辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学第二周周测试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期 高三数学第二周周测 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 3．若等比数列满足，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 4．已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．若为锐角，则为钝角 C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．的前n项和 D．的前n项和 11．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 三、填空题 12．已知点是角α的终边上一点，则 ． 13．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 14．定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是 ． 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 16．已知函数. (1)求函数图象在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为． (1)求的最小正周期及的值； (2)若点R的坐标为，，求A的值． 18．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期 高三数学第二周周测答案 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可知，所以. 故选：B 2．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 故选：A. 3．若等比数列满足，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式列方程求. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由，可得， 由等比数列的性质可得， 所以， 解得. 故选：B. 4．已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 5．已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知不等式，求出构造函数在定义域上的单调性，根据函数单调性，解出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，可知在上单调递增， 因为，所以， 当时，即，可得， 因为在上单调递增，所以. 故选：B. 6．已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据图像平移求出解析式，然后根据图像的对称变换的结论求解即可. 【详解】由题意， 因为与关于原点对称，所以，即， ， ， 解得， 由于，所以，此时. 故选：D 7．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 【答案】B 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．若为锐角，则为钝角 C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 【答案】ACD 【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断、、、的结论． 【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确； 对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误； 对于：若，则，故正确； 对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得， 故该扇形的面积为，故正确． 故选：． 10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．的前n项和 D．的前n项和 【答案】ACD 【分析】对于A，由已知可得，结合等比数列的定义即可求解判断；对于B，求出，作差得，即可判断；对于C，结合等比数列求和公式利用分组求和思想求解即可判断；对于D，根据裂项相消法求和即可判断. 【详解】对于A，由题意，数列满足，可得， 可得，即，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以的前n项和，故C正确； 对于D，因为， 所以的前n项和，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 【答案】AB 【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确； 对于B中，因为函数为奇函数，关于对称， 所以函数关于中心对称，所以B正确； 对于C中，作出的大致图象，如图所示， 当时，为上凸函数，在拐点处的切线为， 它与恰交于； 当时，为上凹函数，， 过只能作的两条切线，所以C错误； 对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减； 要使有零点，则只需，解得， 当时，大致图象如下 可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误. 故选：AB． 三、填空题 12．已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 13．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式，然后再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】因为是正数，所以，令， 则不等式可化为， 即，所以，取等条件为，. 故答案为： 14．定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先根据函数之间的关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值. 【详解】因为，且当时，，此时最大值小于1； 当时，， 所以， 此时最大值小于1； 当时，， ， 此时最大值小于1； 当时，， ； 将展开得， 当时，此时取得最大值为， 由图可得，令，解得， 因为对任意，都有， 所以的最大值是， 故答案为：. 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的取值范围，即可求得结果. 【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得，， 又、是锐角，所以，， 所以，. （2）解：因为，， 又是锐角，则，所以， 又因为，则， 而，所以． 16．已知函数. (1)求函数图象在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）参变分离，构造函数，二次求导确定最值即可求解. 【详解】（1）， 所以， 所以在点处的切线方程为 （2）又， 参变分离得：， 令， 得， 令，， ， 在上单调递增， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 最小值为 所以， 即实数的取值范围是. 17．已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为． (1)求的最小正周期及的值； (2)若点R的坐标为，，求A的值． 【答案】(1)最小正周期，； (2). 【分析】（1）根据给定的函数式及图象，利用正弦函数周期公式及最值点求得答案. （2）过点Q作于点S，结合（1）的信息求出，再利用给定角求出. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由为函数图象的最高点，得，， 解得，，而，所以. （2）由Q为函数图象的最低点，，，得点Q的坐标为，， 又，则，过点Q作于点S，， 因此. 18．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $