3.1.1椭圆及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.1.1 椭圆及其标准方程 目录 题型1：求动点轨迹(方程) 4 题型2：椭圆定义的应用 5 题型3：椭圆方程的求解 7 题型4：椭圆的焦点三角形 8 1. 椭圆的定义 (1) 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 (2) 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于，所以椭圆可看作点集：。 对定义中限制条件“常数（大于）”的理解: ①当（三角形两边之和大于第三边）时，动点的轨迹是椭圆。 ②当时，动点的轨迹是线段。 ③当时，其轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程 (1) 推导过程 ①建系：我们可以发现，椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 Oxy。 ②列式：设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0），那么焦点的坐标分别为，由椭圆的定义得，即。 ③化简：，即， 对方程两边平方，得 ， 整理得， 对方程两边平方并整理，得 ， 两边同除以，得 。 由椭圆得定义可知，,即，所以. 设，就有 这个方程叫做椭圆的标准方程。 (2) 标准方程的两种形式 焦点的位置 在轴上 在轴上 图形 标准方程 的关系 ①椭圆的焦点在x轴上标准方程中含项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上标准方程中含项的分母较大。因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时,要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”。 ②a,b,c三个量满足:,恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”。椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a,b,c的几何意义。 (3) 椭圆的一般方程:。 当,即时,表示焦点在x轴上的椭圆; 当,即时,表示焦点在y轴上的椭圆。 题型1：求动点轨迹(方程) 方法提炼 求动点轨迹方程的常用方法 (1) 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到动点的轨迹方程。 用直接法求曲线轨迹方程的一般步骤： 第一步:建系,设点的坐标P(x,y); 第二步:依题意列出方程; 第三步:化简方程; 第四步:考虑x,y是否有限制范围。 (2) 相关点法(代入法) 如果动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，且相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,那么这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 ①求解的基本思路： 如果动点P随着另一个在已知曲线上运动的点Q而运动,则用点P坐标(x,y)表示点Q(x',y')，即 ,由于点Q在已知曲线上，因此它满足已知曲线方程，将代入已知曲线方程,得到关于x,y的方程,即为所求的曲线方程。 ②其过程如下:P(x,y)Q(x',y') 已知方程所求方程。 (3) 定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量。 (4) 待定系数法 根据条件能知道曲线方程的类型,可设出其方程形式,再根据条件确定待定的系数。 【例1.1.】 在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 【例1.3.】 已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 题型2：椭圆定义的应用 方法提炼 (1) 定义的双向运用：①平面一动点满足条件：，且（为定点），那么点的轨迹是以为焦点的椭圆。②椭圆上任意一点到两焦点的距离之和总等于常数，所以可以相互转化。 (2) 利用定义解决与椭圆有关的最值问题主要以下有两种思路： ①与(P为椭圆上一点,为椭圆的焦点)的乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(),根据基本不等式求解,注意等号成立的条件。 ②与的和、差有关的最值问题:一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解。 【例2.1.】 设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 【例2.2.】 如图，在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【例2.3.】 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【例2.4.】 若为椭圆：上一点，，为的两个焦点，且，则（    ） A． B． C． D．5 【例2.5.】 已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【例2.6.】 设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【例2.7.】 已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2.8.】 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【例2.9.】 点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【例2.10.】 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 题型3：椭圆方程的求解 方法提炼 (1) 定义法求椭圆的标准方程的解题思路 ①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程。 ②首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值，最后得到标准方程。 (2) 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： (3) 共焦点的椭圆系方程:与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为;与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为。 【例3.1.】 求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【例3.2.】 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【例3.3.】 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ． 题型4：椭圆的焦点三角形 方法提炼 (1) 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。其中，称为此椭圆的焦半径。 (2) 焦点三角形的常用公式 令， ①。 ②焦点三角形的周长。 ③由余弦定理得：。 ④。 ⑤。 证明：因为点在椭圆上，所以，所以。①在中，。② ①－②，得。 所以，所以。 ⑥当点在轴上时，最大。 【例4.1.】 椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【例4.2.】 已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【例4.3.】 如图所示，已知椭圆的方程为，若点P在第二象限，且，求点P的坐标． 【例4.4.】 已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【例4.5.】 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4.6.】 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，，求此三角形面积的最大值． 【例4.7.】 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【例4.8.】 （多选）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 【例4.9.】 （多选）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1.1 椭圆及其标准方程 目录 题型1：求动点轨迹(方程) 4 题型2：椭圆定义的应用 7 题型3：椭圆方程的求解 15 题型4：椭圆的焦点三角形 17 1. 椭圆的定义 (1) 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 (2) 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于，所以椭圆可看作点集：。 对定义中限制条件“常数（大于）”的理解: ①当（三角形两边之和大于第三边）时，动点的轨迹是椭圆。 ②当时，动点的轨迹是线段。 ③当时，其轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程 (1) 推导过程 ①建系：我们可以发现，椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 Oxy。 ②列式：设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0），那么焦点的坐标分别为，由椭圆的定义得，即。 ③化简：，即， 对方程两边平方，得 ， 整理得， 对方程两边平方并整理，得 ， 两边同除以，得 。 由椭圆得定义可知，,即，所以. 设，就有 这个方程叫做椭圆的标准方程。 (2) 标准方程的两种形式 焦点的位置 在轴上 在轴上 图形 标准方程 的关系 ①椭圆的焦点在x轴上标准方程中含项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上标准方程中含项的分母较大。因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时,要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”。 ②a,b,c三个量满足:,恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”。椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a,b,c的几何意义。 (3) 椭圆的一般方程:。 当,即时,表示焦点在x轴上的椭圆; 当,即时,表示焦点在y轴上的椭圆。 题型1：求动点轨迹(方程) 方法提炼 求动点轨迹方程的常用方法 (1) 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到动点的轨迹方程。 用直接法求曲线轨迹方程的一般步骤： 第一步:建系,设点的坐标P(x,y); 第二步:依题意列出方程; 第三步:化简方程; 第四步:考虑x,y是否有限制范围。 (2) 相关点法(代入法) 如果动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，且相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,那么这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 ①求解的基本思路： 如果动点P随着另一个在已知曲线上运动的点Q而运动,则用点P坐标(x,y)表示点Q(x',y')，即 ,由于点Q在已知曲线上，因此它满足已知曲线方程，将代入已知曲线方程,得到关于x,y的方程,即为所求的曲线方程。 ②其过程如下:P(x,y)Q(x',y') 已知方程所求方程。 (3) 定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量。 (4) 待定系数法 根据条件能知道曲线方程的类型,可设出其方程形式,再根据条件确定待定的系数。 【例1.1.】 在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点、， 设点，由可得， 整理可得，化为标准方程得，如下图所示： 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因此，点轨迹的长度为. 故选：A. 【例1.2.】 平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 【例1.3.】 已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 【例1.4.】 设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设出点的坐标，由向量条件得出关系，代入中，可得答案. 【详解】由A，B分别是直线和上的动点，设，， 由，可得 ，即 又，即 即，即 题型2：椭圆定义的应用 方法提炼 (1) 定义的双向运用：①平面一动点满足条件：，且（为定点），那么点的轨迹是以为焦点的椭圆。②椭圆上任意一点到两焦点的距离之和总等于常数，所以可以相互转化。 (2) 利用定义解决与椭圆有关的最值问题主要以下有两种思路： ①与(P为椭圆上一点,为椭圆的焦点)的乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(),根据基本不等式求解,注意等号成立的条件。 ②与的和、差有关的最值问题:一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解。 【例2.1.】 设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【分析】对的位置分类讨论即可求解. 【详解】若在直线外，由三角形两边长大于第三边有，不合题意， 故必在直线上，若在线段外，也有，不合题意， 故必在线段上，且总有， 故选：A. 【例2.2.】 如图，在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆的其他应用、立体几何中的轨迹问题 【分析】首先连接辅助线，结合给定条件确定动点的轨迹，再判断交点个数即可. 【详解】如图，连接，正方体的棱长为，， ，点在以为焦点的椭圆绕旋转得到的椭球上， 在正方体的棱上，应是椭球与正方体的棱的交点， 结合正方体的性质可知，在棱上 各有一点满足条件，故C正确. 故选：C 【例2.3.】 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 【例2.4.】 若为椭圆：上一点，，为的两个焦点，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】 根据椭圆的定义可得，联立即可. 【详解】 由题意可得，则，， 所以， 即，所以. 故选：D 【例2.5.】 已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】另一焦点为，利用双曲线的定义转化为，然后可得最小值． 【详解】由题意是椭圆的下焦点，如图，设上焦点为， 在椭圆上，则， 所以， 当且仅当是线段与椭圆的焦点时等号成立， 故答案为：1. 【例2.6.】 设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：D    【例2.7.】 已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 【例2.8.】 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆定义及辨析 【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解. 【详解】   由为椭圆的焦点， ，，， ，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得， ， 所以的最小值为. 故选：A. 【例2.9.】 点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 【例2.10.】 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义及二次函数的性质求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 题型3：椭圆方程的求解 方法提炼 (1) 定义法求椭圆的标准方程的解题思路 ①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程。 ②首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值，最后得到标准方程。 (2) 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： (3) 共焦点的椭圆系方程:与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为;与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为。 【例3.1.】 求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 【例3.2.】 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 【例3.3.】 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式求解. 【详解】方程可化为， 由题意得解得， 故实数k的取值范围是． 故答案为：． 题型4：椭圆的焦点三角形 方法提炼 (1) 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。其中，称为此椭圆的焦半径。 (2) 焦点三角形的常用公式 令， ①。 ②焦点三角形的周长。 ③由余弦定理得：。 ④。 ⑤。 证明：因为点在椭圆上，所以，所以。①在中，。② ①－②，得。 所以，所以。 ⑥当点在轴上时，最大。 【例4.1.】 椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 【例4.2.】 已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求得，然后由面积公式计算面积． 【详解】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 【例4.3.】 如图所示，已知椭圆的方程为，若点P在第二象限，且，求点P的坐标． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆上点的坐标、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆内焦点三角形面积公式，解出P点坐标. 【详解】设，由例题可知， 又，所以； 代入椭圆方程得， 又因为点P在第二象限，所以点P的坐标为. 【例4.4.】 已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆方程得到的值，由椭圆的定义得到的值，联立求得的值，再证明，求得面积. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【例4.5.】 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案. 【详解】由题意，，，即，， 整理可得，，则，解得. 故选：A. 【例4.6.】 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，，求此三角形面积的最大值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】方法一：以BC为x轴，BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据椭圆定义求得点A的轨迹方程，然后根据三角形面积求解最大值即可； 方法二：结合二次函数性质，利用海伦三角形面积公式求解最大值即可. 【详解】方法一：由题意，， 以BC为x轴，BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图． 则，设，根据及椭圆的定义， 可得点A的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉与B，C共线的点）， 设椭圆方程为，则，所以， 所以椭圆方程为，又三点不共线， 所以点A的轨迹方程为． 当点A为椭圆的短轴端点时，的面积最大，，此时． 方法二：因为，，所以， 由海伦公式得的面积， 此时符合题意． 【例4.7.】 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 【例4.8.】 （多选）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可判断A选项；由基本不等式结合椭圆的定义，即可判断B选项；根据焦点三角形面积公式得出面积，即可判断C选项；设，求出满足的点的个数，即可判断D项. 【详解】对于A，由得， ∴ 的周长为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，的面积为，故C正确； 对于D，设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如上图，当点位于短轴顶点时有， 所以，当时，点P为椭圆的上下两顶点，则点有2个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点， 即满足以及的点有4个. 综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D正确. 故选：ACD． 【例4.9.】 （多选）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由题设，结合椭圆性质判断A；应用余弦定理可得，根据椭圆定义及余弦定理求得，即可判断B、C、D. 【详解】由椭圆方程知：，则，A对； ， 由，当且仅当时等号成立， 故，B对； ，C错； 若，则，可得， 所以的面积为，D对. 故选：ABD ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $