 一元二次不等式的概念及辨析 将不等式因式分解,即可根据穿根法求得不等式的解集. 不等式 即 由函数零点及穿根法可知不等式的解集为或 即不等式的解集为{或} 2. C 解不含参数的一元二次不等式 直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 不等式对应的方程为， 即， 解得方程的根为或， 不等式的解集为， 即不等式的解集为，故选C. 3. D 解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 求解一元二次不等式解得集合，再求交集即可求得结果. 集合， ，，0，1，2，， ，，0，1，． 4. A 解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集． 解：因为不等式的解集为， 的两根为，2，且，即，，解得，， 则不等式可化为，解得，则不等式的解集为． 故选：A. 二： 解含有参数的一元二次不等式 1. B 解含有参数的一元二次不等式 将原不等式因式分解，根据的取值范围求得原不等式的解集. 依题意，由于，故，所以原不等式的解集为或.故选B. 2. A 解含有参数的一元二次不等式 根据条件得，再由一元二次不等式解法即可得出结果. 因为，所以，即， 由，得到， 故选：A. 3. A 根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. ， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 4. C 解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 由分式不等式去分母，转化为二次不等式直接求解得出答案. 因为， 所以， 由可得或， 由可得或， 求交集可得，或 三： 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1. C 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 根据韦达定理即可求解. 由于，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，故， 故选：C 2. A 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 设，，根据根与系数的关系结合勾股定理可求得m的值，验证判别式，可得答案. 由题意中，斜边，直角边，之长是一元二次方程的两根， 故需满足， 设，，根据题意得，， 由勾股定理可知， ∴， ∴，即，解之得,, ∵ ，即，∴, 满足， 故答案为：A. 3. C 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得． 方程有实根，则，解得 或， 设方程的两根为，则， ， ∴，解得 （舍去）． 4. ABD 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 将方程化为一般形式，然后根据根的判别式判断根的情况即可. 对A，方程可化为，则，所以方程有两个不相等得实数根，故A正确； 对B，因为，所以方程有两个相等的实数根，故B正确； 对C，方程可化为，则，所以方程没有实数根； 对D，方程可化为，则，所以方程有两个不相等实数根. 故选：ABD. 提升练 一：一元二次不等式的实际应用 1. D 一元二次不等式的实际应用 由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 2. B 解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用 设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 3. 一元二次不等式的实际应用 求出原计划税收和税率降低个百分点后的税收，根据题意列不等式可解得结果. 原计划税收为：， 税率降低个百分点后的税收为， 依题意可得， 整理得，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 4. B 一元二次不等式的实际应用 由题意用销售总额减去列不等式求出即可； 由题意，每台电脑的售价为0.5万元， 则， 解得， 故最少售出151台才能盈利. 故选：B. 二：解不含参数的一元二次不等式 1. A 解不含参数的一元二次不等式 由题意可知-1、2是关于x的二次方程的两根，利用韦达定理可求得a、b的值，进而可求得不等式的解集． 由题意可知：-1、2是关于x的二次方程的两根，由韦达定理可得，解得， 不等式即为，解得或． 因此，不等式的解集为或． 故选：A． 2. D 解不含参数的一元二次不等式 由根式、分式的性质，列不等式组求x范围即可. 由题设,，解得且. 故选：D 3. B 根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 解一元二次不等式，写出命题p，q所对集合，再由集合的包含关系即可列式求解. 解不等式得：或， 记命题p所对集合，命题q所对集合， 由p是q的充分不必要条件得：AB，于是得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 4. C 解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算 求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U＝R，求出A的补集即可． 依题意，，故， 三 一元二次方程根的分布问题 1. D 一元二次方程根的分布问题 作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可. 令，作出函数大致的图象如图所示， .由图象知，当时；，解得； 当时，，解得. 综上可得，，故选D. 2. C 一元二次方程根的分布问题 本题实际考查二次方程的两根的关系，可利用韦达定理转化为含参数的方程来解决问题． 设的方程有两个实数根为，， ，， 这两根的平方和比两根的积大21， ， 即：， ， 解得：或， △， 解得：．故舍去， ． 3. 或 一元二次方程根的分布问题 设，建立不等式组或，可得答案. 设，因为方程在内恰有一解， 则需或，解得或. 故答案为：或. 4. D 零点存在性定理的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用二次函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用 根据方程有两正根，由二次方程根的分布问题，求出的取值范围，引出对应的二次函数， 对于A选项，根据零点存在定理，判断A正确； 对于B选项，由零点存在定理，判断B正确； 对于C选项，根据韦达定理，消元得到关于的分式函数，分离常数，结合的取值范围及分式函数性质，求出其范围，判断C正确； 对于D选项，根据韦达定理，消元得到关于的二次函数，结合的取值范围，求出其值域，判断D错误. 由有两不相等实数根， 得，解得, 令， 对于A选项，由，，所以，故A正确； 对于B选项，由，，所以，故B正确； 对于C选项，因为，所以的取值范围是，故C正确； 对于D选项，由 所以取值范围是，故D错误. 故选：D. 四：解含有参数的一元二次不等式 1. C 首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 不等式化为， 时，不等式无解， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 2. B 解含有参数的一元二次不等式 对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 3. C 解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解. 由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：C. 4. A 根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. ， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 拓展练 1. A 充要条件的证明、解不含参数的一元二次不等式 利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 2. D 由不等式的解集是，利用根与系数的关系求得，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 由题意，不等式的解集是， 可得，且方程的两个根分别为，， 则，，解得，， 所以，即为，可得， 所以不等式的解集为. 3. A 充分条件、必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 4. A 由一元二次不等式的解确定参数 因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $