2025-2026学年北师大版数学九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）

2025-2026学年数学北师大版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 8大题型归纳总结 题型1：菱形的性质与判定 题型2：矩形的性质与判定 题型3：正方形的性质与判定 题型4：一元二次方程的认识及其一般形式 题型5：解一元二次方程 题型6：一元二次方程的根与系数的关系 题型7：实际问题与一元二次方程 题型8：概率问题 8大题型跟踪训练 题型1：菱形的性质与判定 1．（2025•江夏区校级三模）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点．过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． 求证：四边形ABDF是菱形． 2．（2025•登封市一模）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABCD，作线段AC的垂直平分线，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，得到四边形ANCM． （1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，则四边形AMCN的面积为 　 　 ． 3．（2025•茅箭区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是　 　 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 4．（2025•绵竹市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DC＝5，求CE的长． 题型2：矩形的性质与判定 5．（2025•西双版纳一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连接DB、DE和CE，且AD＝DE． （1）求证：四边形BDCE是矩形； （2）若AB＝2，DE＝4，求点A和点C之间的距离 6．（2025•陕西模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，且A为BE的中点，连接CE，CE＝CB，连接DE，求证：四边形ACDE是矩形． 7．（2025春•甘谷县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积． 8．（2025春•慈利县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 题型3：正方形的性质与判定 9．（2025•吴中区校级二模）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC， （1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE． 10．（2025•昭阳区一模）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积． 11．（2025春•张北县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接点B，F，D，E． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）已知∠ABC＝50°． ①当∠ABE为　 　 度时，四边形BFDE是正方形，并将横线处作为条件，对结论加以证明； ②若四边形BFDE是正方形，且面积为50，CF＝3，求OC的长． 12．（2025春•巴中期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，连接DE、GF，正方形ABCD的周长是40cm． （1）求证：四边形EFBG是矩形； （2）求FG的最小值． 题型4：一元二次方程的认识及其一般形式 13．（2023春•崇左月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 14．（2022秋•淇滨区校级月考）已知关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0，问： （1）m取何值时，它是一元二次方程并猜测方程的解； （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 15．（2023秋•武威期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 16．（2022秋•海东市期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 题型5：解一元二次方程 17．（2025春•莱州市期末）解下列方程： （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣4048＝0． 18．（2024秋•铁岭县期末）解下列方程： （1）x（x﹣3）＝6﹣2x； （2）x2﹣10x+8＝0． 19．（2024秋•伊金霍洛旗期末）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝2x﹣4； （2）（x+1）（x+3）＝6x+4． 20．（2025•北京校级开学）解方程： （1）x（x+1）＝6（x+1）； （2）x2+2x﹣1＝0． 题型6：一元二次方程的根与系数的关系 21．（2024秋•弋阳县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 22．（2024秋•易门县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 23．（2025春•十堰校级期末）已知关于x的方程mx2﹣4x+4﹣m＝0 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值． 24．（2024秋•南漳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 题型7：实际问题与一元二次方程 25．（2024秋•海城市期末）某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 26．（2024秋•新田县期末）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元． （1）每天可销售　 　 件，每件盈利　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元． 27．（2024秋•乐平市期末）综合与实践： 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 28．（2024秋•通榆县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 题型8：概率问题 29．（2025•姑苏区一模）学校组织学生开展“苏州的秘密”项目式学习探索活动，决定招募小组成员，学校将成员随机分配到“A（美食）”“B（丝绸）”“C（园林）”三个项目式研究小组．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（美食）”项目式研究小组的概率是 　 　 ； （2）求甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 30．（2024秋•禹州市期末）某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 31．（2024秋•耒阳市期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　 　 ； （2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或圆树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 32．（2025•成都校级模拟）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（x） 频数 频率 A 80≤x≤100 m B 70≤x＜80 20 C 60≤x＜70 n D x＜60 4 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为 　 　 ； （3）学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 2025-2026学年数学北师大版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2025•江夏区校级三模）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点．过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． 求证：四边形ABDF是菱形． 【解答】证明：在∠ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2BD， ∴DE∥AB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB， ∴AB＝BD， ∴平行四边形ABDF是菱形． 2．（2025•登封市一模）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形ABCD，作线段AC的垂直平分线，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，得到四边形ANCM． （1）请你判断四边形ANCM的形状，并说明理由． （2）若∠ACB＝60°，AC＝4cm，则四边形AMCN的面积为 　8cm2　 ． 【解答】解：（1）四边形ANCM是菱形，理由如下： ∵MN垂直平分AC， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MAO＝∠NCO， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM＝CN， 又∵AM∥CN， ∴四边形ANCM为平行四边形， ∵MN⊥AC， ∴平行四边形ANCM为菱形； （2）由（1）得：AO＝COAC＝2cm，四边形ANCM为菱形， ∴AN＝CN，ON＝OMNM， ∵∠ACB＝60°， ∴△ACN是等边三角形， ∴CN＝AC＝4cm， 在Rt△CON中，由勾股定理得：ON2（cm）， ∴NM＝2ON＝2×24（cm）， ∴菱形ANCM的面积AC•NM4×48（cm2）， 故答案为：8cm2． 3．（2025•茅箭区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是　EF垂直平分AC　 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 【解答】（1）解：由作图可知，EF垂直平分AC， 故答案为：EF垂直平分AC； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF垂直平分AC， ∴四边形AFCE是菱形． 4．（2025•绵竹市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DC＝5，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB ∴AB＝AD，且AB＝BC， ∴AD＝BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵BO＝DO，DE⊥BC， ∴OEBD＝2， ∴BD＝4， ∵∠BOC＝∠BED＝90°，∠CBO＝∠DBE， ∴△BCO∽△BDE， ∴，即， 解得：CE＝3． 5．（2025•西双版纳一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连接DB、DE和CE，且AD＝DE． （1）求证：四边形BDCE是矩形； （2）若AB＝2，DE＝4，求点A和点C之间的距离 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴四边形BDCE是矩形； （2）解：如图，连接AC． ∵AD＝DE，DE＝4， ∴AD＝4， ∵∠DBA＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得，． ∵四边形BDCE是矩形， ∴， ∵AB＝BE，AB＝2， ∴BE＝2， ∴AE＝4， ∵∠BEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 6．（2025•陕西模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，且A为BE的中点，连接CE，CE＝CB，连接DE，求证：四边形ACDE是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵A为BE的中点， ∴AE＝AB＝CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵CE＝CB，A为BE的中点， ∴CA⊥AE，即∠CAE＝90°， ∴四边形ACDE是矩形． 7．（2025春•甘谷县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， ∵EF＝OF， ∴四边形DOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°， ∴四边形DOCE是矩形； （2）解：∵四边形DOCE是矩形，OE＝2， ∴CD＝OE＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝2， ∴， ∴∠BCO＝90°﹣∠CBO＝30°， ∴，， ∴，BD＝2OB＝2， ∴四边形ABCD的面积为． 8．（2025春•慈利县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形， ∴AF＝DE＝2OE＝2×2＝4， ∵AB＝3，BF＝5， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△ABF是直角三角形， ∴△ABF的面积BF•AEAB•AF， ∴5×AE＝3×4， ∴AE＝2.4． 9．（2025•吴中区校级二模）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC， （1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC.， 在△EAB和△ECB中， ， ∴△EAB≌△ECB（SAS）； （2）解：由（1）知△EAB≌△ECB， ∴， ∵∠BDC＝45°， ∴∠DCE＝∠BDC﹣∠DEC＝22.5°， ∴∠DEC＝∠DCE＝2.5°， ∴DE＝DC＝6． 10．（2025•昭阳区一模）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）知：四边形AECF是菱形， ∵， ∴AC＝BD＝6， ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝2， ∴菱形AECF的面积． 11．（2025春•张北县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接点B，F，D，E． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）已知∠ABC＝50°． ①当∠ABE为　20　 度时，四边形BFDE是正方形，并将横线处作为条件，对结论加以证明； ②若四边形BFDE是正方形，且面积为50，CF＝3，求OC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，且AC⊥BD． ∵CF＝AE， ∴OC+CF＝OA+AE，即OF＝OE， ∴四边形BFDE是菱形； （2）①当∠ABE为20度时，四边形BFDE是正方形； 证明：∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是菱形， ∴． ∵∠ABE＝20°， ∴∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝45°． ∵四边形BFDE是菱形， ∴∠EBF＝2∠EBD＝90°， ∴四边形BFDE是正方形； ②∵四边形BFDE是正方形，面积为50， ∴DF2＝50，OD＝OF， ∴． 在Rt△DOF中，由勾股定理得OD＝OF＝5， ∴OC＝OF﹣CF＝2． 12．（2025春•巴中期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，连接DE、GF，正方形ABCD的周长是40cm． （1）求证：四边形EFBG是矩形； （2）求FG的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝90°，∠EGB＝90°， ∴四边形EFBG是矩形； （2）解：由（1）知：四边形EFBG是矩形，如图，连接BE， ∴BE＝FG； 当BE⊥AC时，BE取最小值，即FG取最小值， ∵正方形ABCD的周长是40cm， ∴AB＝BC＝10cm，∠B＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝102+102＝200， 解得：AC＝10， ∴， ∴， 解得：BE＝5； 即FG的最小值为． 13．（2023春•崇左月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程， ∴m2﹣1＝0， 解得m＝±1； （2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m2﹣1≠0， 解得m≠±1． 14．（2022秋•淇滨区校级月考）已知关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0，问： （1）m取何值时，它是一元二次方程并猜测方程的解； （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【解答】解：（1）根据题意得， 解得：m＝1． 当m＝1时，原方程可化为2x2﹣x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2． （2）当m2+1＝1时，即m＝0， 此时方程为：x+1＝0； 当m2+1≠1时，则m+1＝0，即m＝﹣1， 此时方程为：﹣3x﹣1＝0 故m＝0或﹣1． 15．（2023秋•武威期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1． 16．（2022秋•海东市期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 【解答】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0， 2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0， 所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1， 解得b＝1，c＝﹣2． 17．（2025春•莱州市期末）解下列方程： （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣4048＝0． 【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0， （2x﹣1）2＝4， 2x﹣1＝±2， ∴x1，x2； （2）2x2﹣4x﹣4048＝0， x2﹣2x＝2024， x2﹣2x+1＝2025， （x﹣1）2＝2025， x﹣1＝±45， ∴x1＝46，x2＝﹣44． 18．（2024秋•铁岭县期末）解下列方程： （1）x（x﹣3）＝6﹣2x； （2）x2﹣10x+8＝0． 【解答】解：（1）原方程整理得： （x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2； （2）原方程配方得： x2﹣10x+25＝﹣8+25， （x﹣5）2＝17， ， ∴． 19．（2024秋•伊金霍洛旗期末）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝2x﹣4； （2）（x+1）（x+3）＝6x+4． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2x﹣4， 原式变形为（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝4． （2）（x+1）（x+3）＝6x+4， 原方程变形为：x2+4x+3＝6x+4， 变为一般形式为：x2﹣2x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8， ∴， ∴． 20．（2025•北京校级开学）解方程： （1）x（x+1）＝6（x+1）； （2）x2+2x﹣1＝0． 【解答】解：（1）x（x+1）＝6（x+1）， （x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣1； （2）x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝1+1， （x+1）2＝2， ∴， 解得，． 21．（2024秋•弋阳县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2， ∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）解：①当b＝c时，则Δ＝0， 即（k﹣2）2＝0， ∴k＝2， 方程可化为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2， 而b＝c＝2， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7； ②解：当b＝a＝3时， ∵x2﹣（k+2）x+2k＝0． ∴（x﹣2）（x﹣k）＝0， ∴x＝2或x＝k， ∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴k＝b＝3， ∴c＝2， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8； 综上所述，△ABC的周长为7或8． 22．（2024秋•易门县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0， 解得：m． ∴m的取值范围是m． （2）根据题意得2m+1＝0， 解得m， 故m的值为． 23．（2025春•十堰校级期末）已知关于x的方程mx2﹣4x+4﹣m＝0 （1）求证：此方程总有实数根； （2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值． 【解答】（1）证明：∵关于x的方程mx2﹣4x+4﹣m＝0， 当m＝0时，方程为﹣4x+4＝0，解得x＝1； 当m≠0时，Δ＝（﹣4）2﹣4m•（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：由求根公式可求得x＝1或x， ∵方程有两个互不相等的非负整数根， ∴m＝1或4． 24．（2024秋•南漳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤4； （2）若该方程的两个实数根相等，则m＝4， 故方程为x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， 解得x1＝x2＝2． 25．（2024秋•海城市期末）某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 26．（2024秋•新田县期末）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元． （1）每天可销售　（3+x）　 件，每件盈利　（160﹣10x）　 元；（用含x的代数式表示） （2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元． 【解答】解：（1）根据题意得：当每件童装降价10x元时，每天可销售3（3+x）件，每件盈利280﹣10x﹣120＝（160﹣10x）元． 故答案为：（3+x），（160﹣10x）； （2）根据题意得：（160﹣10x）（3+x）＝840， 整理得：x2﹣13x+36＝0， 解得：x1＝4，x2＝9， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝9， ∴10x＝10×9＝90（元）． 答：每件童装降价90元时，销售这款童装平均每天可盈利840元． 27．（2024秋•乐平市期末）综合与实践： 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 【解答】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，制作的收纳盒的高为5cm， ∴BC＝40﹣5×2＝30（cm），AB35（cm）． 答：该收纳盒的底面ABCD的边BC的长为30cm，AB的长为35cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB（40﹣x）cm， 根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0， 解得：x1＝10，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高维10cm． 28．（2024秋•通榆县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 【解答】解：7÷2（s）． 当运动时间为t s（0≤t）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm． （1）依题意得：2t×（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）． 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2． （2）不能，理由如下： 依题意得：2t×（5﹣t）＝7， 整理得：t2﹣5t+7＝0． ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PBQ的面积不能等于7cm2． 29．（2025•姑苏区一模）学校组织学生开展“苏州的秘密”项目式学习探索活动，决定招募小组成员，学校将成员随机分配到“A（美食）”“B（丝绸）”“C（园林）”三个项目式研究小组．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“A（美食）”项目式研究小组的概率是 　　 ； （2）求甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲分配在“A（美食）”项目式研究小组的结果有1种， ∴甲分配在“A（美食）”项目式研究小组的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的结果有3种， ∴甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的概率为． 30．（2024秋•禹州市期末）某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 【解答】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是． （2）从A，B，C，D四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，作树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是B和C的结果有2种， ∴抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率为：． 31．（2024秋•耒阳市期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　　 ； （2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或圆树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【解答】解：（1）体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 32．（2025•成都校级模拟）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（x） 频数 频率 A 80≤x≤100 m B 70≤x＜80 20 C 60≤x＜70 n D x＜60 4 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中m＝ 　0.55　 ，n＝ 　12　 ； （2）若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为 　660　 ； （3）学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为2080（人）， ∴n＝80×15%＝12， ∴A等级的频数为80﹣20﹣12﹣4＝44， ∴m＝44÷80＝0.55． 故答案为：0.55；12． （2）1200×0.55＝660（人）． ∴估计该校成绩为A等级的学生人数约为660人． 故答案为：660． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果． 其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种， ∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $