2.3二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 本节聚焦 函数,方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容,用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法,用二次函数观点看一元二次方程、一元二次不等式,可以让学生在初中的相关内容的基础上,进一步理解函数,方程与不等式之间的联系,逐步形成用函数统领方程和不等式的意识,进而体会数学的整体性. 本节主要研究二次函数与一元二次方程,不等式的联系,求解一元二次不等式,解决含参一元二次不等式相关问题. 知识精讲 一、一元二次不等式 1.定义:一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或,其中,,均为常数,. 2.二次函数的零点:一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点. 3.不等式和函数的关系:对于不等式,我们想象二次函数在轴上半部分的图象,这部分图象上的点纵坐标大于,即,此时这些点对应的横坐标就是原不等式的解. 我们整理表格如下: 判别式 二次函数()的图象 一元二次方程()的根 有两个不相等的实数根,() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 R ()的解集 对于二次项系数为正且存在两个根的一元二次不等式(即(,)),求其解集的常用口诀是:大于取两边,小于取中间;若二次项系数为负,可以在不等式两边同时乘转化为上述情况求解. 重点提醒 二、其他简单不等式 1.高次不等式:对于,先分解因式,得,则方程 的根为,,. 将,,标在数轴上,然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起,依次穿过这些点,则原不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的的取值范围,如图. 故原不等式的解集为. 这种方法称为数轴穿根法. 2.分式不等式:对于,移项通分,得,故原不等式的解集为 经典例题 类型一 不含参不等式 例1 解下列不等式: (1); (2). 类型二 含参不等式 例2 已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 例3 已知关于x的不等式的解集是,则实数b= ,c= , 的解集为 . 例4 解关于x的不等式. 处理此类含参一元二次不等式问题,首先应尝试因式分解求根,再根据开口方向,根的数量及相对位置,对称轴等元素确定分类讨论的标准. 重点提醒 类型三 恒成立与能成立问题 例5 (1)若不等式对一切满足恒成立,则的取值范围是________. (2)若关于的不等式在区间内有解,则实数的取值范围是_________. 记的函数在集合上的最大值为,最小值为,则 “,使”“”; “,使”“”. 只是提供大概思路,在具体题目中需要判断不等号是否能取等. 难点突破 例6 已知命题:方程有实数根,命题:在时恒成立.若与至少有一个为假命题,求实数的取值范围. 例7 已知,,若关于的不等式在时恒成立,则的最小值是 . 类型四 实际应用 例7 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个,出厂价为元/个,日销售量为个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为,则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为,同时预计日销售量增加的百分率为. (1)为使日利润有所增加,求的取值范围; (2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时,日利润最大,并求出最大日利润. 实战演练 1.解下列不等式: (1); (2); (3). 2.关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围可能是( ) A. B. C. D. 3.设,不等式的解集为或,则( ) A. B.0 C.2 D.7 4.(1)已知,,且.求的最小值 (2)关于的方程有且只有正根,求实数的取值范围; 5.已知恒成立,求的最小值. 6.柯西不等式:设,则,当数组不全为0时,等号成立当且仅当. 7.不等式对一切实数恒成立的的取值集合为,集合. (1)求集合; (2)若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围. 8.若关于x的不等式组没有实数解,则实数a的取值范围是 . 9.已知命题;命题. (1)若是真命题,求实数的取值范围; (2)若和都为真命题,求实数的取值范围. 10.已知关于的不等式的解集为,则下列说法错误的是( ) A.,则 B.若,则关于x的不等式的解集为 C.若为常数,且,则的最小值为 D.若的解集M一定不为 11.已知不等式的解集,若对任意,不等式恒成立.则的取值范围是 . 12.(多选)已知的解集是,则下列说法正确的是( ) A.不等式的解集是 B.的最小值是 C.若有解,则m的取值范围是或 D.当时,,的值域是,则的取值范围是 13.若关于的不等式组 恰有50个不等的实数解,则的取值范围为 .(结果用区间表示) 14.某厂家拟2024年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算). (1)求的值; (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？ 15.法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系,人们把这个关系称为韦达定理,它的内容为:“对于一元二次方程,它的两根、有如下关系:.” 韦达定理还有逆定理,它的内容为:“如果两数和满足如下关系: ,那么这两个数和是方程的根.”通过韦达定理的逆定理,我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如:,那么和是方程的两根.请应用上述材料解决以下问题: (1)已知、是两个不相等的实数,且满足,,求的值; (2)已知实数、满足,,求的值; (3)已知,是二次函数的两个零点,且,求使的值为整数的所有的值. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 本节聚焦 函数,方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容,用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法,用二次函数观点看一元二次方程、一元二次不等式,可以让学生在初中的相关内容的基础上,进一步理解函数,方程与不等式之间的联系,逐步形成用函数统领方程和不等式的意识,进而体会数学的整体性. 本节主要研究二次函数与一元二次方程,不等式的联系,求解一元二次不等式,解决含参一元二次不等式相关问题. 知识精讲 一、一元二次不等式 1.定义:一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或,其中,,均为常数,. 2.二次函数的零点:一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点. 3.不等式和函数的关系:对于不等式,我们想象二次函数在轴上半部分的图象,这部分图象上的点纵坐标大于,即,此时这些点对应的横坐标就是原不等式的解. 我们整理表格如下: 判别式 二次函数()的图象 一元二次方程()的根 有两个不相等的实数根,() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 R ()的解集 对于二次项系数为正且存在两个根的一元二次不等式(即(,)),求其解集的常用口诀是:大于取两边,小于取中间;若二次项系数为负,可以在不等式两边同时乘转化为上述情况求解. 重点提醒 二、其他简单不等式 1.高次不等式:对于,先分解因式,得,则方程 的根为,,. 将,,标在数轴上,然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起,依次穿过这些点,则原不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的的取值范围,如图. 故原不等式的解集为. 这种方法称为数轴穿根法. 2.分式不等式:对于,移项通分,得,故原不等式的解集为 经典例题 类型一 不含参不等式 例1 解下列不等式: (1); (2). 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】(1)移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解; (2)因式分解后可求不等式的解; 【详解】(1)由得, 即,解得. 故原不等式的解集为. (2)因为, 解得或,所以原不等式的解集为或. 类型二 含参不等式 例2 已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意,分和两种情况讨论,即可求出的取值范围. 【详解】当时,不等式化为恒成立, 当时,不等式不能恒成立, 当时,要使不等式恒成立,需, 解得, 综上所述,不等式对任意恒成立,的取值范围是, 故选:A. 例3 已知关于x的不等式的解集是,则实数b= ,c= ,的解集为 . 【答案】, 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集,结合韦达定理可求出,再代入新的不等式求解即可. 【详解】解法一:因为关于x的不等式的解集是, 所以方程的两根, 由韦达定理,得, 代入得,解集为. 故答案为:;; 解法二:记,,由初中学过的二次函数相关知识,两二次函数关于轴对称,故的两根,不等式的解集为. 例4 解关于x的不等式. 处理此类含参一元二次不等式问题,首先应尝试因式分解求根,再根据开口方向,根的数量及相对位置,对称轴等元素确定分类讨论的标准. 重点提醒 【答案】具体见解析 【解析】解:关于x的不等式 可化为 (1)当时,,解得. (2)当,所以 所以方程的两根为-1和, 当,即时,不等式的解集为或}, 当,即时,不等式的解集为. 当,即时,不等式的解集为或},. (3)当时, 因为方程的两根为—1和, 又因为,所以. 即不等式的解集是, 综上所述:当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为或 当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为或}, 类型三 恒成立与能成立问题 例5 (1)若不等式对一切满足恒成立,则的取值范围是________. (2)若关于的不等式在区间内有解,则实数的取值范围是_________. 记的函数在集合上的最大值为,最小值为,则 “,使”“”; “,使”“”. 只是提供大概思路,在具体题目中需要判断不等号是否能取等. 难点突破 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为不等式对一切恒成立,所以对一切恒成立,令,可知成立,当,函数单调递增,所以,所以. (2)不等式等价于存在,使成立,即 设 当时, 所以 . 例6 已知命题:方程有实数根,命题:在时恒成立.若与至少有一个为假命题,求实数的取值范围. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】先求与为真和假对应的的取值范围,由题意与一真一假或同假,求出对应的取值范围再取并集即可. 【详解】当命题为真时,,得或. 则当命题为假时,. 当命题为真时,令, 则,得,则当命题为假时,. 与至少有一个为假,即与一真一假或同假. 当真假时,或; 当假真时,无解;当假假时,. 综上得. 例7 已知,,若关于的不等式在时恒成立,则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据不等式分类讨论分析可知,为方程的根,代入化简可得,进而代入消去,结合基本不等式即可求解. 【详解】因为,所以当时,;当时. 要使关于的不等式在时恒成立,需两因式同号在时恒成立. 则当时,;当时,; 所以当时,, 所以,即, 所以,当且仅当,即时取等号, 即的最小值为. 故答案为:. 类型四 实际应用 例7 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个,出厂价为元/个,日销售量为个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为,则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为,同时预计日销售量增加的百分率为. (1)为使日利润有所增加,求的取值范围; (2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时,日利润最大,并求出最大日利润. 【答案】(1);(2)当,最大日利润是元. 【解析】(1)由题意得:日利润为: , , 若日利润有所增加,则 , 即 , 解得 , (2)由(1)知日利润为, , 当时,日利润最大,最大日利润是元. 实战演练 1.解下列不等式: (1); (2); (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】(1)利用分式不等式的解法:分式不等式转化成整式不等式,得到,再利用一元二次不等式的解法,即可求出结果; (2)利用分式不等式的解法:分式不等式转化成整式不等式,得到,且,再利用一元二次不等式的解法,即可求出结果. (3)根据条件得到,利用,将问题转化成,再利用一元二次不等式的解法,即可求出结果. 【详解】(1)因为等价于,得到或, 所以的解集为或. (2)由,得到,即, 等价于,且,解得或, 所以的解集为或. (3)由,得到, 又恒成立, 所以原不等式等价于,解得, 所以原不等式的解集为 2.关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围可能是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据与2的大小,求得不等式的解,分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为, 当时,不等式解为, 不等式解集中恰有两个整数,则这两个整数为,则; 当时,不等式无解,不符合; 当时,不等式解为, 不等式解集中恰有两个整数,则这两个整数为,则. 综上,满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选:AB 3.设,不等式的解集为或,则( ) A. B.0 C.2 D.7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意可知和是方程的两个根,根据韦达定理求出,的值即可求解. 【详解】由题意可知:和是方程的两个根,则由韦达定理可得:和,即,,所以. 故选:A. 4.(1)已知,,且.求的最小值 (2)关于的方程有且只有正根,求实数的取值范围; 【答案】(1); (2). 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题、基本不等式求和的最小值 【分析】(1)消元,用表示,再用均值不等式得到最值; (2)分和两种情况讨论,时,由判别式和韦达定理得到不等式组,解出的取值范围. 【详解】(1)由得即, 因为,所以,, 所以, 当且仅当时等号成立, 所以的最小值是. (2)当时,由得,符合题意; 当时,设方程的根为, 由得,解得, 所以或, 综上,的取值范围是. 5.已知恒成立,求的最小值. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将不等式两边同时平方,根据平方差公式,可得两种情况,进而根据二次不等式恒成立,利用判别式以及分类讨论即可求解. 【详解】由得, 得, , 即恒成立(*), 或恒成立(**), (1)先考虑二次项系数均为不为0的情况,如下: 由(*)式得 ①+②得; 由(**)式得 ③+④得,所以的最小值为1. (2)接下来考虑二项式系数为0的情况, 当时,为开口向上的二次函数,函数值不恒为非正, 故只需恒成立, 则,解得, 此时, 时,为开口向下的二次函数,函数值不恒为非负, 此时只需要恒成立, 则,解得, 此时, 综上可知:的最小值为1. 6.柯西不等式:设,则,当数组不全为0时,等号成立当且仅当. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】若,不等式显然成立;若,构造二次函数,由判别式即可证明. 【详解】若,则,此时不等式显然成立; 若, 构造二次函数 对于恒成立, 所以此二次函数的判别式, 即; 综上,. 7.不等式对一切实数恒成立的的取值集合为,集合. (1)求集合; (2)若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)当 时,显然成立;当时,由求解即可; (2)由题设得,即在上恒成立,由解出m的取值范围即可. 【详解】(1)当 时, 显然恒成立; 当 时,不等式 对一切实数 都成立, 则 ,解得 . 综上, . (2)因为“”是“”的充分条件, 所以. 又 ,即 在 上恒成立. 令 , 则 , 解得 , 所以的取值范围为. 8.若关于x的不等式组没有实数解,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先解二次不等式与一次不等式,结合题意得到的取值范围,从而得解. 【详解】解不等式可得, 由可得, 若关于的不等式组没有实数解, 则. 故答案为:. 9.已知命题;命题. (1)若是真命题,求实数的取值范围; (2)若和都为真命题,求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称(存在性)命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】(1)根据二次函数与一元二次不等式之间的关系,即可利用判别式求解为真时的范围,可得为假时的范围 ; (2)根据一元二次不等式有解求为真时的范围, 结合(1)即可求交集得解. 【详解】(1)若命题为真,则, 即,解得:, 而是真命题,所以命题为假命题, 所以或. (2)由(1)知,命题为真时,; 若为真命题, 则,解得或. 故命题和命题都为真命题,则, 解得或, 即实数的取值范围为或 10.已知关于的不等式的解集为,则下列说法错误的是( ) A.,则 B.若,则关于x的不等式的解集为 C.若为常数,且,则的最小值为 D.若的解集M一定不为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、基本不等式求积的最大值 【分析】选项A中,由二次函数的性质得到,可判定A错误;选项B中,转化为和是方程的两个实根,求得,把不等式化简得到,求得的解集,可判定B正确;选项C中,结合二次函数的性质,求得,化简得到,令,结合基本不等式,求得的最大值,可判定C错误;当时,由函数表示开口向下的抛物线,可判定D正确. 【详解】由题意,关于的不等式的解集为, 对于A中,若,即不等式的解集为空集, 根据二次函数的性质,则满足,所以A错误; 对于B中,若,可得和是方程 两个实根,且, 可得,解得, 则不等式,可化为, 即,解得或, 即不等式的解集为,所以B正确; 对于C中,若为常数,可得是唯一的实根,且, 则满足,解得,所以, 令,因为且,可得,且, 则, 当且仅当时,即时,即时,等号成立, 所以的最大值为,所以C错误; 对于D中,当时,函数表示开口向下的抛物线, 所以当的解集一定不为,所以D正确. 故选:AC. 11.已知不等式的解集,若对任意,不等式恒成立.则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数,则在上恒成立,利用二次函数的性质有即可求结果. 【详解】由题设,且,可得, 所以在上恒成立, 而在上递增,故只需即可, 所以. 故答案为: 12.(多选)已知的解集是,则下列说法正确的是( ) A.不等式的解集是 B.的最小值是 C.若有解,则m的取值范围是或 D.当时,,的值域是,则的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据给定条件,可得,解不等式判断A;利用均值不等式计算判断B;利用对勾函数求范围判断C;探讨二次函数值域判断D作答. 【详解】因的解集是,则是关于x的方程的二根,且, 于是得,即, 对于A,不等式化为:,解得,A正确; 对于B,,, 当且仅当,即时取“=”,B正确; 对于C,,令,则在上单调递增, 即有,因有解,则,解得或,C不正确; 对于D,当时,,则,, 依题意,,由得,或,因在上的最小值为-3, 从而得或,因此,D正确. 故选:ABD 13.若关于的不等式组 恰有50个不等的实数解,则的取值范围为 .(结果用区间表示) 【答案】 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先求出不等式的解,再分,,三种情况讨论,再根据区间内有个整数,得到区间的长度应满足的条件,进而可得出答案. 【详解】由,解得或, 当,即时,, 此时原不等式组不可能有个不等的实数解, 当,即时,, 此时原不等式组无解, 当,即时, 原不等式组的解集为, 因为原不等式组恰有50个不等的实数解,且区间内有个整数, 所以在区间内有个整数, 则区间的长度应满足,解得, 所以, 则在区间内只有两个整数, 所以区间内有个整数, 所以,解得, 综上,. 故答案为:. 【点睛】关键点点睛:根据区间内有个整数,得到区间的长度应满足的条件,是解决本题的关键. 14.某厂家拟2024年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算). (1)求的值; (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本(均值)不等式的应用 【分析】(1)有题目中的已知条件,代入已知函数解析式,求得参数; (2)根据利润公式整理函数解析式,利用基本不等式,可得答案. 【详解】(1)由题意知,当时,(万件), 则,解得; (2)由(1)可得. 所以每件产品的销售价格为(元), 2024年的利润. 当时,, ,当且仅当时等号成立. , 当且仅当,即万元时,(万元). 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元. 15.法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系,人们把这个关系称为韦达定理,它的内容为:“对于一元二次方程,它的两根、有如下关系:.” 韦达定理还有逆定理,它的内容为:“如果两数和满足如下关系: ,那么这两个数和是方程的根.”通过韦达定理的逆定理,我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如:,那么和是方程的两根.请应用上述材料解决以下问题: (1)已知、是两个不相等的实数,且满足,,求的值; (2)已知实数、满足,,求的值; (3)已知,是二次函数的两个零点,且,求使的值为整数的所有的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】(1)利用两个等式特征,可将可看作方程的两个异实数根,由韦达定理即可求出所求式的值; (2)由题设等式,可将可看作方程的两个实数根,求出两根,分情况讨论求解即得; (3)由题意,使,求得,利用韦达定理求得,将所求式整理化简得,结合题设条件,即可求得的所有取值. 【详解】(1)由,,, 可将可看作方程的两个不相等的实数根, 由韦达定理,, 所以; (2)由,, 可将可看作方程的两个实数根, 由解得或, 则有或, ① 当时,; ② 当时,. 所以的值为22或37. (3)由题意和韦达定理,可得,, 且,解得, 故 因,又,故必为的因数, 则的值可能为, 则实数k的值可能为,又, 故k的所有取值为. 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $