6.2指数函数学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学学案聚焦指数函数的核心概念与性质，从麦粒问题、细胞分裂等真实情境切入，通过四个典型思考题构建知识支架，自然引出指数函数定义，再由图象探究其单调性、定点特征及底数变化规律，层层递进，实现从生活现象到数学模型的抽象转化。 资料亮点突出，充分落实数学核心素养。以“数学眼光”引导学生发现现实中的指数关系，用“数学思维”剖析函数结构与图像特征，借助“数学语言”精准表达比较大小与不等式求解过程。习题设计紧扣高考命题趋势，注重分类讨论、数形结合与函数思想的渗透，尤其在复合函数单调性判断和实际应用中体现学科特色，有效提升学生分析问题与解决问题的能力。

6．2　指 数 函 数 6.2.1　指数函数(1) 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性． 2. 理解指数函数的含义. 3. 能借助计算器或计算机画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质. 4. 能运用指数函数的单调性比较两个指数式值的大小． 活动一 指数函数的概念 印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明者．这位聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内赏给我两粒，在第三个小格内赏给我四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍，直到摆满棋盘上的64格．”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的．”于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了. 还没到第二十小格，袋子就已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出全印度的粮食，国王也兑现不了他对国际象棋发明者许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？ 思考1►►► 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么？ 思考2►►► 从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的产物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半. 若14C的原始含量为1，经过x年后的残留量为y，则 y与x的函数关系是什么？ 思考3►►► 庄子曰：一尺之捶，日取其半，万世不竭(“捶”同“棰”). 设经过的天数为x(天)，木棰剩余的长度为y(尺)，则y与x的函数关系是什么？ 思考4►►► 函数y＝2x，y＝0.999 879x, y＝具有什么共同特征？ 一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域为R. 思考5►►► 指数函数定义中为什么规定了a>0，a≠1? 思考6►►► 函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？ 例1　在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ (1) y＝2x+2；　　　　　(2) y＝(－2)x； (3) y＝－2x; (4) y＝πx； (5) y＝x2； (6) y＝(a－1)x(a>1，a≠2). 根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数. (1) 已知指数函数的图象经过点P(－1，3)，则f(3)＝________； (2) 已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝________． 活动二 指数函数的图象与性质 分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象(如图1)及y＝3x与y＝的图象(如图2)，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质. 图1 图2 思考7►►► 图象分布在哪几个象限？这说明了什么？ 思考8►►► 猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ 思考9►►► 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 思考10►►► 函数y＝2x与y＝的图象及函数y＝3x与y＝的图象有什么关系？ 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质： a>1 0<a<1 图象 性质 (1) 定义域：R (2) 值域：(0，＋∞) (3) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 (4) 增函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 减函数； 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 例2　已知指数函数y＝f(x)的图象过点. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 求f的值． 求指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 当a>0，a≠1时，函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点________． 活动三　指数函数的图象与性质的应用　 例3　比较下列各组数中两个值的大小： (1) 1.52.5，1.53.2； (2) 0.5-1.2，0.5-1.5； (3) 1.50.3，0.81.2. 比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如例3的(1)、(2).当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出这两个数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其他数值． 比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7； (2) 0.75-0.1，0.750.1； (3) 1.012.7，1.013.5； (4) 0.993.3，0.994.5. 例4　(1) 已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2) 已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的又一常用方法． 不等式2 x2－x＜4的解集为________． 1. (2025衢州期末)“x>0”是“ex>1”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. (2025保亭中学期末)设 a＝20.3，b＝21.5，c＝0.52 ，则 a，b，c 的大小关系是(　　) A. a<b<c B. c<a<b C. b<a<c D. b<c<a 3. (多选)(2024淮安涟水一中月考)已知实数a，b满足等式＝，则下列关系式中可能成立的是(　　) A. 0<b<a B. b<a<0 C. a＝b D. a<b<0 4. (2025上海徐汇期末)若函数y＝的值域为(－∞，3]，则实数a的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝ax(0<a<1). (1) 若f(x0)＝2，求f(3x0)的值； (2) 若f(x2－3x＋1)≤f(x2＋2x－5)，求实数x的取值范围． 6．2.2　指数函数(2) 1. 掌握指数函数底数的大小与图象的关系．了解简单函数图象的平移变换和对称变换，根据函数图象平移变换的规律，会进行函数图象的变换. 2. 会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性． 活动一 指数函数底数的大小与图象的关系 问题　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数越大时，函数图象间有怎样的关系？ 思考1►►► 观察同一平面直角坐标系中函数：①y＝；②y＝；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？ 思考2►►► 当a>b>0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0，何时ax0>bx0？何时ax0<bx0？何时ax0＝bx0? 当x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小. 因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小． 例1　如图是指数函数：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是______________．(用“<”连接) 已知0<m<n<1，则指数函数：①y＝mx；②y＝nx的图象为(　　) A B C D 利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质．这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”． 活动二　指数函数图象的变换　 例2　说明下列函数的图象与指数函数 y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图： (1) y＝2x-2；　　　　(2) y＝2x+2. 当h>0时，函数y＝ax的图象向左平移 h个单位长度，就得到函数y＝ax＋h的图象；当 h<0 时，函数y＝ax的图象向右平移|h|个单位长度，就得到函数y＝ax＋h的图象． 函数y＝的大致图象是(　　) A B C D 活动三 掌握与指数函数相关函数的单调性 例3　已知函数y＝. (1) 试利用指数函数的图象作出该函数的图象； (2) 由图象指出该函数的单调区间； (3) 由图象指出当x取何值时，函数有最值． 　　 与指数函数有关的函数的图象，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到，然后利用图象直观地研究其性质． 函数y＝的单调增区间为(　　) A. (－∞，＋∞) B. (0，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，1) 1. (2025上海东昌中学期末)已知函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)单调递增且图象不经过第四象限，则a，b满足的条件为(　　) A. a>1，b≤1 B. a>1，b≥0 C. 0<a<1，b≤1 D. 0<a<1，b≥1 2. (2025绍兴期末)已知函数f(x)＝2x2－2x＋1，则f(x)(　　) A. 在区间(－∞，1]上单调递增且值域为[1，＋∞) B. 在区间(－∞，1]上单调递减且值域为[1，＋∞) C. 在区间(－∞，1]上单调递增且值域为(0，1] D. 在区间(－∞，1]上单调递减且值域为(0，1] 3. (多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则下列结论中正确的是(　　) A. 2a＋2b>2 B. ∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C. 2a＋2b＝2 D. a＋b<0 4. 为了得到函数y＝3·的图象，可以将函数y＝的图象向________平移________个单位长度． 5. (2025重庆长寿中学等七校期末联考)已知函数f(x)＝3x－. (1) 证明函数f(x)的奇偶性； (2) 判断函数的单调性，若x∈[－2，2]，求函数f(x)的最值； (3) 已知[f(x)]2－f(x)≥0，求实数x的取值范围． 6．2.3　指数函数(3) 1. 进一步理解与指数函数有关的复合函数的性质． 2. 会利用指数函数解决简单的应用题. 3. 通过探究、小组合作学习，体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用． 活动一 指数型复合函数的性质 例1　若函数f(x)＝a|2x-4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的减区间是________． 已知函数f(x)＝ax2－3x＋3在区间[0，2]上有最大值8，则函数f(x)的增区间为________． 活动二 数形结合 例2　关于x的方程＝有负根，求实数a的取值范围． 当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a＞0，a≠1)的图象有交点，则实数a的取值范围是______________． 活动三 指数函数在实际问题中的应用 例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%，写出这种物质的剩余量y关于时间x的函数关系式． 例4　某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元． (1) 写出本利和y随存期x变化的函数关系式； (2) 如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．(保留两位小数) 类似上面的题目，设本金为N，每期利率为p，则经过x期后本息和为y＝N(1＋p)x，形如y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的函数称为指数型函数． 用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的.设漂洗前衣服上的污垢量为1，写出衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式．若要使存留的污垢不超过原有的1%，至少要漂洗几次？ 1. (2024赣州期末)某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为(参考数据：1.29≈5.16，1.210≈6.19)(　　) A. 5.16×109 B. 6.19×1010 C. 5.16×1018 D. 6.19×1020 2. (2025邯郸期末)“m>－2”是“函数f(x)＝－3的图象不经过第一象限”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. (多选)(2025漳州期末)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系式为y＝at，则下列说法中正确的是(　　) A. a＝3 B. 第4个月时，浮萍的面积超过80m2 C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 浮萍每月的增长率为200% 4. (2024邯郸期末)已知函数f(x)＝2|x|，则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为________． 5. (2024承德期末)已知函数f(x)＝9－x－a·31-x＋3. (1) 若a＝，解不等式f(x)<0； (2) 若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围． 6．2　指 数 函 数 6．2.1　指数函数(1) 【活动方案】 思考1：y＝2x. 思考2：y＝≈0.999 879x. 思考3：y＝. 思考4：这些函数的解析式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量． 思考5：将a如数轴所示分为a<0，a＝0，0<a<1，a＝1和a>1五部分进行讨论： ①如果a<0，比如y＝(－4)x，此时对于x＝，x＝等，在实数范围内函数值不存在，所以没有研究的价值； ②如果a＝0，当x>0时，ax＝0，当x≤0时，ax无意义； ③如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必要； ④如果0<a<1或a>1，即a>0且a≠1，x可以是任意实数．为了便于研究，所以规定：a>0且a≠1. 思考6：函数y＝2x的指数是变量，是指数函数；函数y＝x2的指数是常数，是二次函数． 例1　(1) 解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式，所以不是指数函数． (2) 底数为负，所以不是指数函数． (3) 解析式中多一个负号，所以不是指数函数． (4) 符合指数函数的定义，所以是指数函数． (5) 指数为常数，所以不是指数函数． (6) 令b＝a－1，则y＝bx，b>0，且b≠1，所以是指数函数． 跟踪训练　(1) 　设指数函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意，得a-1＝3，解得a＝，所以f(x)＝，故f(3)＝＝. (2) 1　因为函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，所以解得a＝1. 思考7：图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}． 思考8：它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴．当a>1时，图象随x的增大而上升，为增函数；当0<a<1时，图象随x的增大而下降，为减函数． 思考9：不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0，1). 思考10：y＝2x与y＝的图象关于y轴对称， y＝3x与y＝的图象也关于y轴对称． 例2　(1) 设指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1). 因为图象过点，所以f(－1)＝， 即a-1＝，解得a＝3，所以f(x)＝3x. (2) f＝3－＝＝. 跟踪训练　(2，－2)　当a>0且a≠1时，总有f(2)＝a2-2－3＝a0－3＝1－3＝－2，所以函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点(2，－2). 例3　(1) 考察指数函数y＝1.5x. 因为1.5>1，所以y＝1.5x在R上是增函数． 又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2) 考察指数函数y＝0.5x. 因为0<0.5<1，所以y＝0.5x在R上是减函数． 又因为－1.2>－1.5，所以0.5-1.2<0.5-1.5. (3) 考察指数函数y＝1.5x. 因为1.5>1，所以y＝1.5x在R上是增函数． 又因为0.3＞0，所以1.50.3＞1.50＝1. 同理0.81.2＜0.80＝1，故1.50.3>0.81.2. 跟踪训练　(1) 因为3>1， 所以指数函数y＝3x在R上是增函数． 因为0.8>0.7，所以30.8>30.7. (2) 因为0<0.75<1， 所以指数函数y＝0.75x在R上是减函数． 因为－0.1<0.1，所以0.75-0.1>0.750.1. (3) 因为1.01>1， 所以指数函数y＝1.01x在R上是增函数． 因为2.7<3.5，所以1.012.7<1.013.5. (4) 因为0<0.99<1， 所以指数函数y＝0.99x在R上是减函数． 因为3.3<4.5，所以0.993.3>0.994.5. 例4　(1) 因为3>1， 所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数． 由3x≥30.5，可得x≥0.5， 故实数x的取值范围为[0.5，＋∞). (2) 因为0<0.2<1， 所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数． 因为25＝＝0.2-2， 所以原不等式变为0.2x<0.2-2，解得x>－2， 故实数x的取值范围为(－2，＋∞). 跟踪训练　(－1，2)　由题意，得x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集为(－1，2). 【检测反馈】 1. C　因为ex>1＝e0，所以x>0，故必要性成立；当x>0时，有ex>1，故充分性成立，所以“x>0”是“ex>1”的充要条件． 2. B　因为y＝2x在R上是增函数，所以21.5>20.3>20＝1，即1<a<b. 又y＝0.5x在R上是减函数，所以0.52<0.50＝1，即c<1，所以c<a<b. 3. ACD　如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝和y＝的图象，当＝>1时，a<b<0；当＝＝1时，a＝b＝0；当0<＝<1时，a>b>0.故选ACD. 4. (1，4]　由题意，得y＝3x在区间(－∞，1]上的值域为(0，3].因为y＝－x2＋a在区间(1，＋∞)上单调递减，所以其值域为(－∞，a－1).又原函数的值域为(－∞，3]，所以0<a－1≤3，解得1<a≤4. 5. (1) 因为f(x0)＝ax0＝2， 所以f(3x0)＝a3x0＝(ax0)3＝23＝8. (2) 因为0<a<1，所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－3x＋1≥x2＋2x－5，解得x≤， 所以实数x的取值范围是. 6．2.2　指数函数(2) 【活动方案】 思考1：①当a>1时，a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速度越快；②当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减速度越快；③底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 思考2：根据指数函数的性质知，当x0＞0时，ax0>bx0；当x0＜0时，ax0<bx0；当x0＝0时，ax0＝bx0. 例1　b<a<1<d<c 跟踪训练　C　因为0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 例2　比较函数y＝2x与函数y＝2x-2，y＝2x+2的取值关系，列表如下： x y＝2x-2 y＝2x y＝2x+2 … … … … －4 2-6 2-4 2-2 －3 2-5 2-3 2-1 －2 2-4 2-2 20 －1 2-3 2-1 21 0 2-2 20 22 1 2-1 21 23 2 20 22 24 … … … … 由此可知，函数y＝2x-2中x＝a＋2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝2x-2的图象． 同样地，函数y＝2x+2中x＝a－2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，得到函数y＝2x+2的图象．图象如下图所示． 跟踪训练　B　当x＜0时，函数的图象是抛物线的一部分；当x≥0时，只需将y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位长度即可，故大致图象为B. 例3　(1) y＝＝ 其图象如图所示． (2) 由图象知函数的增区间是(－∞，－1)，减区间是[－1，＋∞). (3) 由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值． 跟踪训练　A　由题意，得函数的定义域为R.令u＝1－x，则y＝.因为u＝1－x在R上为减函数，y＝在R上为减函数，所以y＝在R上是增函数，故选A. 【检测反馈】 1. B　因为函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)单调递增，所以a>1.又图象不经过第四象限，所以当x＝0时，y＝1＋b－1＝b≥0，所以a>1，b≥0. 2. B　令u(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则u(x)∈[0，＋∞)，所以f(x)可视为由y＝2u(x)和u(x)＝x2－2x＋1构成的复合函数．由二次函数的性质，得u(x)在区间(－∞，1]上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. 由指数函数的性质，得y在R上单调递增，所以由复合函数的性质，得f(x)在区间(－∞，1]上单调递减．又u(x)∈[0，＋∞)，所以f(x)∈[1，＋∞)，故B正确． 3. CD　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图可知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b>2·＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．故选CD. 4. 右　1　因为y＝3·＝，所以将y＝的图象向右平移1个单位长度即得到y＝的图象． 5. (1) 由题意，得函数f(x)的定义域为R. 因为f(x)＝3x－， 所以f(－x)＝3－x－＝－3x， 所以f(－x)＝－f(x). 故函数f(x)为R上的奇函数． (2) f(x)在R上单调递增．理由如下： 因为y＝3x，y＝－在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增， 则f(x)在区间[－2，2]上也单调递增， 所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(－2)＝－. (3) 令t＝f(x)，则t2－t≥0，解得t≥或t≤0. 当t≤0，即f(x)≤0时，因为函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以x≤0； 当t≥，即f(x)≥时，因为函数f(x)在R上单调递增，且f(1)＝， 所以x≥1. 综上，实数x的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞). 6．2.3　指数函数(3) 【活动方案】 例1　[2，＋∞)　由f(1)＝，得a2＝，所以 a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝.因为y＝|2x－4|在区间(－∞，2)上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，在区间[2，＋∞)上单调递减． 跟踪训练　　因为x2－3x＋3＝＋，所以x2－3x＋3在x＝0处取得最大值3，在x＝处取得最小值.当a>1时，f(x)max＝f(0)＝a3＝8，则a＝2；当0<a<1时，f(x)max＝f＝a＝8，则a＝16(舍去).综上，a＝2.因为y＝x2－3x＋3的增区间为，又y＝2x是增函数，所以函数f(x)的增区间为. 例2　y＝的定义域为R. 因为＝有负根，所以x<0. 因为0<<1，所以y＝在R上单调递减， 所以>1，解得<a<5， 故实数a的取值范围是. 跟踪训练　∪(1，]　当a>1时，如图1，要使两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即1<a≤；当0<a<1时，如图2，需满足×12≤a1，即≤a<1.综上可知，实数a的取值范围是∪(1，]. 图1 图2 例3　设该物质最初的质量是1，经过x年剩余量是y. 经过1年，剩余量是y＝1×0.84＝0.841； 经过2年，剩余量是y＝0.84×0.84＝0.842； …… 一般地，经过x年，剩余量是y＝0.84x(x＞0，x∈N*). 例4　(1) 已知本金为a元，利率为r， 则1期后的本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)， 2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3期后的本利和为y＝a(1＋r)3， …… x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*， 即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N*. (2) 将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入上式， 得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68， 即5期后的本利和约为1 117.68元． 跟踪训练　衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式为y＝1×，即y＝(x＞0，x∈N*). 设至少要漂洗x次，可使存留的污垢不超过原有的1%，则≤1%，即4x≥100. 当x＝3时，43＝64<100； 当x＝4时，44＝256>100， 所以至少要漂洗4次． 【检测反馈】 1. C　由题意，得第n代得到的种子数为120n-1，则第10代得到的种子数为1209＝1.29×1018≈5.16×1018. 2. B　由f(x)＝－3的图象不经过第一象限，得f(0)＝－3≤0，解得m≥－1.因为[－1，＋∞)⊆(－2，＋∞)，所以“m>－2”是“函数f(x)＝－3的图象不经过第一象限”的必要且不充分条件． 3. ABD　由图可知函数的图象过点(1，3)，将其代入y＝at，可得a＝3，故A正确；由A，得y＝3t，则第4个月的浮萍面积为34＝81>80，故B正确；前3个月的浮萍面积分别为3 m2，9 m2，27 m2.因为9－3≠27－9，所以浮萍每月增加的面积不相等，故C错误；浮萍每月的增长率为×100%＝200%，故D正确．故选ABD. 4. 　由题意，得函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，所以 f(x)＝2|x|为偶函数．当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x，可得f(x)＝2|x|在区间[0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质，得不等式f(2－x)>f(2x＋3)，即f(|2－x|)>f(|2x＋3|)，则|2－x|>|2x＋3|，整理，得3x2＋16x＋5<0，解得－5<x<－，所以f(2－x)>f(2x＋3)的解集为. 5. (1) 当a＝时，f(x)<0，即9－x－·31-x＋3<0， 则3·(3x)2－4·3x＋1<0， 即(3·3x－1)(3x－1)<0，解得<3x<1， 所以－1<x<0. 故不等式f(x)<0的解集为(－1，0). (2) 由f(x)＝0，得9－x－a·31-x＋3＝0， 所以a＝＝＝＋3x≥2＝，当且仅当＝3x，即x＝－时，等号成立． 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $