2.2.7基本不等式的实际应用及不等式链难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.7基本不等式的实际应用及不等式链 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 有关函数最值的实际问题的解题技巧 （1）根据实际问题建立函数的关系式,再利用基本不等式求得函数的最值. （2）设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. （3）在解应用题时,一定要注意变量的实际意义及取值范围. （4）在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. 基本不等式链的定义及说明 若,,则,当且仅当时,等号成立.这是一个基本不等式链,其中,,,分别叫作正数,的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数. ［说明］ 此不等式链含6个不等式：;;; ;;. 微专题训练 一、单选题 1．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 2．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 3．某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小，表示出设备总费用，结合基本不等式即可求解． 【详解】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为， 故选：C． 4．设矩形ABCD（）的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P.则的面积取最大值时，AB的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合即可求得，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如下图所示，      设，则，又，得到，即， 易知，得，，所以， 又，得到， 所以的面积：， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积的最大值为，且取得面积最大值时. 故选：D 5．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 6．在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】A 【分析】求出，利用基本不等式可得答案. 【详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 8．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出行车的总费用为，其中，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结果. 【详解】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是. 故选：C. 二、多选题 9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B．用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于 D．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠 【答案】ABD 【分析】由圆与正方形的面积公式即可判断A，由基本不等式即可判断BC，由作差法比较大小即可判断D 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为，因为，，可得，即， 故A正确； 对于选项B：设左右臂长，，则，所以， 顾客购得的黄金，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg， 第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品， 第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为． 比较两次购的平均价格： ， 当且仅当时，等号成立，所以两次价格不同时， 第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济，故D正确. 故选：ABD． 10．长方体的长、宽、高分别为．长方体的表面积为16．则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题可得，后由基本不等式可判断选项正误. 【详解】由题长方体的表面积为，则. 因为，得，当且仅当时取等号， 即，所以，得到，所以，故A错误，B正确； 又由，得到，当且仅当时取等号，即， 整理得到，解得，所以C正确，D错误. 故选:BC． 11.若正实数,满足，则（ ）. A. 有最大值，最大值为 B. 有最小值，最小值为3 C. 有最小值，最小值为 D. 有最大值，最大值为 【答案】ACD 【分析】本题是考察基本不等式链. 【详解】对于，因为，当且仅当 时，等号成立，所以 正确； 对于，由，可知，则由基本不等式得，即，当且仅当，即 时，等号成立，所以 错误； 对于，因为，所以，当且仅当 时，等号成立，所以 正确； 对于，因为，所以，当且仅当 时，等号成立，所以 正确. 故选. 三、填空题 12．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 13．勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，得到，利用基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为. 故答案为：. 14．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4 【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 故答案为：4. 4、 解答题 15.某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案. 方案甲：第一次提价，第二次提价. 方案乙：第一次提价，第二次提价. 方案丙：第一次提价，第二次提价. 其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？ 【解析】不妨设提价前的价格为1. 方案甲：两次提价后的价格为. 方案乙：两次提价后的价格为. 方案丙：. 因为，所以由均值不等式得，当且仅当 时,等号成立,所以. 因为，所以. 故方案丙提价最多，方案甲、乙提价少，且提价一样. 16.如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园,公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成,已知休闲区的面积为,人行道的宽分别为和,设休闲区的长为. （1）求矩形所占面积（单位:）关于的函数解析式; （2）若要使公园所占面积最小,则休闲区的长和宽应分别为多少? 【解析】（1）因为休闲区的长为,休闲区 的面积为,所以休闲区的宽为,从而矩形 的长与宽分别为,,因此矩形 所占面积. （2）,当且仅当,即 时取等号,则休闲区的宽为.因此要使公园所占面积最小,休闲区 的长和宽应分别为,. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.7基本不等式的实际应用及不等式链 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 有关函数最值的实际问题的解题技巧 （1）根据实际问题建立函数的关系式,再利用基本不等式求得函数的最值. （2）设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. （3）在解应用题时,一定要注意变量的实际意义及取值范围. （4）在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. 基本不等式链的定义及说明 若,,则,当且仅当时,等号成立.这是一个基本不等式链,其中,,,分别叫作正数,的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数. ［说明］ 此不等式链含6个不等式：;;; ;;. 微专题训练 一、单选题 1．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 2．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 3．某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 4．设矩形ABCD（）的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P.则的面积取最大值时，AB的长度为（   ） A． B． C． D． 5．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 6．在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 8．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B．用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于 D．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠 10．长方体的长、宽、高分别为．长方体的表面积为16．则（    ） A． B． C． D． 11.若正实数,满足，则（ ）. A. 有最大值，最大值为 B. 有最小值，最小值为3 C. 有最小值，最小值为 D. 有最大值，最大值为 三、填空题 12．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 13．勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 14．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 4、 解答题 15.某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案. 方案甲：第一次提价，第二次提价. 方案乙：第一次提价，第二次提价. 方案丙：第一次提价，第二次提价. 其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？ 16.如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园,公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成,已知休闲区的面积为,人行道的宽分别为和,设休闲区的长为. （1）求矩形所占面积（单位:）关于的函数解析式; （2）若要使公园所占面积最小,则休闲区的长和宽应分别为多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $