第二章回顾与综合讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.4第二章回顾提升与综合练习 本节聚焦 经过本章的学习,同学们已初步具备解决高中范围内的不等关系问题的能力.当然,不等式是一个极为灵活的知识点,本章学习的结束并不代表不等式知识,技巧积累的结束,在三角函数,平面向量,数列,导数等章节中我们会遇到更多处理,构造不等式的方法. 知识精讲 一、本章知识图谱: 二、一元二次方程根的分布 分布情况 两根都小于即 , 两根都大于即 , 一根小于,一大于即 大致图象 () 得出的结论 大致图象 () 得出的结论 统一结论 (不讨论) 分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内(图象有两种情况,只画了一种) 一根在内,另一根在内,且 大致图象 () 得出的结论 或 大致图象 () 得出的结论 或 统一结论 (不讨论) 在具体题目中需要判断不等号是否能取等. 重点提醒 经典例题 类型一 均值不等式链的应用 例1 若实数a,b满足,,则下列说法正确的为( ) A.当时,的最大值为16 B.当时,的最小值为 C.当时,的最小值为 D.当时,的最小值为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本(均值)不等式的应用 【分析】利用基本不等式的变形,结合整体法逐一分析判断即可. 【详解】A错,当时,,, 解得,当且仅当时等号成立, 故有最大值,最大值为18. B对,当时,,则, 所以,即, 当且仅当时,有最小值,最小值为. C错,当时,,则, 当时,,当且仅当时等号成立, 此时无解; 当时,,当且仅当时等号成立, 此时解得或,故ab有最小值. D对,当时,,, 则,当且仅当或时等号成立, 故有最小值,最小值为. 故选:BD. 例2 已知表示中的较小值,若,,则的最大值是( ) A. B.1 C. D. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】令,则可得,对变形后利用基本不等式可求出其最大值,从而可求出的最大值. 【详解】令, 因为,,所以,, 所以,当且仅当时取等号, 因为,当且仅当,即时取等号, 所以当且,即时,的最大值为, 所以的最大值是. 故选:D 例3 已知,,则下列说法正确的是( ) A.若,则 B.的最小值为1 C.若,则的最小值为8 D.若恒成立,则k的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】对于A,利用基本不等式可得,再解不等式即可;对于B,根据基本不等式,易知等号不成立;由代入式子中,再运用基本不等式处理即可;对于D,由即可解得. 【详解】,当时取等号, , 解得,当时取等号,故A正确; , 当时取等,又,所以等号不成立,故B错误; , 当时取等,又,所以即时取等,故C正确; ,当时取等号, 所以,即,故D正确; 故选:ACD. 类型二 多元均值不等式 例4 已知正数满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】利用基本不等式判断AB;利用三元基本不等式判断CD. 【详解】对于A,B,由题得,则, 故, 当且仅当时等号成立,A正确,B错误; 对于C,D,因为,所以,所以, 所以,故, 当且仅当,时等号成立,C正确,D错误. 故选:AC. 例5 已知,,,求的最小值. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】由基本不等式得到,相加得到答案. 【详解】当都不为0时, 可得,当且仅当时,等号成立, 同理得,当且仅当时,等号成立, ,当且仅当时,等号成立, 相加得, 当可以为0时,又因为不能同时为0,不妨令, 此时等号成立,故原式的最小值为2. 例6 已知x,y,z为正实数,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件,利用基本不等式及“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A,由,得,当且仅当时取等号,A错误; 对于B,由,得,当且仅当时取等号,B正确; 对于C,,得 ,当且仅当,即时陬等号,C正确; 对于D,由,得,则 , 当且仅当,即取等号,而,因此,D正确. 故选:BCD 类型三 一元二次方程根的分布 例7 已知方程,在下列条件下,分别求的范围. (1)有两个不同的正根; (2)有两个不同的负根; (3)一个根在内,另一个根在内; (4)两个不同的根都大于; (5)两个不同的根都小于1; (6)一个根大于1,一个根小于1; (7)两个不同的根都在内; (8)有两个不同的根,有且仅有一个根在内; (9)一个根小于2,一个根大于4; (10)一个根在内,另一个根在内; (11)一个正根,一个负根,且正根绝对值较大; (12)在内无实根. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】(1)对于方程, 两个不同的正根,且设两根分别为,,则, 即,解得. 故有两个不同的正根的范围为. (2)两个不同的负根,且设两根分别为,,则, 即,解得. 故有两个不同的负根的范围为. (3)令,一个根在内,另一个根在内, 则,即,解得. 故一个根在内,另一个根在内的范围为. (4)两个不同的根都大于,则两根为,, 即,即,解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. (5)两个不同的根都小于1,则两根为,, 即,即,解得. 故两个不同的根都小于1,则的范围为. (6)一个根大于1,一个根小于1,则得,解得; 故一个根大于1,一个根小于1,则的范围为. (7)两个不同的根都在内, 即,即,解得, 故两个不同的根都在内,则的范围为. (8)有两个不同的根,有且仅有一个根在内, 则,即,解得. 当时,方程两根为,符合, 故有两个不同的根,有且仅有一个根在内,则的范围为. (9)一个根小于2,一个根大于4; 则,即,解得. 故一个根小于2,一个根大于4,则的范围为. (10)一个根在内,另一个根在内; 则,即,解得. 故一个根在内,另一个根在内,则的范围为. (11)一个正根,一个负根,且正根绝对值较大, ,即,解得. 故一个正根,一个负根,且正根绝对值较大,则的范围为. (12)在内无实根: 即或或或, 即或或或, 解得或, 故在内无实根时,则的范围为. 类型四 恒成立问题 例8 设函数. (1)若对于一切实数恒成立,求的取值范围; (2)对于恒成立,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)通过两种情况讨论即可; (2)法一:结合二次函数最值即可求解,法二:通过参变分离求最值即可求解. 【详解】(1)要使恒成立, 若,显然. 若 需满足 综上:. (2)解法一:要使在上恒成立, 就要使在上恒成立. 令. 当时,在上随的增大而增大, 当时,; 当时,恒成立; 当时,在上随的增大而减小, 当时,得, . 综上所述:. 解法二:当时,恒成立, 即当时,恒成立. , 又,. 函数在1上的最小值为, . 例9 已知为实数,集合. (1)若命题“”是假命题,求实数的取值范围; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)根据题意,得到命题“”是真命题,转化为在上恒成立,结合二次函数的性质,即可求解; (2)根据题意,转化为在上恒成立,当时,显然成立;当时,转化为恒成立,结合基本不等式求得最小值,即可求解. 【详解】(1)解:因为集合, 由命题“”是假命题,可得命题“”是真命题, 即在上恒成立, 因为函数,当时,取得最大值,最大值为,所以, 所以实数的取值范围为. (2)解:因为恒成立,即在上恒成立, 即在上恒成立, 当时,不等式等价于恒成立,符合题意; 当时,等价于恒成立, 因为,当且仅当时,即时,等号成立,所以, 综上可得,实数的取值范围为. 类型五 能成立问题 例10 若命题“,”为假命题,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称(存在性)命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性,将问题转化为二次不等式的有解问题,从而得解. 【详解】因为“,”为假命题, 所以“,”为真命题, 则在区间上有解, 设,则的图象开口向上,对称轴为, 且,则当时,函数取得最大值为, 所以,即的取值范围是. 故选:C. 例11 若命题“,使得”为假命题,则实数的取值范围 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可得“,使得”为真命题,分离参数可得在内有解,利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“,使得”为假命题, 所以“,使得”为真命题, 即在内有解,即, 因为 , 当且仅当,即时等号成立, 所以,所以,解得, 所以实数的取值范围为. 故答案为:. 实战演练 1.已知正实数满足,则下列说法不正确的是( ) A.的最小值是4 B.的最大值是 C.的最大值是 D.的最大值是 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本(均值)不等式的应用 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断. 【详解】因为正实数满足, 对于A:因为,当且仅当, 即时,等号成立,所以的最小值是4,故A正确; 对于B:因为,当且仅当时,等号成立, 所以的最小值是,故B错误; 对于C:因为,即, 当且仅当时,等号成立,所以的最大值是,故C正确; 对于D:因为,当且仅当时,等号成立, 所以的最大值是,故D正确. 故选:B. 2.已知实数,若,则的最大值为( ) A. B.4 C. D.8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】将变形后,利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数,, 故 , 当且仅当时等号成立, 故的最大值为4, 故选:B 3.已知,,,且,则的最小值为( ) A. B. C.1 D. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式可得,再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于,故, ,当且仅当时,取等号, ,当且仅当时,原式取得最小值, 故选:D. 4.已知,,都是正数,则下列选项中一定正确的是( ) A. B.的最小值为1 C. D.若,则的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A,,,,当且仅当时等号成立,故A选项正确; 对于B,,当且仅当或时等号成立,由题意可得等号不成立,故B选项错误; 对于C,,,,,当且仅当时等号成立,故C选项正确; 对于D,,,,当且仅当时等号成立,故D选项正确. 故选:ACD. 5.求的最大值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件,确定目标式取最大值的条件,再分情况求出最大值并比较大小即可. 【详解】要取最大值,当且仅当, 当或时,; 当时,,当且仅当取等号; 当时,,当且仅当取等号; 当时, ,当且仅当时取等号, 而,所以的最大值为. 6.已知,,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】结合条件可得 ,展开等式右侧,结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ,所以 , 所以 , 所以 , 又 ,当且仅当 时等号成立, ,当且仅当 时等号成立, ,当且仅当 时等号成立, 三个等号可同时成立,所以 , 当且仅当 时等号成立, 所以 的最小值为 , 故选:A. 7.若实数x,y,z满足,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本(均值)不等式的应用 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成,由,求出,进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选:A. 8.若关于的方程的两个根都在区间上,则a的值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合二次函数根的区间分布,列出不等式组,解出即可. 【详解】设,由题可知,若都在区间内, 则需满足,所以解得. 故答案为:. 9.关于的方程至少有一个负根的充要条件是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据题意,分和,结合一元一次方程和一元二次方程的性质,结合韦达定理,列出不等式组,即可求解. 【详解】当时,方程为 ,此时方程的根为负根, 当时,方程, 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况: 当方程有两个负根(含重根)时,则有,解得; 当方程有一个负根一个正根时,则有,解得. 综上所述,当关于的方程至少有一个负根时,有, 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是. 故答案为:. 10.已知方程在上: (1)有解,求的范围; (2)有一解,求的范围; (3)有两不同解,求的范围; (4)无解,求的范围. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题,画出的图像,依次分析4个问题即可求解. 【详解】(1)令与, 方程在上有解,则函数与有交点: 作出函数图像如下: 则,解得:,所以的范围为 (2)方程在上有一解,则函数与有一个交点: 作出函数图像如下: 则或,解得:或,所以的范围为 (3)方程在上有两个解,则函数与有两个交点: 作出函数图像如下: 则,解得:,所以的范围为 (4)方程在上无解,则函数与没有交点: 作出函数图像如下: 则或,解得:或,所以的范围为 11.已知关于的方程有4个互不相同的实数根,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】令(),原方程转化为,根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令(),原方程转化为. 关于的方程有4个互不相同的实数根,即有2个不同的正根, 因此有.解得. 故选:D. 12.若对任意,均有,则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】求出不等式的解集后,把问题转化为,再利用分类讨论思想进行列不等式求解. 【详解】不等式的解集为. 由题意知, 从而或, 解得或. 所以实数的取值范围为, 故答案为:. 13.已知,,若时,关于的不等式恒成立,则的最小值为 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分析得到,故,利用基本不等式求出最小值. 【详解】若,,恒成立, 即恒成立, 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解, 故才能满足要求(因式分解后二次项和常数项一致), 又,故, ,当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为4. 故答案为:4 14.若两个正实数,满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( ) A. B.,或 C. D.,或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】应用基本不等式求出,不等式有解,只需即可. 【详解】因为正实数,满足, 所以, 所以 , 当且仅当且,即时等号成立. 因为不等式有解, 所以只需,即即可, 所以或. 故选:D 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.4第二章回顾提升与综合练习 本节聚蕉 经过本章的学习，同学们已初步具备解决高中范围内的不等关系问题的能力当然，不等式是一个极为灵活的 知识点，本章学习的结束并不代表不等式知识，技巧积累的结束，在三角函数，平面向量，数列，导数等章节中我 们会遇到更多处理，构造不等式的方法 知识精讲 一、本章知识图谱： 相等关系 不等关系 等式的性质 方程 不等式 不等式的性质 一元二次 一元二次 基本不等式 方程 不等式 二次函数 二、一元二次方程根的分布 两根都小于k即 两根都大于k即 根小于k,一大于k即 分布情况 xj<k,x<k xj>k,x>k x<k<x2 y 大致图象 (a>0) △>0 △>0 得出的结论 b<k 2a bzk 2a f(k)<0 f k>0 f(k>0 y 大致图象 (a<0) Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 4>0 4>0 得出的结论 b∠k 2a bzk 2a f k>0 f(ko f(k<0 △>0 4>0 统一结论 k 2a 2a af k <0 (不讨论a) af k>0 af k>0 两根仅有一根在m,n 根在m,n内，另 一 分布情况 两根都在m,n内 内（图象有两种情况，只 根在p,q内，且 画了一种) m<n<p<q y y 大致图象 (a>0) m n m m a p f m>0 4>0 fn<0 f m>0 f p<o 得出的结论 fn>0 f(m f n<o fq>o s、 ∠n 2a f(m)f(n)<0 或 f plf(ql<o y 大致图象 (a<0) 0m8 2 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. f(m<0 △>0 f nj>0 f m<0 fp>o 得出的结论 f n<0 f m f n<0 fq)<o ms、 2a <n f(mif(n)<0 或 f p f q<o 4>0 统一结论 af m >0 af n>0 f m f n<0 f m f n<o (不讨论a) f p f q<o ms-b.sn 2a 重，点提醒 在具体题目中需要判断不等号是否能取等， 经典例题 类型一均值不等式链的应用 例1若实数a,b满足a+b-nab=9,n∈R,则下列说法正确的为() A.当n=1时，a2+b的最大值为16 B.当n=1时，a+b的最小值为-6 18 C.当n=3时，ab的最小值为-9 D.当n=3时，a2+b2的最小值为 例2已知min{x,y}表示x,y}中的较小值，若a>0,b>0,则mina, b 的最大值是() 2+4b2 A.2 B.1 2 C.- 2 例3已知a>0,b>0,则下列说法正确的是() 3 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. A.若ab=a+b+3,则ab≥9 B.a2+4 的最小值为1 a2+3 C.若a+b=4,则16+b的最小值为8 b a D.若Va+5b≤kVa+b恒成立，则k的最小值为6 类型二多元均值不等式 例4已知正数a,b满足aba+b=4,则() A.a+b3≥16B.a+b3≤8 C.2a+b≥2V3 D.2a+b≤22 例5已知a≥0，b≥0，c≥0，求， b. 一十一 C的最小值. 一十 b+c \a+c b+a 例6已知x,y,z为正实数，则下列结论正确的是() A.若x+y=1,则 B.若x+y=1,则 .1 C.若+=49④y2≥4 x+y2≥1 Γ2 D.若z>y>x,则 1+ 1 4 、4 Z-y y-xz-x Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 类型三一元二次方程根的分布 例7已知方程x2+m-3x+m=0,在下列条件下，分别求m的范围. (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在-1,0内，另一个根在2,4内； 4两个不同的根都大于2 (5)两个不同的根都小于1 (6)一个根大于1，一个根小于1： (7)两个不同的根都在0,2内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在0,2内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在-2,0内，另一个根在0,4内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在0,2内无实根. 类型四恒成立问题 例8设函数y=mx2-mx-1: (1)若对于一切实数x,y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于1≤x≤3，y<-m+5恒成立，求m的取值范围. 5 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 例9已知m为实数，集合A=xV0≤x≤4. (1)若命题“3x∈A,x2-6x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围： (2)若Vx∈A,x2≥mx-8恒成立，求实数m的取值范围. 类型五能成立问题 例10若命题“Hx∈1,4，x2-6x-a≤0”为假命题，则a的取值范围是() A.-5,+∞ B.-5,+∞ C.-0∞，-5 D.-0,-5 例11若命题“Hx>0,使得x2+2ax+2a+3≥0”为假命题，则实数a的取值范围 实成演练 1.已知正实数m,n满足m+n=1,则下列说法不正确的是() A. 的最小值是4 B.m+n的最大值是 1+1 1-2 Umn 2 m C. 的最大值是 D. 的量大值号 6 Logic is the foundation of the certainty of alI the knowledge we acquire. 2.已知实数x,y,Z,若x+2y-z=4,则x+y-Zy-z的最大值为() A.22 B.4 C.42 D.8 3.已知a,b,c>0,且b>c,则a+4b2+ab 的最小值为() 2ab+8c b-c B. C.1 D. 1-2 3 32 4 4.已知X,y,z都是正数，则下列选项中一定正确的是() A. ◇ 的最小值为1 2y≤xy +1 x+1 C.Xy+zz+x≥8Xyz D若+2y=293.则y的最大值为号 5.求y+2yz 的最大值. x+y2+z2 x>0y>-1z>02y+3z=2- 6.已知 ,则3+1+1的最小值为) 7 x y+1Z Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. B.7+6 c.5+6 2 2 +6 0 7.若实数x,y,z满足X+y+Z=0,且x>y>z,则 的取值范围为(） 55 22 5’5 B. 2’2 c D.-1,1 8.若关于x的方程x2-2ax+a+2=0(a∈R)的两个根x1,x2都在区间1,4)上，则a的值范围为 9.关于x的方程ax2+4x+1=0至少有一个负根的充要条件是一， 10.已知方程x2+2x-3m=0在-2,1上： (1)有解，求m的范围； (2)有一解，求m的范围； (3)有两不同解，求m的范围； (4)无解，求m的范围. 8 Logic is the foundation of the certainty of alI the knowledge we acquire. 11.已知关于x的方程x2-2ax-a-2ax+2=0有4个互不相同的实数根，则实数a的取值范围是(). A.1,+∞ B.-∞，-1 c.-1,0jU0,1 D.1,2 12.若对任意x∈-1,2，均有x2-2a+1x+a2+a-2>0,则实数a的取值范围为一 13.已知a>0,b∈R,若x>0时，关于x的不等式ax-2x2+bx-4≥0恒成立，则b+4的最小值为 14.若两个正实数x,y满足4X+y=2xy,且不等式x+Y<m2-m 有解，则实数m的取值范围是() 4 A.-1<m<2 B.m<-2,或m>1 C.-2<m<1 D.m<-1,或m>2 学霸笔记