精品解析：江苏省泰州市第二中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段检测数学试题

2024-2025学年高一年级春学期第二次阶段检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 已知是虚数单位，，则复数的模为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，由结合复数相等计算出，由模长公式可得答案. 【详解】设，由得，故，即，. 故选：A. 2. 已知平面向量的夹角为，，，则＝（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算即可得． 【详解】由题意， ， 故选：D. 【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为向量的数量积的运算． 3. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平均数，极差，百分位数，方差的定义即可判断. 【详解】该队员得分的平均数是，故A正确； 极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误. 故选：D 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】①，若，，则，①正确. ②，若，，则m，n有可能平行或异面；②不正确. ③，若，，由线面垂直的判定定理可得，，③正确. ④，若，，，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，④不正确， 故选：B. 5. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ． 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可． 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得， 所以. 故选：A. 8. 《周易·系辞》曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图1是八卦模型图，图2是根据八卦图抽象而得的正八边形与其内部的圆，其中，圆的直径为为正八边形的中心，为正八边形边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点作交于，则由正八边行的对称性可知为的最小值，则利用向量的加减法运算得，所以只要求出的最小值即可，解法一：延长交于，连结，利用正八边形的性质求解，解法二：在中，利用余弦定理求解，解法三：求出，再结合求解. 【详解】如图，过点作交于， 则由正八边行的对称性可知为的最小值， 则， ， 所以最小值为， 的长度解法提供以下三种解法： 解法一：延长交于，连结由正八边形的对称性显然有，且易得为等腰直角三角形． 依题可知，所以． ， 所以 所以最小值为 解法二：在中，，设， 由余弦定理得，解得， 所求最小值为． 解法三：由（或解得） 由，解得， 所求最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本小题主要考查向量的数量积、余弦定理等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，解题的关键是灵活运用正八边形的性质，考查数形结合、化归与转化等思想，体现综合性、应用性，导向对发展数学直观、数学运算等核心素养的关注． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数在复平面对应的点在第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 为纯虚数，则实数 D. 复数z满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的乘法可得，根据几何意义即可求解A，举反例即可求解B，根据纯虚数的定义即可求解C，根据共轭复数的定义求解D. 【详解】对于A，复数在复平面对应的点为在虚轴上，故A错误， 对于B，若，满足，但不相等，故B错误， 对于C，为纯虚数，可得，可得，故C正确， 对于D，由得，所以，故，D正确， 故选：CD. 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则满足条件的三角形有2个 D. 若不是直角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；对于B，由为锐角三角形，则，即，结合正弦函数的单调性和诱导公式可判断；对于C，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；对于D，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案； 【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得， 即， 因为，，所以，， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由为锐角三角形，则，即， 所以，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 即， 即，解得， 由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故C错误； 对于D，因为不是直角三角形，且， 所以， 即， 所以，故D正确. 故选：BD 11. 正方体中，分别为的中点，为侧面内一点，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 线段上不存在点，使与所成角为30° C. 当∥平面时，的最大值为 D. 当点为侧面中心时，平面截正方体所得的截面为五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，假设存在平面，利用反证法分析判断，对于B，由∥，得是异面直线与所成角，然后在直角中求解判断，对于C，取中点中点，可证得平面∥平面，则平面，所以，从而可求出的最大值，对于D，根据平面的性质作出截面判断. 【详解】设正方体的棱长为2 对于A，若存在平面，因为平面，则平面平面，矛盾， 故不存在点使平面，故A错误； 对于B，因为∥，则是异面直线与所成角， 因为平面平面，为直角三角形，，， 则，所以不存在点使与所成角为，故B正确； 对于C，取中点中点，则∥，平面平面， 则∥平面，因为∥平面平面， 则∥平面，，所以平面∥平面， 因为∥四点共面，平面∥平面， 所以∥平面时，平面， 平面平面， 在中，边上的高满足，则，，故C正确； 对于D，过作∥交于，过作∥交于，∥且，延长相交于平面，为中点，且为中点，所以∥且， 即三点共线且， 连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，∥，所以， 连接与相交于点∥，所以， 连接与相交于点，由对称性可得， 连接，则平面截正方体所得的截面图形为五边形，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本小题以正方体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；解题的关键是结合正方体的性质求解，考查空间想象能力、推理论证能力等；导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性，属于较难题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知 ，则在上的投影向量为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 14. 已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线， 所以，即，所以， 因为，所以，则，解得， 因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，即，即， 所以，解得， 所以三角形的周长为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解    。 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出与的坐标；再根据平面向量垂直的坐标运算即可求解. （2）先根据平面向量共线的坐标表示得出，进而得出的坐标；再根据平面向量模的坐标运算即可解答. 【小问1详解】 ，， ； . 又与垂直， ，解得：. 【小问2详解】 由（1）知：；. 与共线， ，解得：. . 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 如图，取中点，连接， 由于分别为的中点，故，且， 又，可得，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明，可得平面； （2）通过证明平面，可知为直线与平面所成的角，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面底面， 又平面， 平面，又平面. 由为的中点，所以， 又平面平面， 直线在平面内的射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面底面可得，， 为等腰直角三角形，且平分， ，所以直线与平面所成的角为. 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式和正弦定理再结合同角三角函数基本关系计算可得； （2）由正弦定理和同角三角函数关系得到，再由锐角三角形可得，从而得到，最后由三角形的面积公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理，得， 易知，所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由题设及（1）可知，的面积， . 为锐角三角形， ，解得， ， 又， . 18. 随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235 B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215 （1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ （3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 【答案】（1）A的平均值为215分钟，B的平均值为220分钟，A、B的方差分别为，且 （2）①15元；②52元 （3）选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升 【解析】 【分析】（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可； （2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可； （3）根据以上的运算，分析可以得出结论. 【小问1详解】 （分钟）， （分钟）， 总体的平均数， 总体的方差 【小问2详解】 ①按照小区方案，小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元， 每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）； ②由（1）知，小区平均每位住户每周需要220分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟）， 小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类， 一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准， 一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5名普通居民对生活垃圾分类的效果， 小区一月需要专职工作人员至少（名）， 则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）， 【小问3详解】 根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说， 选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项； 如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户， 综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示，连接，由题意可知面ABC，四边形是菱形. ∵面ABC，∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 显然面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）通过几何图形的性质证明即可； （2）构造线面平行，求得F到平面的距离结合三棱锥的体积公式计算即可； （3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I， 过I作分别交的延长线于H、N， 易知分别是的中点， 则由条件可得，面，面，故面， 即到面的距离等于到面的距离， 由（1）得，面，所以面，是直角三角形， 在菱形中，易得， 所以，即到面的距离为， ，所以； 【小问3详解】 如图所示，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接， 过G作交于M，连接MD， 易得，面，面，故面， 又结合（1）的结论有，故二面角为， 所以， 在菱形中，作，易得， 易知为直角三角形，故. 【点睛】本题关键在于求F到面BDE的距离，通过构造线面平行来转化是求点面距离的常用方法；另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一年级春学期第二次阶段检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 已知是虚数单位，，则复数的模为（ ） A. B. C. 5 D. 3 2. 已知平面向量的夹角为，，，则＝（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 《周易·系辞》曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图1是八卦模型图，图2是根据八卦图抽象而得的正八边形与其内部的圆，其中，圆的直径为为正八边形的中心，为正八边形边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数在复平面对应的点在第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 为纯虚数，则实数 D. 复数z满足，则 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则满足条件的三角形有2个 D. 若不是直角三角形，则 11. 正方体中，分别为的中点，为侧面内一点，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 线段上不存在点，使与所成角为30° C. 当∥平面时，的最大值为 D. 当点为侧面中心时，平面截正方体所得的截面为五边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知 ，则在上的投影向量为______________. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 14. 已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若与共线，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 随着社会的进步､科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存､分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A､B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 185 220 225 205 235 B小区（分钟） 205 195 245 235 225 215 （1）分别计算小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；以及两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ （3）市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $