2.1认识实数 课件2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

2.1 认识无理数 学习目标 1、通过拼图活动,感受无理数产生的背景和引入的必要性。 2、会借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想（重点） 3、明确无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数（难点） 一、知识回顾 (1)什么是有理数？ 整数和分数统称为有理数. (按定义分） 有理数 整数 分数 （按性质分） 有理数 正有理数 负有理数 0 (2)有理数的分类 有理数进行分类 有理数 正整数 正分数 负分数 整数 分数 负整数 按定义分 按性质（正、负）分 有理数 正有理数 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 零 零 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 任务一：是有理数吗？（指向目标1） a= ? 5 越来越大， 所以a不可能是整数 a可能是整数吗? a可能是以2为分母的分数吗? 结果都为分数， 所以a不可能是以2为分母的分数。 a可能是分数吗? a可能是以3为分母的分数吗? a不可能是以3为分母的分数。 两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以 a不可能是分数。 a既不是整数又不是分数，所以a一定不是 。 那么a到底是什么数呢？ 有理数 做一做 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ b2=5 b既不是整数，也不是分数， 那么一定不是有理数 S=22+12=5 a2=2，b2=5，数a，b确实存在，但都不是有理数 在解决实际问题时,我们发现原来学习的有理数远远不能满足解决实际问题的需要,也就是存在这样的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不是有理数． 1. 在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长(　　) A.是有理数　　 B.不是有理数 C.不确定 D.4 B 即时评价1 2. 以下各正方形的边长不是有理数的是 （　　） A. 面积为25的正方形 B. 面积为 的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形 C 11 3.已知直角三角形的两条直角边长分别为5和3，算一算斜边长x的平方，x是整数（或分数）吗？ x不是整数,也不是分数，不是有理数. 3 5 x 解:由勾股定理得： x2=52+32=34 12 4.如图,等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 2 h A B C 解:在等边△ABC中，AD⊥BC ∴BD=CD=1, 在Rt△ABD中，由勾股定理得： h2=22-12=3 D h不是整数,也不是分数，不是有理数. (1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ (2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分呢？……完成下列表格： 1 a 2 面积为 2 问题2：a 究竟是多少？ 面积为 1 面积为 4 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数. 任务二：无理数的认识（指向目标2） 14 借助计算器，我们进行如下探索： 边长 面积 想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？ 借助计算器我们可以求出面积为2的正方形的边长的不同精确度的近似值： 借助计算器我们可以无限的计算下去，所以不是一个有限小数，而是一个无限不循环的小数. 这种无限逼近求一个数的近似值的方法，我们称为“无限近逼法”. 无限不循环小数称为无理数. 要点归纳 无理数有很多，常见的有以下形式： ①π及含有π的式子表示的数, ②有规律的无限不循环小数， 如0.1010010001（每两个1之间依次增加一个0） ③开方开不尽的数（后面学习） 17 【例】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （相邻两个1之间0的个数逐次加2） 解：有理数有： 无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 1.判断下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数; （ ） （3）有理数都是有限小数; （ ） （4）不是有限小数的不是有理数. （ ） ✘ ✔ ✘ ✘ 【即时评价2】 (2)下列一组数：-8，2.5，30,π, 0.161616 … ，0.6，0.080 080 008…（相邻两个8之间依次增加一个0），其中无理数有 （　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 20 2.1.2学 习 目 标（P26-P28） 1 2 3 理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类； 经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想； 在观察小数特征的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力. 综上：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示； 反之，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 议一议 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 发现：整数可以表示为有限小数； 分数可以化为有限小数或无限循环小数。 有理数的小数表示有什么共同特征？ 3， ， ，－ ， 。 解： 3 = 3.0 ； = 0.8； = 0.， － = －0.1 ； = 0. 。 随堂练习 无理数有： －π, 0.123 456 789 101 112 13…(小数部分由相继的正整数组成)。 解：有理数有：0.4583 ，3.，－ ，18， －234.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)； 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，3. ，－π，－ ，18 ，－ ，3.9 ， －234.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)， 0.123 456 789 101 112 13…(小数部分由相继的正整数组成)。 尝试·思考 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 (1)请你把下面各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 0.4583 ，3.，18， 0.123 456 789 101 112 13… －π ， －， ， －234.101 010 10… 0.4583，3. ，－π，－ ，18 ，－ ，3.9 ， －234.101 010 10…(相邻两个1之间有1个0)， 0.123 456 789 101 112 13…(小数部分由相继的正整数组成)。 学一学 三、实数的概念： 有理数和无理数统称实数。 四、实数的分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 0 负有理数 负无理数 正整数 正分数 负整数 负分数 跟踪训练 把下列各数填入相应的集合内. 0，，0.4，-，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-|-3|，-，3.14，10. (1)非负有理数集合：{ …}； (2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{ …}； 0，，0.4，2，3.14，10 -，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1) ，0.4，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，3.14，10 -，-|-3|，- 探究新知 26 a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示?若a≠0,则它的倒数如何 表示? 实数a的相反数为－a ； |a| = a (a ＞ 0) 0 (a = 0) －a (a ＜ 0) 当实数a≠0,则它的倒数为 。 五、实数的性质： 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 思考 (1)相反数是_____，-π的相反数是_____，0的相反数是_____； (2)||=_____，|-π|=_____，|0|=_____. π 0 π 0 知识点3 实数的相关概念 探究新知 28 思考 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间要如何计算？ 知识点4 实数的运算 实数的运算: 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 探究新知 29 例2 计算:-12024+()-2-(π-3.14)0. 解:(1)原式=-1+4-1=2. 知识点4 实数的运算 当堂检测 30 思考 前面课程讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5. (1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数? 因为OA2=OB2=12+12=2=a2， 所以OA=a，所以点A 即为无理数a在数轴上对应的点. 知识点5 实数与数轴上点的关系 当堂检测 31 (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗? 能.实数b在数轴上对应的点为点C，如图所示. 知识点5 实数与数轴上点的关系 当堂检测 32 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数和数轴上的点一 一对应 知识点5 实数与数轴上点的关系 当堂检测 33 知识点1 无理数的概念 1.［2024泸州中考］下列各数中，无理数是( ) D A. B.3.14 C.0 D. 返回 中考考法 34 2.下列说法中正确的是( ) D A.有理数是有限小数 B.无限小数都是无理数 C.0既不是有理数，也不是无理数 D.无理数是无限不循环小数 返回 中考考法 35 3.［教材例题变式］ 在，，0， （相邻两个1之间2的个数逐次加1），， 中， 有理数是_____________________， 无理数是________________。 ，0，， ，（相邻两个1之间2的个数逐次加1） 返回 中考考法 36 知识点2 实数的概念及分类 4.下列说法不正确的是( ) B A.实数包括正实数、零、负实数 B.正整数和负整数统称整数 C.无理数一定是无限小数 D.负实数包括负有理数和负无理数 返回 中考考法 37 5.［教材尝试·思考变式］ 将下列各数：， ， ，，，，， （相邻两个3之间0的个数逐次加1）， （小数部分由 相继的正奇数组成）填入相应的大括号内（填序号） （1）正整数集合：{____…}； （2）负实数集合：{________…}； （3）无理数集合：{________…}。 ② ①③④ ⑦⑧⑨ 返回 中考考法 38 知识点3 实数的性质及实数与数轴的关系 6.实数 的倒数是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 39 7.与数轴上的点一一对应的数是( ) D A.分数 B.有理数 C.无理数 D.实数 返回 中考考法 40 8.如图，数轴上表示实数 的点可能是( ) C A.点 B.点 C.点 D.点 返回 中考考法 41 9. 的相反数是__________，绝对值是__________。 返回 中考考法 42 实数 按概念分类：有理数、无理数 无理数：无限不循环小数 有理数和无理数统称实数 分类 概念 按正负性分类：正实数、0、负实数 相反数、倒数、绝对值 相关概念 与有理数一样能进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则、运算律对实数仍然适用 实数和数轴上的点是一一对应的 运算 性质 课堂小结 $