2.2基本不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.2基本不等式 本节聚蕉 基本不等式（又名"均值不等式"）与同学们在初中学过的乘法公式有类似的作用，乘法公式能够简化某些特殊 形式的代数式的恒等变形，而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循.这是我们研究 的第一个具体的不等式，它在高考中常常隐藏在各种最值问题的背后，考察方式十分灵活，是高中数学的第一 个难点 本节我们将学习基本不等式的定义，证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题， 知识精讲 一、基本不等式 1.当a>0,b>0时，有a+b≥yab ,当且仅当a=b时，等号成立. 2 2.证明（作差法）要证 ,只需证 此时 a+b≥yab a+b-Yabz0 2 ,故 a+b a+b-2Va _(ā-b2 a+b≥ab 又由2a3F ,最当且☒当a≥时，原不等式中等号成立. =0台6=b 2 3.几何解释： 如图，圆的直径AB长为a+b,过圆上任意点D作DC⊥AB交AB于C.由三角形相似的 识，有DC=ab由于圆中的弦长小于等于直径长，故有≥a而 4.基本应用： 已知a>0,b>0, (1)若ab等于定值t,则a+b有最小值2Vt:(2)若a+b等于定值t,则ab有最大值t2. 4 二、均值不等式链 1.当a>0,b>0时，有 a2+b2 2 ,当且仅当a=b时，等号成立.（证明略，均可通过作差法 2 2 11 a b 和分析法证明) 重点提醒 同学们应牢记此不等式链，部分题目在考察不等关系时，用它可大大减少思维量， 1 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.几何解释： 如图，AB为⊙O直径，C为AB上一点，OF⊥AB,DC⊥AB,CE⊥OD,若AC=a,CB=b,则OD=OF=元 a+b OC=OB-BC=ia+b-b=a-b, 2 D CF=YOF2+OC2=id+b,DC=ab. DE=CDcos4ODC=Yab.Rab=2ab=_2 a+b a+b 1,1 2 a h 则CF≥OF=OD≥CD≥DE,当且仅当a=b时，等号成立. 3.n元拓展：当a,>0(i=1,2,3,.,n)时，有 =1 当且仅当a1=02=…=an时，等号成立. 经典例题 类型一对基本不等式的理解 例1下列说法中错误的是() A.不等式a+b≥2Vab恒成立 B.若a,bER则b+9≥2 a b C.若a,b∈R+,满足a+2b=1,则2+1≥8 a b D.存在Q∈R,使得a+Ls2成立 a 例2若a,b∈R,则() A.a2+b2≥-2ab B.a+b≥2Vab C.a2+2b2≥2lab D.a+b2≥2a+b-1 2 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 例3判断正误 1 (1)若a>0,则a3+ 的最小值是2Va.() a (2)函 y=a+1的最小值是2.() 例4若a,b∈R,a<b且ab>0,则下列不等式中恒成立的是() A.a2<b2 11 B. c.1+12 D.b+9>2 一十 a b a'b ab a b 例5已知a,b>0,且a+b=1,则() A.ab的最大值是 B.a2+b2的最大值是 C. +2的最小值是4 a b D.Va+Vb的最小值是V2 类型二凑配法 例6求下列各式的最值 (a)已知0<x<号，求y=x1-3x的最大值： (2)当x<1时，求x+4,的最大值 X-1 例7(1)若x>0,则 的最小值是 2x2-3x+1 + 3 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. (2)若x>2,求父-2x+4 的最小值，并写出取得最小值时x的值. X-2 重，点提醒 如果要求的最大值呢？ 类型三常数代换法 1,1 例8已知x>0,y>0,x+y=1,则xy的最小值是() A.2 B.2V2 C.4 D.23 例9若实数。6满2如+-o>6小则。的小值） A.6 B.4 C.3 D.2 类型四消元法 例10若正数x,y满足 ,则的最大值为一 Xy+2=4 X y y 类型五基本不等式求参 例1已知x>0,y>0,且2+-1，若X+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是 x y 例12设x>0y>0,且不等式 恒成立，则正实数a的取值范围是() (ax+y 1+1 ≥9 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. A.0<a≤4 B.0<a≤2 C.a≥4 D.a≥2 实战演练 1.(1)已知实数a,b,c均大于0，证明a(. a+b≥a+b. (2已知a>0,b>0,证明6a 2.已知x,y为正实数，x+y=4,则() A.xy的最大值为4 B.Vx+y的最小值为2V2 C.3+4的最小值为3 D.x2+1y+1的最小值为16 xy 3.设正实数xy满足x+y=2,则() A.xy有最大值为1 B.x2+y2有最小值为4 C.4y+2有最小值为5 X) D.x+3+y+4有最大值为3V2 5 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 4.已知a>0,b>0,若ab+2ab2≤8ab,则ab的取值范围是一 5.若正数xy满足x+y=xy,则x+2y的最小值是() A.6 B.2+3V2 C.3+2V2 D.2+23 6.已知正数X,y满足x+2y=1,则×+y的最小值为(） Xy 1 1 A.22 B.2V2 C.22+1 D.2V2+1 7.下列说法正确的有() A.函数y=x2+2+1 的最小值为2 2+2 4 B.己知x>1,则y=2x+ +x-11的最小值为42+1 C.若正数x,y满足x+2y=3y,则2x+y的最小值为3 D.设x>0,y>0,X+2y=2,则21+3的最小值为8 2x+y x+3y 8.54.(25-26高三上广东：开学考若实数a,b满 3a-bP=6-4ab则下列不等式错误的是() A.b-a≥-V3 abs号c是sd+6s3山.a+b>6 B.-3 2 6 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 9.数学里有一种证明方法叫Proofs without words,也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释 就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有 条理.如图，在等腰直角△ABC中，O为斜边AB的中点，D是斜边AB上异于A、B的一个动点，设AD=a, BD=b,则该图形可以完成的无字证明是() D A.a+b□a2+b2 B.2ab sYab 21 a+b c.a+b≥Vab D.a2+b≥ab 2 2 10.已知a>0,b>0,a+b=2.则下列说法正确的是() A.a2+b2的最小值为2 B.(a+12b+1的最大值为49 C.ab的最小值为1 D.1+1的最小值为3+22 a+12b+2 8 11.已知a>0,b>0. (1)若a-b=2,求证：a+, b+7≥5： (2若0<a<2,求上+，4的最小值： a 2-a" (6)若b+22abx-a+b≤0恒成立，求x的取值范围. 7 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 120sa≤2,0≤b≤2,0≤c≤2侧则0-b+1b-+c-a的最大值为- 13.问题：已知x0,y>0,X+2y=2,求+上的最小值.某学生的解法因为X>0,y>0,所以 x y X+2y=22280<w号所以+品22则+的蚊小值22.该学生的解法是香正 确？若正确，请说明原理，若不正确，请指出错误的原因. 14.已知x,y均为正实数，若x+y=1,则4X二y+5的最小值为_ Xy 15.记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数.己知x,y均为正实数，则max 2,1,x2+4y 的最小值为() x y B.1 C.2 D.4 8 Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 学霸笔记 9Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.2基本不等式 本节聚焦 基本不等式(又名"均值不等式")与同学们在初中学过的乘法公式有类似的作用,乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形,而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循.这是我们研究的第一个具体的不等式,它在高考中常常隐藏在各种最值问题的背后,考察方式十分灵活,是高中数学的第一个难点. 本节我们将学习基本不等式的定义,证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题. 知识精讲 一、基本不等式 1.当,时,有,当且仅当时,等号成立. 2.证明:(作差法)要证,只需证, 此时,故. 又由于,故当且仅当时,原不等式中等号成立. 3.几何解释: 如图,圆的直径长为,过圆上任意点作交于.由三角形相似的知识,有,由于圆中的弦长小于等于直径长,故有. 4.基本应用: 已知,, (1)若等于定值,则有最小值;(2)若等于定值,则有最大值. 二、均值不等式链 1.当,时,有,当且仅当时,等号成立.(证明略,均可通过作差法和分析法证明) 同学们应牢记此不等式链,部分题目在考察不等关系时,用它可大大减少思维量. 重点提醒 2.几何解释: 如图,为直径,为上一点,,,,若,,则,, ,, . 则,当且仅当时,等号成立. 3.元拓展:当()时,有, 当且仅当时,等号成立. 经典例题 类型一 对基本不等式的理解 例1 下列说法中错误的是( ) A．不等式恒成立 B．若,则 C．若,满足,则 D．存在,使得成立 【答案】A 【解析】解:对于A,当a＜0,b＜0时,不等式a+b≥2不成立,故选项A错误； 对于B,因为a,b∈R+,则,当且仅当a＝b时取等号,故选项B正确； 对于C,因为a＞0,b＞0且a+2b＝1,所以,当且仅当a＝2b时取等号,故选项C正确； 对于D,当a＝1时,a2成立,故选项D正确． 故选:A． 例2 若,则( ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】用替代中的,得到,当且仅当时取等号,故A正确； 取,则,故B错误； ,当且仅当时取等号,故C正确； 因为,所以, 即,当且仅当时取等号,故D正确. 故选:ACD 例3 判断正误 (1)若,则的最小值是．( ) (2)函数的最小值是．( ) 【答案】(1)×(2)× 【难度】0.94 【详解】(1)最小值是应该是一个确定的数,而不是一个函数,而且时,函数也并不会取到它本身的最小值.为了求最小值, 原式,当且仅当,即时,等号成立. (2)应添加条件. 例4 若且,则下列不等式中恒成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若,但,故A错误； 对于B,由于且,则,故,故B错误； 对于C,若,此时 ,不满足,故C错误； 对于D, 由于,故,因此,由于,故,D正确, 故选:D. 例5 已知,且,则(   ) A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知:,当且仅当时,等号成立,选项A正确； 因为,故,当且仅当时,等号成立, 即最小值是,选项B错误； 由可知,即, 当且仅当且,即时,等号成立,选项C正确； 由,把看作,把看作,有,即. 当且仅当时等号成立,选项D错误, 故选:AC． 类型二 凑配法 例6 求下列各式的最值 (1)已知,求的最大值； (2)当时,求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、对勾函数求最值 【分析】(1)由,结合基本不等式求解即可； (2)由,结合基本不等式求解即可 【详解】(1)因为,所以, 则, 当且仅当,即时,取等号, 所以的最大值为. (2)因为,所以, 则, 当且仅当,即时,取等号,所以的最大值为； 例7 (1)若,则的最小值是 . (2)若,求的最小值,并写出取得最小值时的值. 如果要求的最大值呢? 重点提醒 【答案】(1)；(2)6, 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次(或一次)的商式的最值 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 , 所以 , 当且仅当 ,即 时取等号, 故答案为: (2)当时,令,则原式 当且仅当,即,即时等号成立, 故当时,的最小值为6. 类型三 常数代换法 例8 已知,则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】(当且仅当,即时取等号)的最小值为故选: 例9 若实数,满足,则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为,,所以, 又 所以 当且仅当即,时,取等号 所以 故选:A 类型四 消元法 例10 若正数,满足,则的最大值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】二次与二次(或一次)的商式的最值 【分析】根据得出,得出,,根据的范围求出的范围即可. 【详解】,,,所以,即,, 根据二次函数的性质可知时,上式取得最大值2. 故答案为:2. 类型五 基本不等式求参 例11 已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】由条件,利用基本不等式求的最小值,再结合关系恒成立,求的取值范围. 【详解】因为,, 所以, 当且仅当,时,等号成立,即当且仅当,时,等号成立, 所以的最小值为, 因为恒成立,所以, 所以. 例12 设x＞0,y＞0,且不等式恒成立,则正实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:∵x＞0,y＞0,a＞0, ∴(ax+y)()＝a+1a+1+2(1)2(当且仅当时取"＝"), 又∵(ax+y)()≥9恒成立,∴(1)2≥9,解得:a≥4,故选:C． 实战演练 1.(1)已知实数均大于0,证明:． (2)已知,证明:． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】(1)对括号内应用重要不等式证明即可； (2)应用基本不等式,取加法化简即可. 【详解】证明:(1)根据待证不等式结构选用 , 当且仅当时等号成立,所以． (2)因为,所以,当且仅当时取等号, ,当且仅当时取等号, 所以,因此． 2.已知x,y为正实数,,则( ) A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项,因为为正实数,,则,当且仅当时取等号,故A选项正确； B选项,,当且仅当时取等号,所以的最大值为,故B选项错误； C选项,因为,则,故,当且仅当时取等号,故C选项错误； D选项,因为 ,因为, 所以,所以的最小值为16,故D选项正确. 故选:AD 3.设正实数x,y满足,则( ) A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】根据基本不等式及其变形形式逐项计算即可. 【详解】对于A,由基本不等式,, , , , 当且仅当时取等号,故A正确； 对于B,, , , , ,即, 的最小值为2, 当且仅当时取等号,故B错误； 对于C,, , 当且仅当, 解得:,时取等号,故C正确； 对于D,, , 又, 则当且仅当,即,时取等号, , 即有最大值为, 故D正确. 故选:ACD 4.已知,若,则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式结合不等式的化简,即可求得答案. 【详解】因为,所以． 又,当且仅当时等号成立, 所以,则,故的取值范围是,等号成立, 故答案为: 5.若正数x,y满足,则的最小值是( ) A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】对变形得到,利用基本不等式"1"的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x,y满足, 所以, 所以, 当且仅当,即,又,时,等号成立, 所以的最小值为. 故选:C 6.已知正数满足,则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次(或一次)的商式的最值 【分析】将目标式整理为齐次式,再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】 ,因为,故, 则,当且仅当,也即取得等号, 故的最小值为. 故选:D. 7.下列说法正确的有( ) A．函数 的最小值为 B．已知,则的最小值为 C．若正数满足,则的最小值为3 D．设,,则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为,妙用"1"可判断C；将已知变形为,然后根据"1"的妙用可判断D. 【详解】对A,令,则, 因为在上单调递增,所以,A错误； 对B,, 当且仅当,即时,等号成立,所以B正确； 对C,由得, 所以, 当且仅当时,等号成立,所以C正确； 对D,由得, 所以 , 当且仅当,即时,等号成立,所以D正确. 故选:BCD 8.54．(25-26高三上·广东·开学考试)若实数满足,则下列不等式错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】变形得,结合求出,再结合,,逐一判断即可. 【详解】由得, 结合可得,, 得,等号成立时, 结合可得,, 得,等号成立时, 综上可得:,故B正确； 由可得,则有, 解得:,则,故A正确； 由及得,, 解得,故C正确； 由得,,即, 因,则,,故D错误. 故选:D 9.数学里有一种证明方法叫Proofs without words,也称为无字证明,一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图,在等腰直角中,为斜边的中点,是斜边上异于、的一个动点,设,,则该图形可以完成的无字证明是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据等腰三角形的性质得,且,即可得答案. 【详解】由题设,且, 其中,或, 且, 由图知,即. 故选:A 10.已知,,．则下列说法正确的是( ) A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】根据已知条件,利用基本不等式、"1"的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A,,当且仅当时取等号,所以A正确； 选项B,,当且仅当,即时取等号,所以B正确； 选项C,,当且仅当时取等号,即的最大值为1,而非最小值为1,所以C错误； 选项D,,当且仅当, 即时取等号,所以D正确. 故选:ABD. 11.已知,． (1)若,求证:； (2)若,求的最小值； (3)若恒成立,求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】(1)根据等式条件,对代数式进行换元,再根据基本不等式中的配凑法,证明不等式成立即可. (2)根据参数的范围,构造等式,再根据基本不等式中"1"的运用,求出最小值即可. (3)根据参数的范围,解出关于x的不等式,根据基本不等式,求出代数式的最小值,求出结果. 【详解】(1)由,得, 所以, 当且仅当,即时等号成立, 所以． (2)因为,所以,则, 则 , 当且仅当,即时取得等号, 故的最小值为． (3)因为,,所以, 则可化为恒成立, 又,当且仅当时取得等号, 所以,则. 故的取值范围为． 12.,则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】由已知设,得 ,化简去掉绝对值,再利用均值不等式即可求得答案. 【详解】∵,∴, ∴当时,,当且仅当时等号成立, 因为,不妨设, 则 , , 当且仅当时取等号, 所以 , 当且仅当时等号成立, 所以的最大值为. 故答案为:. 13.问题:已知,求的最小值．某学生的解法:因为,所以,得,所以,则的最小值为．该学生的解法是否正确？若正确,请说明原理,若不正确,请指出错误的原因. 【答案】不正确,理由见解析 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式"1"的妙用求最值 【分析】由基本不等式成立的条件即可判断. 【详解】该学生的解法不正确． 错误原因:运用基本不等式的时候,并未检验等号成立的条件,如, 得到时,当且仅当,即时等号成立, 而,当且仅当时等号成立, 所以中两个等号不能同时取得, 因此,只能得到, 故并不是最小值． 正确解法为:因为, 所以 , 当且仅当,即时,等号成立, 所以的最小值为. 14.已知均为正实数,若,则的最小值为 . 【答案】25 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由代入消去,整理得,设,则得,利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得,代入中,可得, 设,则, 于是, 因,当且仅当时,等号成立, 即时,取得最小值25. 故答案为:25. 【点睛】关键点点睛:解题的关键在于通过代入消元后,需要将所得的分式的分子进行换元处理,即可利用基本不等式求其最值. 15.记表示中最大的数．已知均为正实数,则的最小值为(   ) A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】设,得,两次应用基本不等式求最小值,注意等号成立的条件即可． 【详解】设,则,,, ∴,当且仅当时取等号, 又,当且仅当,即时取等号, 所以, 所以的最小值是2, 故选:C． 【点睛】关键点点睛:本题关键在于根据定义得出,,,相加后基本不等式求得最小值． 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $