3.3.2抛物线的简单几何性质学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2·抛物线的简单几何性质 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握抛物线的简单几何性质，包括范围、对称性、顶点、离心率等 2、理解抛物线离心率的定义，体会其与椭圆、双曲线离心率的区别与联系 3、体会利用代数方法研究几何图形性质的思想 通过分析抛物线的几何性质，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用抛物线几何性质解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 抛物线的简单几何性质 抛物线离心率的特点 难点 深入理解抛物线各几何性质之间的内在联系 结合抛物线的几何性质，解决与直线和抛物线位置关系相关的问题 新知导入 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应该研究抛物线 y2＝2px (p＞0)，的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率．研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过方程y2＝2px (p＞0)进行计算和推理． 知识清单 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 准线 顶点 ______________ 开口方向 右 左 上 下 对称轴 ______________ ______________ x的取值范围 ______________ ______________ y的取值范围 R ______________ 离心率 例题讲解 例题1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 M(2，)，求它的标准方程． 例题2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B两点，求线段 AB 的长． 例题3 经过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，经过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D，求证：直线 DB 平行于抛物线的对称轴. 例题4 如图，已知定点 B(a，－h)，BC⊥x 轴于点 C，M 是线段 OB 上任意一点，MD⊥x 轴于点 D，ME⊥BC 于点 E，OE 与 MD 相交于点 P，求点 P 的轨迹方程. 课堂练习 1.已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2.点P在抛物线上，则点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在拋物线上，则这个等边三角形的边长为( ) A. B. C. D. 4.设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的标准方程为( ) A. B. C. D. 5.（多选）平面内到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C，下列结论正确的有( ) A.曲线C的方程为 B.曲线C关于y轴对称 C.若点在曲线C上，则 D.若点P在曲线C上，则点P到直线l的距离 6.抛物线上一点到其焦点的距离为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则___________． 8.已知点在抛物线上，且到C的焦点的距离为，则实数_________. 9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程. 课后练习 1.已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为( ) A. B. C.8 D.16 2.已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为( ) A. B.2 C. D.3 3.已知抛物线上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的距离为( ) A. B. C.2 D.4 4.若抛物线上一点M到准线和对称轴的距离均为4，则p的值为( ) A.18 B.4 C.2或18 D.4或9 5.已知圆C的圆心在抛物线上，且圆C过定点，则圆C与直线的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离 6.若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为( ) A.1 B. C.2 D.4 7.（多选）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 8.（多选）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 9.双曲线的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是_______. 10.已知直线过抛物线的焦点，则__________. 11.已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________. 答案以及解析 知识清单 x轴 y轴 R 例题讲解 例题1 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 M(2，)，所以可设它的标准方程为y2＝2px (p＞0)． 因为点 M 在抛物线上，所以 ＝2p×2， 解得 p＝2．因此，所求抛物线的标准方程是 y2＝4x． 例题2 分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为 1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出 A，B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出 |AB|．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求 |AB|． 解：由题意可知，p＝2，＝1，焦点 F 的坐标为 (1，0)， 准线方程为 x＝-1．如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 两点到准线的距离分别为 dA，dB．由抛物线的定义，可知 |AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1， 于是 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2． 因为直线l的斜率为1，且过焦点 F(1，0)，所以直线l 的方程为 y＝x－1.将①代入方程 y2＝4x，得 (x－1)2＝4x，化简，得 x2－6x＋1＝0． 所以 x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8．所以，线段 AB 的长是 8． 例题3 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线 DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图所示的直角坐标系，只要证明点 D 的纵坐标与点 B 的纵坐标相等即可． 解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系 Oxy．设抛物线的方程为 y2＝2px (p＞0)，　　① 点 A 的坐标为，则直线 OA 的方程为② 抛物线的准线方程是　③联立②③，可得点 D 的纵坐标为． 因为焦点 F 的坐标是，当 时，直线 AF 的方程为. ④ 联立①④，消去x，可得，即， 可得点 B 的纵坐标为，与点 D 的纵坐标相等，于是 DB 平行于 x 轴． 当 时，易知结论成立．所以，直线 DB 平行于抛物线的对称轴． 例题4 解：设点 P(x，y)，M(x，m)，其中 0≤x≤a，则点 E 的坐标为 (a，m)． 由题意，直线 OB 的方程为．　　① 因为点 M 在 OB 上，将点 M 的坐标代入①，得 ，　　② 所以点 P 的横坐标 x 满足②．直线 OE 的方程为 ，　　③ 因为点 P 在 OE 上，所以点 P 的坐标 (x，y) 满足③． 将②代入③，消去 m，得 ， 即点 P 的轨迹方程． 课堂练习 1.答案：D 解析：由题意得焦点为，则，而， 得到，即方程，得到离心率，故D正确. 故选：D 2.答案：B 解析：由抛物线定义知，点P到直线的距离等于点P到抛物线焦点的距离，所以点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为焦点到直线的距离，即为.故选B. 3.答案：A 解析：由题意，可设另外两个顶点的坐标分别为，，则，解得，故这个等边三角形的边长为.故选A. 4.答案：B 解析：在中，令，得，解得， 不妨设，，如图， 因为，所以，解得，故C的标准方程为.故选B. 5.答案：AB 解析：由抛物线的定义知，曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其关于y轴对称，方程为，所以A，B正确；由知，点P到直线l的距离，所以C，D错误.故选AB. 6.答案：B 解析：由抛物线上一点， 可得，解得，即， 可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义，可得. 故选：B. 7.答案：3 解析：由抛物线的定义知，即. 故答案为：3. 8.答案：/ 解析：由抛物线的定义可知，， 解得，所以， 将点代入得，，又，所以. 故答案为：. 9.答案：或 解析：设所求拖物线的标准方程为， 设，由题知. 因为，所以. 因为，所以， 所以，代入方程，得，解得或. 故所求抛物线的标准方程为或. 课后练习 1.答案：C 解析：由可得， 故，故， 故抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C. 2.答案：C 解析：抛物线C的方程为， ，可得， 设，由抛物线的定义得， 所以， 故选：C. 3.答案：B 解析：由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：， 由抛物线的定义可得：点M到准线的距离为6， 所以M点纵坐标为2，代入抛物线方程可得：， 得：， 所以点M到y轴的距离为， 故选：B 4.答案：B 解析：因为抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点M到准线和对称轴的距离均为4， 所以点M的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B. 5.答案：A 解析：抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，C到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆C与直线相切， 又因为抛物线的图象在x轴的右侧， 所以圆C与直线相交. 故选：A. 6.答案：C 解析：设点，则， 得， 故，得， 故选：C 7.答案：BD 解析：若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为; 若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：BD 8.答案：BD 解析：直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和. 故选：BD. 9.答案： 解析：由可得:，，所以， 可得：，所以双曲线的右焦点是， 设抛物线的标准方程是，焦点为， 所以，所以， 所以所求抛物线的方程为：. 故答案为： 10.答案：3 解析：抛物线，焦点， 且直线过抛物线的焦点， ，解得. 故答案为：3. 11.答案： 解析：依题意可设抛物线的标准方程为：， 由，解得， 所以该抛物线的标准方程为：. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $