2025-2026学年北师大版八年级数学上册期中复习：11大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）

2025-2026学年数学北师大版八年级（2024）上册期中复习：11大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 11大题型归纳总结 题型1：勾股定理 题型2：勾股定理的逆定理 题型3：勾股定理的应用 题型4：实数 题型5：平方根与立方根 题型6：二次根式的化简 题型7：二次根式的计算 题型8：求二次根式的值 题型9：二次根式的应用 题型10：平米直角坐标系 题型11：轴对称与坐标 11大题型跟踪训练 题型1：勾股定理 1．（2024秋•渭城区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝5，求AC的长． 2．（2025春•雨花区校级期末）如图，已知AD＝12，BC＝21，BD＝5，AD⊥BC，求AC． 3．（2025春•蓝山县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数； （2）若AB＝10，CD＝6，求BD的长． 4．（2025春•武威期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 题型2：勾股定理的逆定理 5．（2025•宝安区校级开学）在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）求证：△ACD为直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 6．（2025春•桑植县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 7．（2025春•叙永县校级期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 8．（2025春•安定区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝5，BC，CD＝2． （1）求DB的长； （2）求证：AC⊥BC． 题型3：勾股定理的应用 9．（2024秋•宝丰县期末）八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小亮的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）小红认为：想让风筝沿CD方向下降7米，应该往回收线7米．你同意她的说法吗？请说明理由． 10．（2024秋•镇平县期末）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？竹竿的长度是多少米？ 11．（2024秋•新野县期末）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 12．（2025春•河西区月考）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 题型4：实数 13．（2025春•于都县期中）把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，3.14，，0，﹣5.12345…，． （1）有理数集合：{ 　 　 …}； （2）无理数集合：{ 　 　 …}； （3）正实数集合：{ 　 　 …}． 14．（2024秋•信都区期末）阅读下面的内容． 比较与的大小． “嘉嘉”的思路： 将，两个式子分别平方后，再进行比较． “淇淇”的思路： 以、，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明． 15．（2024秋•礼泉县期末）如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴上，且点A表示的数为﹣2，AB⊥OA，AB＝1，连接OB，请你在数轴的正半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 16．（2024秋•皇姑区期末）【阅读材料】 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且a＜b，则． 并给出了证明：∵和为相邻的两个整数，a＜b， ∴， ∴， ∴． 请利用小明的结论和方法解决以下问题： （1）若和为两个相邻整数，求a的值； （2）若和为相差4的两个整数，求a的值． 题型5：平方根与立方根 17．（2024秋•封丘县期末）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3． （1）求m，n的值． （2）求﹣3m+n的算术平方根． 18．（2025春•厦门校级期中）已知3x+1的算术平方根是2，，z是﹣27的立方根． （1）求x，y，z的值； （2）求x+2y﹣z的平方根． 19．（2025春•长葛市期末）已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 20．（2025春•营口月考）已知2a+1为9的算术平方根，2为3b+2的立方根． （1）求a、b的值； （2）求2a+b的平方根． 题型6：二次根式的化简 21．（2024秋•西乡县期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简：． 22．（2025春•巨野县期末）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　 　 ， 　 　 ． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 23．（2025春•信丰县校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 24．（2025春•江油市期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简：． 题型7：二次根式的计算 25．（2024秋•丹江口市期末）计算：． 26．（2024秋•九江期末）计算：． 27．（2024秋•东河区期末）计算： （1）； （2）． 28．（2025•甘谷县校级一模）． 题型8：求二次根式的值 29．（2025•宝安区校级开学）已知，求下列代数式的值．①a2﹣b2；②a2+b2． 30．（2024秋•青山区期末）先化简，再求值：（a）（a）﹣（a）2，其中a＝21． 31．（2024秋•通州区期末）已知：x2，求x2﹣4x+5的值． 32．（2025春•海城市校级月考）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　 　 ． （2）化简． （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 题型9：二次根式的应用 33．（2025•裕华区校级开学）教师节到了，为了表达对老师的感谢，小刚做了两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，但是小刚现在只有1.2m长的金彩带，请你帮他算一算，这些彩带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（，结果保留整数） 34．（2024秋•攸县期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 35．（2024秋•南岸区期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 36．（2024秋•新乐市期末）【数学抽象】： （1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 　 　 2；1 　 　 2；5+5 　 　 2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 题型10：平米直角坐标系 37．（2024秋•遂川县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）与B（1，4）两点，若点C在x轴上，且AC＝3． （1）直接写出点C的坐标为 　 　 ； （2）在图中画出△ABC，并求其面积． 38．（2024秋•船营区校级期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　 ； （2）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 39．（2025春•永春县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作d1，到y轴的距离记作d2． （1）若t＝3，求d1+d2的值； （2）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值． 40．（2025春•齐齐哈尔期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 题型11：轴对称与坐标 41．（2024秋•九江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 42．（2024秋•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，2），B（5，5），C（7，2）； （1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）在第一象限找一点D使△ADC与△CBA全等，并判断两个三角形是否成轴对称；若是，利用网格直接画出对称轴，若不是，请说明理由． 43．（2024秋•鄂尔多斯期末）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 44．（2024秋•章贡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E，F分别在AD与AB上，连接EF．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在AC上画点M，使点M与点F关于AD对称； （2）在图2中，在AB上画点N，使∠NEA＝∠FED． 2025-2026学年数学北师大版八年级（2024）上册期中复习：11大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2024秋•渭城区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝5，求AC的长． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝5，如图， ∴AC2＝BC2+AB2， 即AC2＝52+22， 解得：AC． 2．（2025春•雨花区校级期末）如图，已知AD＝12，BC＝21，BD＝5，AD⊥BC，求AC． 【解答】解：∵BC＝21，BD＝5， ∴DC＝BC﹣BD＝21﹣5＝16， ∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC20． 3．（2025春•蓝山县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D． （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数； （2）若AB＝10，CD＝6，求BD的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝70°． ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝20°； （2）在Rt△ACD中，∵AC＝AB＝10，CD＝6， ∴AD8， ∴BD＝AB﹣AD＝2． 4．（2025春•武威期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 5．（2025•宝安区校级开学）在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）求证：△ACD为直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC5， ∵CD＝12，AD＝13， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形； （2）解：由图可得， S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝6+30 ＝36． 6．（2025春•桑植县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC5， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故四边形ABCD的面积是36． 7．（2025春•叙永县校级期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）连接AC， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，由勾股定理得：AC25， ∵CD＝7，AD＝24， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°； （2）四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADC ＝234． 8．（2025春•安定区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝5，BC，CD＝2． （1）求DB的长； （2）求证：AC⊥BC． 【解答】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△CDB中，BC，CD＝2， ∴BD1， ∴DB的长为1； （2）证明：∵AB＝5，BD＝1， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣1＝4， 在Rt△ACD中，AC2， ∴AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC． 9．（2024秋•宝丰县期末）八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小亮的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）小红认为：想让风筝沿CD方向下降7米，应该往回收线7米．你同意她的说法吗？请说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD， 由题意易得DE＝AB＝1.7， ∴CE＝CD+DE＝16+1.7＝17.7（米）， 答：风筝的高度CE为17.7米； （2）不同意小红的说法． 理由如下：在线段CD上截点M，使CM＝7米， 由题意得， ∴DM＝CD﹣CM＝16﹣7＝9（米）， ∴（米） ∴BC﹣BM＝20﹣15＝5（米） 即：应该往回收线5米，不同意小红的说法． 10．（2024秋•镇平县期末）老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？竹竿的长度是多少米？ 【解答】解：设河水的深度为h米． 由勾股定理得：h2+1.52＝（h+0.5）2， h2+2.25＝h2+h+0.25， h＝2， 答：河水的深度为2米． 11．（2024秋•新野县期末）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【解答】解：（1）由题意，知AC+BC＝8m． 因为∠A＝90°， 设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m， 则42+x2＝（8﹣x）2， 16+x2＝64+x2﹣16x， 16x＝48， 解得x＝3． 故旗杆距地面3m处折断； （2）如图： 因为点P距地面AP＝3﹣1.25＝1.75（m）， 所以B′P＝8﹣1.75＝6.25（m）， 所以， 则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部5m处有被砸伤的风险． 12．（2025春•河西区月考）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：24（米）； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 根据勾股定理得：25， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 13．（2025春•于都县期中）把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，3.14，，0，﹣5.12345…，． （1）有理数集合：{ 　，，3.14，，0　 …}； （2）无理数集合：{ 　π，﹣5.12345…，　 …}； （3）正实数集合：{ 　，，π，3.14　 …}． 【解答】解：（1）有理数集合：{，，3.14，，0…}； （2）无理数集合：{π，﹣5.12345…，}； （3）正实数集合：{，，π，3.14…}； 故答案为：（1），，3.14，，0； （2）π，﹣5.12345…，； （3），，π，3.14． 14．（2024秋•信都区期末）阅读下面的内容． 比较与的大小． “嘉嘉”的思路： 将，两个式子分别平方后，再进行比较． “淇淇”的思路： 以、，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明． 【解答】解：“嘉嘉”的思路： ∵，， ∴， “淇淇”的思路： ∵， ∴以三个无理数构造的△ABC为直角三角形， ∴． 15．（2024秋•礼泉县期末）如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴上，且点A表示的数为﹣2，AB⊥OA，AB＝1，连接OB，请你在数轴的正半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【解答】解：如图，以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点C，点C即为所作． 16．（2024秋•皇姑区期末）【阅读材料】 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且a＜b，则． 并给出了证明：∵和为相邻的两个整数，a＜b， ∴， ∴， ∴． 请利用小明的结论和方法解决以下问题： （1）若和为两个相邻整数，求a的值； （2）若和为相差4的两个整数，求a的值． 【解答】解：（1）∵和为两个相邻整数， ∴由的结论可知：a+11﹣a＝21， ∴5， ∴a＝25； （2）∵和为相差4的两个整数， ∴4， 等式两边同时平方得：a+816＝a+216， ∴25， ∴a＝625． 17．（2024秋•封丘县期末）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3． （1）求m，n的值． （2）求﹣3m+n的算术平方根． 【解答】解：（1）由条件可知m+3＝4， ∴m＝1， 由条件可知2m+n﹣3＝27， ∴2×1+n﹣3＝27， ∴n＝28； （2）﹣3m+n＝﹣3+28＝25， ∴﹣3m+n的算术平方根是5． 18．（2025春•厦门校级期中）已知3x+1的算术平方根是2，，z是﹣27的立方根． （1）求x，y，z的值； （2）求x+2y﹣z的平方根． 【解答】解：（1）∵3x+1的算术平方根是2， ∴3x+1＝4， ∴x＝1， ∵， ∴y＝42＝16， ∵z是﹣27的立方根， ∴z3， 即x＝1，y＝16，z＝﹣3； （2）∵x＝1，y＝16，z＝﹣3， ∴x+2y﹣z＝1+2×16﹣（﹣3）＝1+32+3＝36， ∴x+2y﹣z的平方根是±6． 19．（2025春•长葛市期末）已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0， 解得x＝4， ∴2x﹣2＝6， ∴a＝62＝36， ∵a﹣4b的算术平方根是4， ∴a﹣4b＝16， ∴b＝5； （2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64， 而64的立方根是4， ∴2a﹣b2+17的立方根为4． 20．（2025春•营口月考）已知2a+1为9的算术平方根，2为3b+2的立方根． （1）求a、b的值； （2）求2a+b的平方根． 【解答】解：（1）∵2a+1为9的算术平方根，2为3b+2的立方根，而9的算术平方根是3，8的立方根是2， ∴2a+1＝3，3b+2＝8， 即a＝1，b＝2； （2）∵a＝1，b＝2， ∴2a+b ＝2×1+2 ＝4， ∴2a+b的平方根是±±2． 21．（2024秋•西乡县期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简：． 【解答】解：由数轴可得：a＞﹣1，b＞2，则a+1＞0，b﹣2＞0， ∴ ＝|a+1|+|b﹣2| ＝a+1+b﹣2 ＝a+b﹣1． 22．（2025春•巨野县期末）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　4　 ， 　π﹣3　 ． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【解答】解：（1）根据题意可知；． 故答案为：4；π﹣3． （2）由数轴可知a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0， ∴|a|＝﹣a，|1﹣a|＝1﹣a，|1﹣b|＝﹣（1﹣b）． 原式＝|a|﹣|1﹣a|+|1﹣b| ＝﹣a﹣（1﹣a）﹣（1﹣b） ＝﹣a﹣1+a﹣1+b ＝b﹣2． 23．（2025春•信丰县校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【解答】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b，|c|＞|b|， ∴b﹣a＞0，a﹣c＞0，b+c＜0， ∴原式＝|a|﹣|b﹣a|+|a﹣c|﹣|b+c| ＝﹣a﹣（b﹣a）+（a﹣c）+（b+c） ＝﹣a﹣b+a+a﹣c+b+c ＝a． 24．（2025春•江油市期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简：． 【解答】解：由题意得： a＜﹣1，b＞1， ∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a ＝b﹣3． 25．（2024秋•丹江口市期末）计算：． 【解答】解：原式 ＝2﹣3 ＝﹣1． 26．（2024秋•九江期末）计算：． 【解答】解：原式 ． 27．（2024秋•东河区期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝4 ＝4； （2）原式（3﹣44） ＝4﹣27+4 ＝23． 28．（2025•甘谷县校级一模）． 【解答】解：原式23 ＝363 ＝﹣6 29．（2025•宝安区校级开学）已知，求下列代数式的值．①a2﹣b2；②a2+b2． 【解答】解：①∵， ∴a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝4×2 ＝8； ②∵， ∴a+b＝4，ab＝1， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×1 ＝16﹣2 ＝14． 30．（2024秋•青山区期末）先化简，再求值：（a）（a）﹣（a）2，其中a＝21． 【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a ＝2a﹣8． ∵a＝21， ∴原式＝2（21）﹣8 ＝4﹣2． 31．（2024秋•通州区期末）已知：x2，求x2﹣4x+5的值． 【解答】解：当x2， x2﹣4x+5 ＝（x﹣2）2+1 ＝（2﹣2）2+1 ＝3+1 ＝4． 32．（2025春•海城市校级月考）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　2　 ． （2）化简． （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 【解答】解：（1）2， 故答案为：2； （2） 2 ＝1； （3）∵a2， ∴a﹣2， ∴（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a+4＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴a4﹣4a3﹣4a+3 ＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3 ＝a2×1﹣4a+3 ＝a2﹣4a+3 ＝1+3 ＝4， 即a4﹣4a3﹣4a+3的值为4． 33．（2025•裕华区校级开学）教师节到了，为了表达对老师的感谢，小刚做了两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，但是小刚现在只有1.2m长的金彩带，请你帮他算一算，这些彩带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（，结果保留整数） 【解答】解：∵两张正方形壁画的面积分别是800cm2，450cm2， ∴两张正方形壁画的边长分别是20cm，15cm， ∴镶壁画需用的金彩带的长度为4×（2015）＝140（cm）， ∵140cm＞120cm， ∴小明的金彩带不够用． 14078（cm）， 答：不够用，还需要约78cm长的金彩带． 34．（2024秋•攸县期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（BC+AB） ， 答：长方形ABCD的周长是． （2）铺地砖的面积 ＝144﹣13 ＝131（m2）， 故购买地砖的花费为131×5＝655（元）， 答：购买地砖需要花费655元． 35．（2024秋•南岸区期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴． （2）∵，，， ∴． 36．（2024秋•新乐市期末）【数学抽象】： （1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 　＞　 2；1 　＞　 2；5+5 　＝　 2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【解答】解：（1）∵4+3＝7，24， ∴72＝49，（4）2＝48， ∵49＞48， ∴4+3＞2； ∵11，21， ∴12； ∵5+5＝10，210， ∴5+5＝2． 故答案为：＞，＞，＝． （2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下： 当m≥0，n≥0时， ∵（）2≥0， ∴（）2﹣2•（）2≥0， ∴m﹣2n≥0， ∴m+n≥2． （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据（2）的结论可得：a+2b≥2222×20＝40， ∴篱笆至少需要40米． 故答案为：40． 37．（2024秋•遂川县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）与B（1，4）两点，若点C在x轴上，且AC＝3． （1）直接写出点C的坐标为 　（﹣4，0）或（2，0）　 ； （2）在图中画出△ABC，并求其面积． 【解答】解：（1）由条件可知|xC﹣（﹣1）|＝3， 解得：xC＝2或﹣4， 故点C的坐标为：（﹣4，0）或（2，0）； 故答案为：（﹣4，0）或（2，0）； （2）△ABC如下图所示： 则． 38．（2024秋•船营区校级期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　 ； （2）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【解答】解：（1）点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， ∵5＞|﹣3|＝3， ∴点A（﹣3，5）的“长距”为5， 故答案为：5； （2）由条件可知3b﹣2＝4，解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（5，﹣5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 39．（2025春•永春县校级月考）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作d1，到y轴的距离记作d2． （1）若t＝3，求d1+d2的值； （2）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值． 【解答】解：（1）∵点M的坐标为（2﹣t，2t）， ∵将点M到x轴的距离记作d1，到y轴的距离记作d2． ∴d1＝|2t|，d2＝|2﹣t|． ∵t＝3， ∴d1＝|2t|＝2×3＝6，d2＝|2﹣t|＝|2﹣3|＝1， ∴d1+d2＝6+1＝7． （2）∵点M在第二象限， ∴2﹣t＜0，2t＞0， ∴d1＝|2t|＝2t，d2＝|2﹣t|＝t﹣2． ∵md1﹣5d2＝10， ∴m•2t﹣5（t﹣2）＝10， 解得． 40．（2025春•齐齐哈尔期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1， ∴A（﹣3，0），B（0，4）． （2）∵A（﹣3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵S△ABC•BC•OA＝12， ∴BC＝8， ∵点C在y轴的负半轴上， ∴OC＝4，C（0，﹣4）． 41．（2024秋•九江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示， （2）△A1B1C1的面积． 42．（2024秋•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，2），B（5，5），C（7，2）； （1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）在第一象限找一点D使△ADC与△CBA全等，并判断两个三角形是否成轴对称；若是，利用网格直接画出对称轴，若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，即为所求， 由图形可知，A1（1，﹣2），B1（5，﹣5），C1（7，﹣2）； （2）如图所示，△ACD与△CAB成轴对称，直线l即为所求． 43．（2024秋•鄂尔多斯期末）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求． （2）如图②，取CD的中点E，作直线BE， 则直线BE即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 44．（2024秋•章贡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E，F分别在AD与AB上，连接EF．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在AC上画点M，使点M与点F关于AD对称； （2）在图2中，在AB上画点N，使∠NEA＝∠FED． 【解答】解：（1）如图，点M即为所作； （2）如图，点N即为所作． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $