2.1等式性质与不等式性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.1等式性质与不等式性质 本节聚焦 中学数学包含数学研究的两大分支:代数与几何(函数相关内容大部分时间只是作为学习代数的载体,并不含有多少分析学的知识).在高中阶段,几何相关内容包括平面向量,立体几何,平面解析几何,而这三部分的表现形式与研究方法都可以代数化.也就是说初等代数是高中数学的绝对重点!本章我们就要学习初等代数的重要组成部分:不等式. 本节为初中内容的拓展,重点探索不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异. 知识精讲 一、实数的大小比较 关于实数,大小的比较,有以下基本事实:如果是正数,那么；如果等于,那么；如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为；；. 这种比较方法称为作差法,是证明不等式的基本方法之一,同样的还有作商法: 当时(时结论相反),；；. 重点提醒 二、重要不等式 ,,当且仅当时等号成立. 事实上,根据,我们可以得到,即.当且仅当时等号成立. 重点提醒 三、等式性质与不等式性质 1.等式的性质: ; ,; ; ; ,. 2.不等式的性质: ; ,; ; ,; ,; ,,; ,,; ； ,. 经典例题 类型一 建立不等关系 例1 中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位:),若体积不超过,用数学关系式可表示为( ) A．且 B．且 C．且 D．且 例2 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本．设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 类型二 作差法比较大小 例3 若,则下列命题正确的是( ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 例4 若,,则M、N的大小关系是M N 类型三 作商法比较大小 例5 若,那么下列不等式一定成立的是( ) A． B． C． D． 例6 从下列三组式子中选择一组比较大小: ①设,比较的大小； ②设,比较的大小； ③设,比较的大小. 注:如果选择多组分别解答,按第一个解答计分. 例7 对于实数,,,下列选项正确的是( ) A．若,则 B．若,则 C．若,则, D．若,,则 类型四 不等式性质的运用 例8 已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设糖全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,不必证明.并利用此结论证明: 若为三角形的三边长,则. 试用不等式分别表示加糖前后糖水的浓度. 重点提醒 例9 (1)比较和的大小； (2)已知,,证明: 类型五 求取值范围 例10 已知实数满足,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 例11 已知且,求的取值范围( ) A． B． C．或 D．或 实战演练 1.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题:今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何?其意是:今有人出钱576,买竹子78根,拟分大､小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大､小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中大竹子每根的单价可能为( ) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 2.若,则下列命题正确的是( ) A．若,则 B．若,则 C．若,那么 D．若,则 3.已知,,则下列不等式成立的是( ) A． B． C． D． 4.已知,则下列结论正确的是( ) A．若,且,则 B．若,则 C．若,且,则 D．若,且,则 5.若,则、、、中最小的是 . 6.下列选项正确的是( ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 7.在下列四个命题中,正确的是( ) A．若,则 B．若,,则 C．已知,,则 D．已知,若,,则 8.排序不等式:设为两组实数,是的任一排列,那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时,反序和等于顺序和. (1)设为实数,是的任一排列,则乘积的值不会超过___________. (2)设是个互不相同的正整数,求证:. (3)有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第个人的水桶需要分钟,假定这些各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少? 学霸笔记 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire. 2.1等式性质与不等式性质 本节聚焦 中学数学包含数学研究的两大分支:代数与几何(函数相关内容大部分时间只是作为学习代数的载体,并不含有多少分析学的知识).在高中阶段,几何相关内容包括平面向量,立体几何,平面解析几何,而这三部分的表现形式与研究方法都可以代数化.也就是说初等代数是高中数学的绝对重点!本章我们就要学习初等代数的重要组成部分:不等式. 本节为初中内容的拓展,重点探索不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异. 知识精讲 一、实数的大小比较 关于实数,大小的比较,有以下基本事实:如果是正数,那么;如果等于,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为;;. 这种比较方法称为作差法,是证明不等式的基本方法之一,同样的还有作商法: 当时(时结论相反),;;. 重点提醒 二、重要不等式 ,,当且仅当时等号成立. 事实上,根据,我们可以得到,即.当且仅当时等号成立. 重点提醒 三、等式性质与不等式性质 1.等式的性质: ; ,; ; ; ,. 2.不等式的性质: ; ,; ; ,; ,; ,,; ,,; ; ,. 经典例题 类型一 建立不等关系 例1 中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位:),若体积不超过,用数学关系式可表示为( ) A.且 B.且 C.且 D.且 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过,得, 由体积不超过,得. 故选:C 例2 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来. 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】由题意列不等式组即可. 【详解】组建中型图书角x个,则组建小型图书角个, 由题意得 类型二 作差法比较大小 例3 若,则下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质,运用特殊值法计算判断选项A,D,运用作差法计算判断选项B,C. 【详解】若,,则,故A错误; 因为, 若,则,,, 所以,即,故B正确; 因为, 若,则,, 所以,即,故C错误; 令,,则,,故D错误. 故选:B. 例4 若,,则M、N的大小关系是M N 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】令,对进行化简后作差求解. 【详解】令,则,, , 所以. 故答案为: 类型三 作商法比较大小 例5 若,那么下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】作差比较大小可以判断AD;作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A,因为,所以,故A正确; 对于B,,故B错误; 对于C,,,所以,因为,所以,所以,故C正确; 对于D,,故D正确. 故选:ACD. 例6 从下列三组式子中选择一组比较大小: ①设,比较的大小; ②设,比较的大小; ③设,比较的大小. 注:如果选择多组分别解答,按第一个解答计分. 【答案】①; ②; ③; 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】①利用有理根式可得,再由即可得的大小关系; ②用作差法比较即可; ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解: ① , 因为, 所以, 即; . ② , . ③ 方法一(作差法) , 因为,所以, 所以, 所以. .. 方法二(作商法)因为,所以, 所以, 所以. . 例7 对于实数,,,下列选项正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则, D.若,,则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A,因为,所以,, 所以,故A正确; 对选项B,,,所以, 因为,所以,即,故B正确; 对选项C,令,,满足,不满足,,故C错误; 对选项D,因为,, 所以,故D正确. 故选:ABD. 类型四 不等式性质的运用 例8 已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设糖全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,不必证明.并利用此结论证明: 若为三角形的三边长,则. 试用不等式分别表示加糖前后糖水的浓度. 重点提醒 【答案】糖水不等式,;证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式;根据糖水不等式,结合三角形三边关系可得,,,将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大,则糖水变甜,得到不等式,. 证明:因为为三角形的三边长,则有,,, 由糖水不等式可得,,, 将以上不等式左、右两边分别相加,得, 即. 例9 (1)比较和的大小; (2)已知,,证明: 【答案】(1);(2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】(1)展开后作差比较大小; (2)根据不等式的性质先证明,然后证明,最后再证明. 【详解】(1)因为, 所以. (2)证明:因为,所以,, 于是,即, 由,得. 类型五 求取值范围 例10 已知实数满足,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】令,得到,求得,得到,即可求解. 【详解】令,联立方程组,解得 , 则, 因为,可得, 所以,所以,即. 故选:B. 例11 已知且,求的取值范围( ) A. B. C.或 D.或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先将用,表示出来,根据已知的与的取值范围,再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为, 所以, 又因为,将与的取值范围相加, 所以, 即. 故选:. 实战演练 1.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题:今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何?其意是:今有人出钱576,买竹子78根,拟分大､小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大､小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中大竹子每根的单价可能为( ) A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 【答案】C 【解析】依题意可设买大竹子,每根单价为,购买小竹子,每根单价为, 所以,即,即, 因为,所以, 根据选项,,所以买大竹子根,每根元.故选:C 2.若,则下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,那么 D.若,则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取,有,A错误; 因为,所以,所以,所以,B正确; 取,显然,C错误; 因为,所以,即,D错误. 故选:B 3.已知,,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质及作差法判断各项不等式的正误. 【详解】A:由,则,对; B:若时,错; C:由,则,故,对; D: 又,则,故 即, 所以,错. 故选:AC 4.已知,则下列结论正确的是( ) A.若,且,则 B.若,则 C.若,且,则 D.若,且,则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断AD选项;利用不等式性质可判断BC选项. 【详解】对于A,若,且,则,即,不知道的符号, 则的符号无法确定,即不一定成立,A错; 对于B,若,则,且,所以,所以,B对; 对于C,若,且,则,所以,C对; 对于D,,若,且,则,, 所以,所以,D错. 故选:BC 5.若,则、、、中最小的是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为,所以,, 因为,,所以, 即 故答案为: 6.下列选项正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】A选项,利用立方根的性质可得A正确;BC选项,可根据不等式的性质进行推理,D选项可举出反例. 【详解】A选项,若,则,A正确; B选项,因为,所以,B正确; C选项,因为,所以由倒数法则得, 因为,由不等式性质(同向同正可乘性)知,C正确; D选项,举反例:当时,满足,, 此时,则,D错误. 故选:ABC 7.在下列四个命题中,正确的是( ) A.若,则 B.若,,则 C.已知,,则 D.已知,若,,则 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质即可求解AB,利用整体法,结合不等式的性质求解C,利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由,故,故A错误, 对于B,由于,所以, 又,所以, 又,故,故, 因此,故B错误, 对于C,由于,结合,, 则,故C正确, 对于D, ,由于,, 故,即,故D正确, 故选:CD 8.排序不等式:设为两组实数,是的任一排列,那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时,反序和等于顺序和. (1)设为实数,是的任一排列,则乘积的值不会超过_. (2)设是个互不相同的正整数,求证:. (3)有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第个人的水桶需要分钟,假定这些各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少? 【答案】(1); (2)证明见解析; (3)答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、由不等式的性质证明不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】(1)设两组数与,由”乱序和顺序和“可得. (2)设两组数:与,由”乱序和序和“可得. (3)由题意求出等候总时间的表达式为,设两组数:与,由”乱序和序和“可得等候的最少总时间. 【详解】(1)依题意,是的任一排列, 设两组数与, 则可看作与两组实数的“乱序和”; 设也是的一个排列,且, 其中满足集合. 则为与两组实数的”顺序和“, 且. 则由排序不等式:乱序和顺序和, 得. 故答案为:. (2)设两组数:与. 由是个互不相同的正整数, 设是的一个排列,且满足, 即是这个互不相同的正整数从小到大的排列, 因此,又, 由排序不等式:乱序和序和,得 , 所以. (3)依题意,水龙头注满第个人的水桶需要分钟, 则第个人打水时,即个人都在等,需要等候总时间为, 则所有人打完水,他们等候的总时间为, 设两组数:与,由假定,这些各不相同, 设为的一个排列,且, 又因为, 由排序不等式:乱序和反序和,得, 所以只有一个水龙头时,要使他们等候的总时间最少,应安排需要时间最少的人总是先打水, 即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水, 等候的总时间最少为,其中为从小到大的一个顺序排列. 【点睛】关键点点睛:根据题意理解并正确应用排序不等式解决问题,关键有两点:一是要先弄清楚排序不等式的研究对象,确定好所需研究的两组数是哪两组数;二是要明确或设出两组数分别的大小排序,有”序“,才有”反序和“､”乱序和“､”顺序和"的不等关系. 学霸笔记 2 1 学科网(北京)股份有限公司 $