5.4函数的奇偶性学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

5．4　函数的奇偶性 5．4.1　函数的奇偶性(1) 1. 结合具体函数，理解奇偶性的含义和几何意义. 2. 会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性． 活动一 探究偶函数和奇函数的概念 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影……这种“对称美”在数学中也有很多．今天，让我们开启知识的大门，进入更加精彩纷呈的函数奇偶性的学习． 思考1►►► 作出函数y＝x2，y＝x2＋1的图象，思考并讨论以下问题： (1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？ (2) 如何用数量关系来表述上述特征？ 思考2►►► 作出函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，思考并讨论以下问题： (1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？ (2) 如何用数量关系来表述上述特征？ 1. 偶函数和奇函数的定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性． 2. 偶函数和奇函数图象的特点： 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 活动二 探究偶函数和奇函数定义域的特征 思考3►►► 对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ (1) 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； (2) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； (3) 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； (4) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x) 不是奇函数． 奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 活动三 探究判断函数的奇偶性的方法 例1　判断下列各函数的奇偶性： (1) f(x)＝x4－1； (2) f(x)＝2x； (3) f(x)＝2|x|； (4) f(x)＝(x－1)2. 例2　判断函数f(x)＝x3＋5x是否具有奇偶性． 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3) f(x)＝； (4) f(x)＝0. 1. 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数． 2. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称；②再判断f(x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立． 活动四 探究函数奇偶性的简单应用 例3　(1) 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________； (2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1，2a]，求函数f(x)的值域． 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． 1. 函数f(x)＝＋(　　) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 2. (2024吉林田家炳高级中学月考)若f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数，则实数a的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 0 D. －2 3. (多选)下列函数中，图象关于y轴对称的有(　　) A. f(x)＝x＋ B. f(x)＝ C. f(x)＝ D. f(x)＝x－ 4. (2025汕尾期末)若函数f(x)＝(x－a)(x＋2)为偶函数，则实数a的值为__________． 5. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝3，x∈R； (2) f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]； (3) f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|. 5．4.2　函数的奇偶性(2) 1. 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质． 2. 应用函数的性质解决简单的问题. 3. 体会数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用. 活动一 巩固函数奇偶性的概念，判断复杂函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝ 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝(x－2)； (2) f(x)＝ 活动二 利用函数奇偶性求函数解析式及单调区间 例2　已知奇函数f(x)＝ (1) 求实数m的值，并在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象； (2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定实数a的取值范围． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式并求其单调区间． 求给定区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为已知区间上的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 活动三 探究奇函数与偶函数的单调性 思考1►►► 观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？ 　　 思考2►►► 能否证明一下思考1中的结论(不妨以“已知f(x)在区间[a，b](a>0)上单调递增”为例). 思考3►►► 如图，在两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？ 　　 例3　已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上单调递增．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求实数a的取值范围． 已知f(x)是R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围． 1. 函数奇偶性和单调性的关系： (1) 若f(x)是奇函数，且f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在区间[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性． (2) 若f(x)是偶函数，且f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在区间[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性． 2. 利用单调性和奇偶性解不等式的方法： (1) 充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性去掉“f”求解．特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)<f(x2)转化为f(|x1|)<f(|x2|)的形式，利用x∈[0，＋∞)的单调性求解． (2) 在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 活动四 函数奇偶性与单调性的综合应用 例4　已知函数f(x)满足：当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1) 求证：函数f(x)是奇函数； (2) 若当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－，试求函数f(x)在区间[－2，6]上的最值． 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0. (1) 求证：f(0)＝1； (2) 判断函数y＝f(x)的奇偶性． 判断抽象函数的奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，认真体会赋值法在解题中的作用． 1. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间[1，5]上单调递增，则下列各式中一定成立的是(　　) A. f(－4)>f(5) B. f(－2)>f(3) C. f(5)<f(3) D. f(－2)>f(－1) 2. (2024德化二中期中)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－1，则f(－2)的值为(　　) A. － B. － C. －3 D. 3 3. (多选)(2025眉山实验高级中学期末)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A. y＝－ B. y＝|x| C. y＝－x D. y＝x2－1 4. (2025北京石景山期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝3x2－2x，则当x>0时，f(x)＝________． 5. (2024宏图中学月考) 已知函数 f(x)＝. (1) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明； (2) 求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； (3) 求函数f(x)在区间[－6，－2]上的最大值和最小值． 5．4　函数的奇偶性 5．4.1　函数的奇偶性(1) 【活动方案】 思考1：(1) 这两个函数的图象都关于y轴对称． (2) 对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x). 思考2：(1) 这两个函数的图象都关于原点对称． (2) 对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x). 思考3：(1) 根据偶函数的定义知，对任意的x∈R，都有－x∈R，并且f(－x)＝f(x)， 所以f(－2)＝f(2)，故正确． (2) 如f(x)＝x(x2－4)是奇函数， 满足f(－2)＝f(2)，故不正确． (3) 因为f(－2)≠f(2)，所以“对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)”不成立，即f(x)不是偶函数，故正确． (4) 如f(x)＝x(x2－4)是奇函数， 满足f(－2)＝f(2)，故不正确． 例1　(1) 函数f(x)＝x4－1的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4－1＝x4－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (2) 函数f(x)＝2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2×(－x)＝－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． (3) 函数f(x)＝2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2×|－x|＝2|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (4) 函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R. 因为f(1)＝0，f(－1)＝4， 所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)， 所以根据函数奇偶性的定义，可得函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 例2　函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数． 跟踪训练　(1) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． (2) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (3) 函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数． (4) 函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝0＝f(x)，且 f(－x)＝0＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 例3　(1) 1　因为函数y＝(x＋1)(x－a)＝x2－(a－1)x－a为偶函数，所以x2－(a－1)x－a＝x2＋(a－1)x－a，所以a－1＝－(a－1)，所以 a＝1. (2) 由题意，得a－1＋2a＝0，所以a＝， 则f(x)＝x2＋bx＋1＋b. 因为f(x)为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，所以b＝0， 所以f(x)＝x2＋1， 所以函数f(x)在区间上的值域为. 跟踪训练　　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以(2a－1)x＝0，所以a＝. 【检测反馈】 1. D　由得x2＝1，即x＝±1，所以函数f(x)的定义域为{－1，1}．因为对任意x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 2. B　因为f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－(－1)3＋(a－2)×(－1)2＋(－1)＝－[－13＋(a－2)＋1]，解得a＝2，所以f(x)＝－x3＋x，则f(－x)＝－(－x)3＋(－x)＝x3－x＝－(－x3＋x)＝－f(x)，满足f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数．故a的值为2. 3. BC　对于A，函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误；对于B，函数f(x)＝的定义域为R，因为 f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确；对于C，函数 f(x)＝的定义域为R，因为f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；对于D，函数f(x)＝x－的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D错误．故选BC. 4. 2　由题意可知f(－x)＝f(x)，即(x－a)(x＋2)＝(－x－a)(－x＋2)，整理，得x2＋(2－a)x－2a＝x2＋(a－2)x－2a，即2(a－2)x＝0对x∈R恒成立，所以a－2＝0，解得a＝2. 5. (1) f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝3＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2) f(x)的定义域为[－3，3].因为对于任意的x∈[－3，3]，都有－x∈[－3，3]，且f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (3) f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 5．4.2　函数的奇偶性(2) 【活动方案】 例1　(1) 由题意，得 所以 所以－1≤x<0或0<x≤1，关于原点对称， 所以f(x)＝. 因为对于任意的x∈[－1，0)∪(0，1]，都有－x∈[－1，0)∪(0，1]，且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (2) 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－x2＋2x－3＝－f(x)；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3＝－f(x). 又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数． 跟踪训练　(1) 由≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2) 当x<－1时，－x>1， 所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)； 当x>1时，－x<－1， 所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)； 当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1， 所以f(－x)＝0＝f(x)， 所以对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． 例2　(1) 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2. y＝f(x)的图象如图所示： (2) 由(1)知，f(x)＝ 由图象可知，f(x)在区间[－1，1]上单调递增， 要使f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增， 只需解得1＜a≤3， 故实数a的取值范围为(1，3]. 跟踪训练　当x<0时，－x>0， 所以 f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1. 因为 f(x)是R上的奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－1，f(0)＝0， 所以 f(x)＝且f(x)的增区间为R. 思考1：两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧的对称区间上，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同． 思考2：已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上单调递增．证明：f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增． 证明：任取x1，x2∈[－b，－a]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1). 因为－b≤x1<x2≤－a，所以a≤－x2<－x1≤b. 又f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以f(－x2)<f(－x1)，　 所以f(－x2)－f(－x1)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间[－b，－a]上单调递增． 思考3：偶函数的图象在对称区间上单调性相反． 例3　因为f(a－2)＋f(3－2a)<0， 所以f(a－2)<－f(3－2a). 又f(x)为奇函数，所以f(a－2)<f(2a－3). 因为f(x)在区间[0，1)上单调递增， 所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增， 所以所以 所以1<a<2， 故实数a的取值范围为(1，2). 跟踪训练　因为f(x)是偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以其图象关于y轴对称，且f(x)在区间(－∞，0]上单调递减． 由于f(－2a＋3)>f(2a－1)成立， 根据其图象性质可知|－2a＋3|>|2a－1|， 两边平方，得(－2a＋3)2>(2a－1)2， 整理，得8>8a，解得a<1， 所以实数a的取值范围为(－∞，1). 例4　(1) 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x， 则f(0)＝f(x)＋f(－x). 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0， 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2) 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1). 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0， 所以f(x2)－f(x1)<0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． 又f(x)是奇函数，则f(x)在R上是减函数， 所以f(－2)为最大值，f(6)为最小值． 因为f(1)＝－，所以f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3， 所以f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3. 跟踪训练　(1) 令x＝0，y＝0，得2f(0)＝2×[f(0)]2， 所以f(0)＝0或f(0)＝1. 又f(0)≠0，所以f(0)＝1. (2) 令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y). 又f(0)＝1，即f(－y)＝f(y)， 即对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． 【检测反馈】 1. D　由题意，得f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，5]上单调递增．对于A，f(－4)＝f(4)<f(5)，故A错误；对于B，f(－2)＝f(2)<f(3)，故B错误；对于C，f(5)>f(3)，故C错误；对于D，因为f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，且 f(2)>f(1)，所以f(－2)>f(－1)，故D正确． 2. C　因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3. 3. BD　对于A，y＝－为奇函数，不符合题意，故A错误；对于B，y＝|x|为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y＝－x为奇函数，不符合题意，故C错误；对于D，y＝x2－1为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD. 4. －3x2－2x　令x>0，则－x<0.因为f(x)是定义在R的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[3(－x)2－2(－x)]＝－3x2－2x. 5. (1) f(x)为奇函数，证明如下： 由题意，得函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0，且x∈R}， 则∀x∈D，都有－x∈D， 且f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2) 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为0<x1<x2, 所以x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． (3) 因为f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在区间[－6，－2]上单调递增， 所以当x＝－6时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(－6)＝－； 当x＝－2时，f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(－2)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $