22.1二次函数的图象和性质基础2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数的图象和性质

知识要点

知识点一、二次函数的概念

一般地，形如 y=ax2+bx+c（a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数.

若 b=0，则 y=ax2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2，以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而 y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

在二次函数的一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax2叫函数的二次项，bx 叫函数的一次项，c 叫常数项；a叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项

 

【要点分析】

（1）如果 y=ax2+bx+c（a, b, c 是常数，a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数．这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但

 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．

（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号.

【题型1】二次函数定义

【例题1】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数．

（1）若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；

（2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．

 

 

2、下列函数中 ，是二次函数的是（      )

A. y = 2 - x2                                         C. y = (x - 2)2  - x2                              D. y = x3  - 2x +1

【变式1】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ）

A． B． C． D．或

2、已知函数 y = (m -1)x m2 +m + 2x - m 是二次函数 ，求 m 的值 ，并指出二次项系数 ，一次项系数及常 数项.

 

知识点二

1. 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象

二次函数 y=ax2 的图象（如图） ，是一条关于 y 轴对称的曲线 ，这样的曲线叫做抛物线.

抛物线 y=ax2（a≠0）的对称轴是 y 轴 ，它的顶点是坐标原点. 当 a＞0 时 ，抛物线的开口向上 ，顶点它 的最低点； 当 a＜0 时 ，抛物线的开口向下 ，顶点是它的最高点.

2. 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法

描点法画图的基本步骤： 列表 、描点 、连线.

（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的 x 的值 ，求出相应的 y 值 ，填入表中.（自变量 x 值写在第一行 ，其值从左到右 ，从小到大.）

（2）描点： 以表中每对 x 和 y 的值为坐标 ，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地 ，点取的越多 ，图象就越准确.

（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序 ，把所描的点用平滑的曲线连结起来.

【要点分析】

（1） 用描点法画二次函数 y=ax2（a≠0） 的图象时 ，应在顶点的左 、右两侧对称地选取自变量 x 的值， 然后计算出对应的 y 值.

（2） 二次函数 y=ax2（a≠0） 的图象 ，是轴对称图形 ，对称轴是 y 轴．y=ax2（a≠0） 是最简单的二次函数.

（3） 画草图时应抓住以下几点： 开口方向 ，对称轴 ，顶点 ， 与 x 轴的交点 ，与 y 轴的交点.

3. 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数 y=ax2（a≠0） 的图象的性质 ，见下表：

函数		图象	开口方向	顶点坐标	对称轴	函数变化	最大（小）值
y=ax2	a＞0		向上	（0 ，0）	y 轴	x＞0 时，y 随 x 增 大而增大； x＜0 时，y 随 x 增 大而减小.	当 x=0 时， y 最小=0
y=ax2	a＜0		向下	（0 ，0）	y 轴	x＞0 时，y 随 x 增 大而减小； x＜0 时，y 随 x 增 大而增大.	当 x=0 时， y 最大=0

【要点分析】

顶点决定抛物线的位置 ，几个不同的二次函数 ，如果二次项系数 a 相同 ，那么抛物线的开口方向 、 开 口大小完全相同 ，只是顶点的位置不同.  │a│相同 ，抛物线的开口大小 、形状相同.

│a│越大 ，开口越小 ， 图象两边越靠近 y 轴 ， │a│越小 ，开口越大 ， 图象两边越靠近 x 轴.

四 、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质

1. 二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象

 

（1） a 0