4.4 数学归纳法学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.4·数学归纳法 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、了解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的基本步骤 2、能运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题 3、体会数学归纳法在解决无限递推问题中的作用 通过学习数学归纳法，培养逻辑推理素养，提升对数学证明方法的抽象概括能力；运用数学归纳法证明命题，锻炼数学运算与逻辑表达能力 重点 数学归纳法的基本步骤 运用数学归纳法证明 难点 理解数学归纳法归纳递推的原理 运用数学归纳法证明较复杂的命题 新知导入 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列 的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明．那么，对于这类与正整数 有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数 都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法． 一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 时命题成立； （2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 知识清单 知识点一 数学归纳法 1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当__________时命题成立； （2）（归纳递推）以“当__________时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”. 完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有__________都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为__________；（2）若，为真，则__________也为真. 结论：__________为真. 例题讲解 例1 用数学归纳法证明：如果 是一个公差为 的等差数列，那么 ① 对任何 都成立． 例 2 用数学归纳法证明： ① 例 3 已知数列 满足 ，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 例 4 设 为实数，且 为大于 1 的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 课堂练习 1.一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于( ) A.一切自然数成立 B.一切正整数成立 C.一切正奇数成立 D.一切正偶数成立 2.用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是( ) A. B. C. D. 3.用数学归纳法证明不等式：（n为正整数，）时，第一步应验证不等式( ) A. B. C. D. 4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A.假设当时成立，再推出当时成立 B.假设当时成立，再推出当时成立 C.假设当时成立，再推出当时成立 D.假设当时成立，再推出当时成立 5.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为( ) A. B. C. D. 课后练习 1.用数学归纳法证明：，第二步从k到，等式左边应添加的项是( ) A. B. C. D. 2.用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( ) A. B. C. D. 3.已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立. （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立. 由（1）（2）知，对任意的正整数n命题都成立.判断以上评述( ) A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A.假设当时成立，再推出当时成立 B.假设当时成立，再推出当时成立 C.假设当时成立，再推出当时成立 D.假设当时成立，再推出当时成立 5.用数学归纳法证明，时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是( ) A. B. C. D. 6.用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于__________. 7.用数学归纳法证明：. 8.若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明. 答案以及解析 知识清单 1. 正整数n 2.真 例题讲解 例题1 分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明当 时命题成立．第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果当 时 ① 式是正确的，那么当 时 ① 式也是正确的. 证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，① 式成立． （2）假设当 时，① 式成立，即 根据等差数列的定义，有 ，于是 即当 时，① 式也成立．由（1）（2）可知，① 式对任 何 都成立． 例题2 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以＂当 时，① 式成立＂为条件，得出＂当 时，① 式也成立＂的命题，证明时必须用上上述条件． 证明：（1）当 时，① 式的左边 ， 所以 ① 式成立． （2）假设当 时，① 式成立，即 在上式两边同时加上 ，有 即当 时，① 式也成立．由（1）（2）可知，① 式对任何 都成立． 例题3 分析：先将数列 的递推关系 化为 ，通过计算 的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想. 解：由 ，可得 ，由 ， 可得 ，同理可得 归下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当 时，① 式左边 ，右边 ，猜想成立. 纳上述结果，猜想 ① （2）假设当 时，① 式成立，即 那么 即当 时，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立． 分析：该问题中涉及两个字母， 是大于 -1 且不等于零的实数， 是大于 1 的正整数．一种思路是不求和，而直接通过 取特殊值比较 与 的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出 ，再通过 取特殊值比较 与 的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想. 解法 1：由已知可得 当 时， ，由 ，知 ，可得 当 时， ，由 且 ，知 ，可得 由此，我们猜想，当 且 且 时， ． 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当 时，由上述过程知，猜想成立． （2）假设当 ，且 时，不等式成立，即 则 （1）当 时，因为 ，所以 ，所以 （2）当 时， ，且 ．又因为 ，所以 ，可得 综合（1）（2）可得，当 且 时， 所以，当 时，猜想也成立． 由（1）（2）可知，不等式 对任何大于 1 的正整数 都成立． 解法 2：因为 ，所以所给数列是等比数列，公比为 ，于是 当 时， ，由 ，知 ，可得 当 时， ，由 ，得 0 ，可得 由此，我们猜想，当 且 且 时， ． 下面用数学归纳法证明． （1）当 时，由上述过程知，猜想成立． （2） 假设当 ，且 时，不等式 成立， 即 亦即 由 ，得 ．又因为 ，所以 ．于是 所以，当 时，猜想也成立． 由（1）（2）可知，不等式 对任何大于 1 的正整数 都成立． 课堂练习 1.答案：C 解析：已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上， 证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C. 2.答案：D 解析：当时，有不等式， 当时，不等式为， 将上面两式的左边相减可得，由到时，不等式左边应添加的项是. 故选：D. 3.答案：C 解析：因为为正整数，， 所以第一步应验证的情况 所以当时，不等式为， 故选：C. 4.答案：B 解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立. 5.答案：C 解析：从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是， 故选：C. 课后练习 1.答案：C 解析：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于，左边；时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是. 2.答案：A 解析：时，可得：，时，可得：，故增加了项. 3.答案：B 解析：证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论.由等比数列求和公式知命题正确. 4.答案：B 解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立. 5.答案：D 解析：将代入等式，，观察左边最后一项为，则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为. 6.答案：6 解析：由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6. 7.解析：证明：①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.②假设当（，）时，等式成立， 即，那么当时， ，当时，等式也成立. 由数学归纳法基本原理知等式成立. 解析：，，； 由，，，猜想，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立. ①时，，成立； ②假设时，有成立，则当时， ， 所以，时，猜想也成立，故由①，②可知，猜想对都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $