第二章 有理数及其运算 章节讲义（27知识点回顾+55题型巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第二章 有理数及其运算 章节（27知识点回顾+55题型巩固） 目录 知识梳理 1.用正数和负数表示相反意义的量 2.有理数 3.相反数 4.绝对值 5.数轴 6.相反数、绝对值的几何意义 7.比较有理数的大小 8.有理数的加法法则 9.有理数加法的运算律 10.有理数的减法 11.有理数的加减混合运算 12.有理数加减混合运算的实际问题 13.有理数乘法法则 14.倒数 15.有理数乘法法则的推广 16.有理数乘法的运算律 17.有理数除法法则 18.有理数的乘除混合运算 19.乘方的意义 20.乘方的运算 21. 的意义 22.用科学记数法表示数 23.还原用科学记数法表示的数 24.有理数混合运算的法则 25.“24 点”游戏 26.利用计算器进行有理数的基本运算 27.准确数与近似数 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、利用数轴比较有理数的大小 十一、数轴上两点之间的距离 十二、数轴上点的平移（动点问题） 十三、相反数的定义 十四、化简多重符号 十五、相反数的应用 十六、绝对值的几何意义 十七、求一个数的绝对值 十八、绝对值非负性 十九、绝对值的其他应用 二十、有理数大小比较的实际应用 二十一、有理数加法运算 二十二、有理数加法中的符号问题 二十三、有理数加法在生活中的应用 二十四、有理数加法运算律 二十五、有理数的减法运算 二十六、有理数减法的实际应用 二十七、有理数的加减混合运算 二十八、有理数加减中的简便运算 二十九、有理数加减混合运算的应用 三十、省略加法和括号的形式 三十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 三十二、两个有理数的乘法运算 三十三、多个有理数的乘法运算 三十四、有理数乘法的实际应用 三十五、倒数 三十六、有理数乘法运算律 三十七、有理数的除法运算 三十八、有理数除法的应用 三十九、有理数乘除混合运算 四十、有理数乘除中的简便运算 四十一、有理数四则混合运算 四十二、有理数四则混合运算的实际应用 四十三、有理数幂的概念理解 四十四、有理数的乘方运算 四十五、有理数乘方逆运算 四十六、乘方运算的符号规律 四十七、乘方的应用 四十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 四十九、算“24”点 五十、含乘方的有理数混合运算 五十一、程序流程图与有理数计算 五十二、计算器——有理数 五十三、求一个数的近似数 五十四、求近似数的精确度 五十五、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.用正数和负数表示相反意义的量 1.用正数、负数表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用“+”来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用“－”来表示. 特别提醒： 相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 . (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 ，所以与一个量具有相反意义的量不止一个 . 示例 具有相反意义的量 具有相反意义 增加10千克与减少2千克是具有相反意义的量 具有数量 具有相反意义 上升与下降不是具有相反意义的量 缺少数量 2. 正数： 像 +3， +1.8%， +7.5 这样的数叫作正数 .(正数前面的“ +”可以省略不写) 3. 负数： 像 －28， －3.5%， －5.7， －2 这样的数叫作负数 . 4. 0的意义： (1)0 既不是正数， 也不是负数；(2)0 是正数与 负数的分界；(3)0 不仅可以表示“ 没有”， 还可以表示特定意义，如 0 ℃ 表示一个确定的温度 . 示例 正数和负数 省略了“+”的正数 正数：+7， ， 0.032， +0.1%，… 负数：－3，－2.7%，－ ， －8.1，… 负数可看作是在正数前面加“－”的数 知识点2.有理数 1. 整数 正整数、零、负整数统称为整数，例如：1，2，0， －3， －2等都是整数 . 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，例如：1 ，0.19， －2.35，－等都是分数 . 3. 有理数 整数和分数统称为有理数 . 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数：既是正数，又是整数的数 . (2)负整数：既是负数，又是整数的数 . (3)正分数：既是正数，又是分数的数 . (4)负分数：既是负数，又是分数的数 . (5)非负数：正数和 0. (6)非正数：负数和 0. (7)非负整数：正整数和 0.(8)非正整数：负整数和 0. (9)自然数：正整数和 0. 5. 有理数的分类 (1) 按性质符号分类： (2)按定义分类： 知识点3.相反数 1.定义 如果两个数只有符 号不同，那么称 其中一 个数 为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数 . 特别地，0 的相反数是 0. 2. 性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个 . 正数的相反数是负数 . 负数的相反数是正数 . 0 的相反数是 0. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数 就是在这个数的前面加上“－”，即有理数 a 的相反数是 －a，其实质是改变这个数的符号 . 知识点4.绝对值 1.定义 一个数的数量大小叫作这个数的绝 对值，如 2 和 － 2的绝对值都等于 2，0 的绝对值等于 0. 若 表示一个有理数，则 的绝对值记作 ||，读作“ 的绝对值” . 2. 性质  正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数 ； 0 的绝对值是0.即：||= 知识点5.数轴 1. 定义 在一条水平直线上取一点(称为原点)表 示 0，选取 某一 长 度作为单位长 度，规定 这条直 线 上向右的 方向为正方向，那么相反方向就是负方向，像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 . 2.画法 步骤 图形 一画：画一条水平直线 二取：在直线的适当位置选取一点作为原点，该点表示数 0 三定：规定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来 四标：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示数 1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示数 -1，-2， -3，…，就得到了数轴 3.对应关系 有理数 都可以用数轴上的点表示数轴上的点不都表示有理数 知识点6.相反数、绝对值的几何意义 项目 相反数 绝对值 几何意义 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等 在数轴上，一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 示例 知识点7.比较有理数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 比较两个负数的大小的步骤 2. 利用数轴比较有理数大小的法则 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 . 3. 根据数轴的特征“原点的右侧是正数，原点的左侧是负数”，容易得到有理数大小的比较法则： 正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数 . 知识点8.有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时 和为 0 2+(－2)=0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 (－4)+0=－4 注意：有理数加法运算的关键步骤如下 . 知识点9.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 2. 加法运算律的运用技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3) 整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系，易化成同分母) 的数先相加——“同形结合法”； (4) 相加得到整数的几个数先相加——“凑整法” ； (5) 带分数相加时，可先拆成整数与真分数的和，再分别 相加——“拆项结合法” . 知识点10.有理数的减法 1. 法则 减一个数，等于加这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 将减法转化为加法的过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”变成“ +”，减数变成它的相反数； “一不变”是指被减数不变 . 例如： 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点11.有理数的加减混合运算 1.运算方法 在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 例如： 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 4. 运算律 省略加号和括号的形式，可看成是有理数的加法运算，因此，可运用加法运算律来简化计算：(1)在交换加数位置时，要连同加数前面的性质符号一起交换；(2)在运用加法结合律时，有时把减号看作负号 . 知识点12.有理数加减混合运算的实际问题 1. “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 2. 画折线图的步骤 (1) 明确所画的折线图表示的问题； (2)确定一个数为 0 点； (3) 标出横线和纵线表示的量，明确折线图表示的量的单位 ； (4) 选择合 适的单位长度，使得最终画出的折 线图有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化情况； (5) 通常情况下，纵线上选取的最高点比实际最大值略高，最低点比实际最小值略低 . 知识点13.有理数乘法法则 类型 运算法则 运算步骤 示例 同号两数 同号得正， 并把绝对值相乘 (1) 先看有无为 0的因数，若有，则乘积为 0； (2)如果没有为 0的因数，则先确定乘积的符号，再求乘积的绝对值 (+5) × (+3)= 15， (－5) ×(－3)= 15 异号两数 异号得负， 并把绝对值相乘 (－5) ×(+3)= －15， (+5) ×(－3)= －15 一个因数为 0 任何数与 0 相乘，积仍为 0 (－5) × 0= 0， 0×(+3)=0 知识点14.倒数 1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 2. 互为倒数与互为相反数的异同 项目 互为倒数 互为相反数 不同点 特点不同 两数之积等于 1 两数之和等于 0 性质不同 互为倒数的两个数的符号相同 互为相反数且不等于 0 的两个数的符号一正一负 范围不同 只有 0 没有倒数 任意一个数都有相反数 相同点 (1) 都是指两个有理数之间的一种关系； (2)都具有规定性(可规定其中任意一个数是加另一个数的倒数或相反数)、相对性(倒数或相反数是相对于另一个数而言的)、成对性(倒数或相反数是成对出现的) 知识点15.有理数乘法法则的推广 1. 几个不等于 0 的有理数相乘， 积的符号由负因数的个数决定 . 当负因数有奇数个时，积的符号为负，当负因数有偶数个时，积的符号为正，即“奇负偶正” . 图示： 2. 几个有理数 相乘，有一个因数为 0，结果 就是 0；反之，若几个有理数的乘积为 0，则至少有一个因数为 0. 图示： 知识点16.有理数乘法的运算律 运算律 内容 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 6× (－8)=(－8)× 6 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 [3×(－4)]×(－6)= 3×[(－4)×(－6)] 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 4×(－3+5)= 4×(－3)+4× 5 知识点17.有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 例如： (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×1/b (b ≠ 0) . 例如： (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点18.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 知识点19.乘方的意义 1.乘方的意义 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个 记作 ， 其中 叫作底数， n 叫作指数. 读作“ 的 n 次幂”(或“ 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系 表示 n 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点20.乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算 有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . ，－ 及 (－) 的异同点与联系 项目 － (－) 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相乘的积的相反数 n 个 － 相乘的积 底数不同 － 相同点 指数都是 n 联 系 n 为正奇数 － =(－) ， 且 － ，(－)均与 互为相反数( ≠ 0) n 为正偶数 =(－) ，且 ，(－)均与 －互为相反数 ( ≠ 0) n 为正整数 =－=(－)=0( =0) 知识点21. 的意义 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即 特别解读 表示n个10相乘的积. 知识点22.用科学记数法表示数 科学记数法 定义 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 × 的形式，其中 1 ≤ <10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 的方法 将原数的小数点移到最高数位的数字后边即可得到 的值 确定 n 的方法 ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点23.还原用科学记数法表示的数 还原方法  把用科学记数法表示的数 × 还原成原数时，只需把 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 知识点24.有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点25.“24 点”游戏 “24 点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌 (去掉大、小王)中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次 且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24 或 －24. 其中红色扑克牌代表负数 , 黑色扑克牌代表正数，A， J， Q， K 分别代表 1，11，12，13. 由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到 24 或 －24 具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索 . 知识点26.利用计算器进行有理数的基本运算 1.利用计算器进行有理数的基本运算 利用计算器进行简单计算时，遵循“从左到右”的原则进行，即与算式的书写顺序相同，尤其是有理数的混合运算，也是从左到右，而无需考虑“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 . 2. 使用计算器进行简单运算的步骤与方法开机 (1) 开机：按开机键 ，以接通计算器的电源 ； (2) 输入：按照算式的书写顺序输入数据，即从左往右依次输入，最后按 EXE 键显示计算结果； (3) 关机：先按 键，再按 AC 键，关闭计算器 . 知识点27.准确数与近似数 1. 准确数 与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数 与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 3. 近似数的精确度 近似数与准确 数的接近程度，用精确度表示 . 一个数 四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如 2 =2.333…，结果取 2，就说精确到个位；取 2.3，就说精确到十分位(或精确到 0.1)；取 2.33，就说精确到百分位(或精确到 0.01) . 例如：48 000 精确到万位，则 48 000 ≈ 5× . 4. 近似数的精确度的表达方法 (1)用数位表示，如精确到百分位，千分位等； (2)用小数表示，如精确到 0.1，0.01 等； (3)对带有单位的数用单位表示，如精确到 kg， m 等 . 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 题型二、相反意义的量 2．（2025七年级上·全国·课后作业）请任意写出一个的实际意义： ． 【答案】规定地上1层记为，那么地下2层记为（答案不唯一） 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了负数的实际意义． 结合实际情况作答即可． 【详解】解：的实际意义：规定地上1层记为，那么地下2层记为， 故答案为：规定地上1层记为，那么地下2层记为（答案不唯一） 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】(1)比个少做个引体向上 (2) (3)多在课余时间加强锻炼 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． 【详解】（1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 题型四、有理数的定义 4．（24-25七年级上·广东肇庆·阶段练习）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义解答即可，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，0，π，0.0123中，有理数有，，0，0.0123，共4个， 故选：A． 题型五、0的意义 5．（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查有理数的初步认识，0的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即可． 【详解】解：0是整数，也是有理数， 0不是正数，也不是负数， 0也是自然数． ∴（1）（2）正确 故选：C． 题型六、有理数的分类 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 题型七、带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·四川巴中·期中），，，，，，，中，非负数有 个． 【答案】 【知识点】带“非”字的有理数、化简多重符号 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，熟练掌握概念是解决本题的关键．由非负数的概念，即“大于或等于0的数”，由此概念判断即可． 【详解】解：，根据非负数的概念可知，，，，，，是非负数，共个． 故答案为：． 题型八、数轴的三要素及其画法 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 题型九、用数轴上的点表示有理数 9．（2025七年级上·河南开封·专题练习）在数轴上表示下列各数． ，，，，， 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的认识、分数和小数的意义和表示方法以及正负数知识，根据图示，数轴上的一个格表示1，结合分数和小数的意义和表示方法以及正负数知识，解答即可． 【详解】解：如图 题型十、利用数轴比较有理数的大小 10．（2025七年级上·全国·课后作业）已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图，其中离原点距离最远的点是 ． 【答案】Q 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小． 直接根据数轴作答即可． 【详解】由数轴可知，离原点距离最远的点是Q 故答案为：Q 题型十一、数轴上两点之间的距离 11．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用两点间距离公式求出的长度，再结合与的关系求出点的位置． 先根据、表示的数求出的距离，再由求出的长度，最后根据点在点右侧，求出点表示的数． 【详解】解：数轴上两点间的距离为两点所表示数的差的绝对值， 点表示的数是1，点表示的数是3，因此， 已知，结合，可得， 因为点在点的右侧，点表示的数是3， 所以点表示的数为． 故选：B． 题型十二、数轴上点的平移（动点问题） 12．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 题型十三、相反数的定义 13．（2025七年级上·全国·课后作业）5月2日的世界泳联跳水世界杯总决赛上，中国跳水女将全红婵与陈芋汐凭借出色的表现获得女子双人10米跳台的冠军．10的相反数是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】10的相反数是， 故选：B 题型十四、化简多重符号 14．（2023七年级上·广西南宁·竞赛）化简： 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握运用相反数的定义化简多重符号是解题的关键． 根据相反数的定义化简多重符号即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型十五、相反数的应用 15．（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【知识点】相反数的应用 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． 题型十六、绝对值的几何意义 16．（2025七年级上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，即，也就是，所以，因此选项A不符合题意； B．若，则，即，所以，因此选项B不符合题意； C．若，则，即，所以，因此选项C符合题意； D．若，则，即，所以，，因此选项D不符合题意． 故选：C． 题型十七、求一个数的绝对值 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数2024的绝对值是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的意义作答即可 【详解】有理数2024的绝对值是2024 故选：A 题型十八、绝对值非负性 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 题型十九、绝对值的其他应用 19．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）若是实数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 题型二十、有理数大小比较的实际应用 20．（2025七年级上·全国·专题练习）以下我国四个湖的平均海拔高度，最低的是（   ） A．艾丁湖 B．鄱阳湖 C．阳澄湖 D．洞庭湖 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较（海拔高度的比较），解题的关键是掌握有理数大小比较法则，即负数小于正数，两个正数比较时数值小的更小． 先判断各选项海拔的正负属性，艾丁湖海拔为负数，其余三个湖海拔均为正数；根据有理数大小关系，负数小于所有正数，故直接确定艾丁湖海拔最低． 【详解】解：艾丁湖海拔为，是负数，即选项A是负数，其他选项均为正数，根据负数小于一切正数可知，海拔最低的是A选项；   故选：A． 题型二十一、有理数加法运算 21．（2023七年级上·北京东城·竞赛）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了运用有理数加减运算法则进行求解，解题关键是能准确确定结果的符号和计算方法． （1）先确定结果是负数，再用-17的绝对值减+8的绝对值； （2）先确定结果是负数，再用-0.9的绝对值加0.87的绝对值； （3）运用减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解； （4）运用任何数加上0等于它的本身进行求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型二十二、有理数加法中的符号问题 22．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 题型二十三、有理数加法在生活中的应用 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列问题情境，能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，又下降后的水位变化情况 B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数 C．某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了加法算式的实际意义． 逐一判断即可． 【详解】A． 水位先下降，又下降后的水位变化情况：，不能用加法算式表示； B． 将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数，用加法算式表示，故不符合题意； C． 某日最低气温为，温差为，该日的最高气温：，能用加法算式表示； D． 数轴上表示与10的两个点之间的距离：，不能用加法算式表示； 故选：C． 题型二十四、有理数加法运算律 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查加法交换律，熟练掌握加法交换律是解题的关键． 根据加法交换律直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 题型二十五、有理数的减法运算 25．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ． 【详解】解： ． 题型二十六、有理数减法的实际应用 26．（2025七年级上·全国·课后作业）某《科技名人辞典》记载：斯特拉博，古希腊地理学家、历史学家．如果公元前记为“”，斯特拉博活了 岁． 【答案】86 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的应用，根据题意可得23减去即为所求． 【详解】解：（岁）． 故答案为：86． 题型二十七、有理数的加减混合运算 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数加减混合运算．把原式变为省略加号和括号的加法计算即可． 【详解】解： 故选：B． 题型二十八、有理数加减中的简便运算 28．（2025七年级上·全国·课后作业）请判断下列计算过程是否正确．若不正确，请说明从哪一步开始出现错误及出现错误的原因，并给出正确的计算过程．   第一步   第二步 ．  第三步 【答案】计算过程不正确，从第一步开始出现错误，错误的原因是添加括号后未变号，正确计算过程见解析． 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减的运算，加法交换律和结合律，理解有理数加法运算法则是解答关键．从第①步开始添括号时应是，而原计算过程还是，然后按正确的计算方法来求解． 【详解】解：计算过程不正确，从第一步开始出现错误，错误的原因是添加括号后未变号． 正确的计算过程如下： ． 题型二十九、有理数加减混合运算的应用 29．（2023七年级上·湖北十堰·专题练习）银行卡上一般存入为正，支出为负．淘气妈妈的工资卡上有5000元，6月20日她支出3000元，6月28日又存入1500元，现在妈妈工资卡上有 元． 【答案】3500 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用，正负数来表示具有相反意义的两种量：存入记为正，则支出为负，由此得出支出3000元就记为元；求现在妈妈工资卡上的钱数，就用原有的5000元减去支出的3000元再加上又存入的1500元即可． 【详解】解：由题得：（元） 故答案为：3500. 题型三十、省略加法和括号的形式 30．（24-25七年级上·全国·课后作业）将写成省略括号的形式是 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了有理数加减混合运算中括号的省略方法，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上这个数的相反数”及省略括号的规则． 根据有理数减法法则，将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，得到省略括号的形式． 【详解】解：． 故答案为：． 题型三十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴和绝对值，有理数的减法． 利用数轴知识可得a，b，c的大小，再根据绝对值，相反数，有理数的减法逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，， ∴只有B选项正确，符合题意． 故选：B 题型三十二、两个有理数的乘法运算 32．（22-23七年级上·湖北十堰·开学考试）如果，那么 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解决本题的关键是理解已知信息． 根据已知信息的计算规则，列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 题型三十三、多个有理数的乘法运算 33．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型三十四、有理数乘法的实际应用 34．（2025七年级上·全国·课后作业）现在地面的气温是，某飞机在该地上空处．若高度每增加，气温下降，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 【答案】此时飞机所在高度的气温是 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算及加法运算的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：，． 故此时飞机所在高度的气温是． 题型三十五、倒数 35．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数的概念，掌握其概念及计算方法是解题的关键．根据倒数的定义“乘积为的两个数互为倒数”，由此即可求解， 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：B． 题型三十六、有理数乘法运算律 36．（2025七年级上·全国·单元测试）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）． A． B． C． 【答案】B 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示9.9．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将9.9转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项不符合题意； B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； C、根据乘法分配律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型三十七、有理数的除法运算 37．“题载思想”，刘聪同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自她的一篇究错日记，请你对刘聪所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月23日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 用简便方法计算： 【所属考点】 有理数的运算 【错因分析】 有理数的加法运算算理不透，误把写成，导致本题错误． 【刘聪编题】 用简便方法计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握转化的思想． 将化为，再利用乘法分配律计算． 【详解】解： ． 题型三十八、有理数除法的应用 38．（2025七年级上·全国·课后作业）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米）．其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 【答案】18 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数乘除法的实际应用，解决本题的关键是根据题意列出式子. 根据题目列出式子，再按照法则计算. 【详解】解： （升） 答：可以换得的粝米为升. 故答案为： ． 题型三十九、有理数乘除混合运算 39．（2025七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100 (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右的顺序计算即可； （2）将带分数化为假分数，除法化为乘法，再计算乘法； （3）根据0乘以任何数都等于0解答； （4）按照从左到右的顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型四十、有理数乘除中的简便运算 40．（2025七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】10 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 题型四十一、有理数四则混合运算 41．选择你喜欢的方法进行计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)123 (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握其运算规则，先乘除后加减，有括号先算括号内的是解题的关键． （1）先计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘法，再计算括号内的减法，最后再计算除法即可； （3）先计算乘法，最后计算加法即可； （4）先进行括号内的运算，最后再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型四十二、有理数四则混合运算的实际应用 42．小学六年级毕业时，一个学习小组的4名成员互相交换礼物，每人都收到本小组所有其他成员的礼物，这个小组共送出礼物（   ） A．3件 B．6件 C．12件 D．16件 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用，根据题意列出有理数混合运算的式子进行计算即可． 【详解】解：∵一个学习小组的4名成员互相交换礼物，每人都收到本小组所有其他成员的礼物， ∴每个人收到件礼物， ∴这个小组共送出礼物为：（件）． 故选：C． 题型四十三、有理数幂的概念理解 43．（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数的乘方，中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子， 指数是2，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； ，即幂是9，故C选项正确； 表示2个相乘，故D选项错误； 故选：C． 题型四十四、有理数的乘方运算 44．（2023七年级上·广西南宁·竞赛）计算的结果是（   ）． A．5 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的运算，掌握底数为负数时的有理数乘方运算是解题的关键． 直接根据有理数乘方的定义求解即可． 【详解】解：． 故选C． 题型四十五、有理数乘方逆运算 45．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型四十六、乘方运算的符号规律 46．（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 【答案】(1) (2)0 (3)互为相反数 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】（1）根据已知算式即可求解； （2）观察已知算式发现规律即可求值； （3）分两种情况讨论，当为奇数和偶数时，为偶数和奇数，进而可以说明． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， 的值为：； （2）的值为： ； （3）与的关系：互为相反数的关系．理由如下： ， ， 当为奇数时，为偶数， 与互为相反数； 当为偶数时，为奇数， 与互为相反数； 所以与的关系：互为相反数的关系． 【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察已知条件寻找规律并运用规律． 题型四十七、乘方的应用 47．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 【答案】(1)①；或；②2410272108；③； (2)①E YOU．或E（空格）YOU．②见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）①根据题中的规则求解； ②根据题中的规则化二进制为十进制； ③根据进制进行二进制、四进制与十进制进行换算求解； （2）①根据代码进行换算； ②先把代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0 ①第一行代表的二进制的数字为，第二行代表的二进制数字为或； ②转换成十进制数为；同理，转换成十进制数为10；转换成十进制数为27；转换成十进制数为21；转换成十进制数为08；小辉同学的准考证号为：2410272108； ③将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加得： ， ，用二进制表示为； ，用四进制表示为 （2）（2）①转换成十进制数为22；转换成十进制数为29；转换成十进制数为2；转换成十进制数为12；转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是（空格）； ②L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为，同理其他字母表示的二进制分别为，，， 二维码如下图所示： ． 题型四十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 48．（24-25七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)水星和太阳的平均距离约为； (2)地球上海洋的面积约为 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为； （2）解：用科学记数法表示为． 题型四十九、算“24”点 49．（2025七年级上·全国·单元测试）有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型五十、含乘方的有理数混合运算 50．有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 【答案】(1)除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据有理数混合运算法则填空即可； （2）根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （先算乘方) （除法转化为乘法） （确定符号） （乘法运算） （减法运算） 故答案为：除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算． （2）解： 题型五十一、程序流程图与有理数计算 51．按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，程序算法第一次为：与比较大小，返回重新计算，小于时输出结果即可． 【详解】解：由题意可知，算法第一次为与比较， 当时，， 当时，， 故选：D． 题型五十二、计算器——有理数 52．（2025七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，正确在计算器中输入是解题的关键． （1）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （2）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （3）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （4）在计算器中正确输入对应的算式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 题型五十三、求一个数的近似数 53．保留两位小数的近似值是（   ） A．1.59 B．1.60 C．1.69 D．1.50 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键；由题意可直接进行求解． 【详解】解：1.595保留两位小数的近似值是1.60； 故选B． 题型五十四、求近似数的精确度 54．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数与精确数的接近程度，根据近似数的精确度对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、近似数精确到，故本选项错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，故本选项正确，符合题意； C、近似数万精确到千位，故本选项错误，不符合题意； D、近似数精确到百位，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 题型五十五、近似数推断取值范围 55．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 【答案】(1)； (2)小王加工的轴不合格． 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 章节（27知识点回顾+55题型巩固） 目录 知识梳理 1.用正数和负数表示相反意义的量 2.有理数 3.相反数 4.绝对值 5.数轴 6.相反数、绝对值的几何意义 7.比较有理数的大小 8.有理数的加法法则 9.有理数加法的运算律 10.有理数的减法 11.有理数的加减混合运算 12.有理数加减混合运算的实际问题 13.有理数乘法法则 14.倒数 15.有理数乘法法则的推广 16.有理数乘法的运算律 17.有理数除法法则 18.有理数的乘除混合运算 19.乘方的意义 20.乘方的运算 21. 的意义 22.用科学记数法表示数 23.还原用科学记数法表示的数 24.有理数混合运算的法则 25.“24 点”游戏 26.利用计算器进行有理数的基本运算 27.准确数与近似数 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、利用数轴比较有理数的大小 十一、数轴上两点之间的距离 十二、数轴上点的平移（动点问题） 十三、相反数的定义 十四、化简多重符号 十五、相反数的应用 十六、绝对值的几何意义 十七、求一个数的绝对值 十八、绝对值非负性 十九、绝对值的其他应用 二十、有理数大小比较的实际应用 二十一、有理数加法运算 二十二、有理数加法中的符号问题 二十三、有理数加法在生活中的应用 二十四、有理数加法运算律 二十五、有理数的减法运算 二十六、有理数减法的实际应用 二十七、有理数的加减混合运算 二十八、有理数加减中的简便运算 二十九、有理数加减混合运算的应用 三十、省略加法和括号的形式 三十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 三十二、两个有理数的乘法运算 三十三、多个有理数的乘法运算 三十四、有理数乘法的实际应用 三十五、倒数 三十六、有理数乘法运算律 三十七、有理数的除法运算 三十八、有理数除法的应用 三十九、有理数乘除混合运算 四十、有理数乘除中的简便运算 四十一、有理数四则混合运算 四十二、有理数四则混合运算的实际应用 四十三、有理数幂的概念理解 四十四、有理数的乘方运算 四十五、有理数乘方逆运算 四十六、乘方运算的符号规律 四十七、乘方的应用 四十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 四十九、算“24”点 五十、含乘方的有理数混合运算 五十一、程序流程图与有理数计算 五十二、计算器——有理数 五十三、求一个数的近似数 五十四、求近似数的精确度 五十五、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.用正数和负数表示相反意义的量 1.用正数、负数表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用“+”来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用“－”来表示. 特别提醒： 相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 . (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 ，所以与一个量具有相反意义的量不止一个 . 示例 具有相反意义的量 具有相反意义 增加10千克与减少2千克是具有相反意义的量 具有数量 具有相反意义 上升与下降不是具有相反意义的量 缺少数量 2. 正数： 像 +3， +1.8%， +7.5 这样的数叫作正数 .(正数前面的“ +”可以省略不写) 3. 负数： 像 －28， －3.5%， －5.7， －2 这样的数叫作负数 . 4. 0的意义： (1)0 既不是正数， 也不是负数；(2)0 是正数与 负数的分界；(3)0 不仅可以表示“ 没有”， 还可以表示特定意义，如 0 ℃ 表示一个确定的温度 . 示例 正数和负数 省略了“+”的正数 正数：+7， ， 0.032， +0.1%，… 负数：－3，－2.7%，－ ， －8.1，… 负数可看作是在正数前面加“－”的数 知识点2.有理数 1. 整数 正整数、零、负整数统称为整数，例如：1，2，0， －3， －2等都是整数 . 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，例如：1 ，0.19， －2.35，－等都是分数 . 3. 有理数 整数和分数统称为有理数 . 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数：既是正数，又是整数的数 . (2)负整数：既是负数，又是整数的数 . (3)正分数：既是正数，又是分数的数 . (4)负分数：既是负数，又是分数的数 . (5)非负数：正数和 0. (6)非正数：负数和 0. (7)非负整数：正整数和 0.(8)非正整数：负整数和 0. (9)自然数：正整数和 0. 5. 有理数的分类 (1) 按性质符号分类： (2)按定义分类： 知识点3.相反数 1.定义 如果两个数只有符 号不同，那么称 其中一 个数 为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数 . 特别地，0 的相反数是 0. 2. 性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个 . 正数的相反数是负数 . 负数的相反数是正数 . 0 的相反数是 0. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数 就是在这个数的前面加上“－”，即有理数 a 的相反数是 －a，其实质是改变这个数的符号 . 知识点4.绝对值 1.定义 一个数的数量大小叫作这个数的绝 对值，如 2 和 － 2的绝对值都等于 2，0 的绝对值等于 0. 若 表示一个有理数，则 的绝对值记作 ||，读作“ 的绝对值” . 2. 性质  正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数 ； 0 的绝对值是0.即：||= 知识点5.数轴 1. 定义 在一条水平直线上取一点(称为原点)表 示 0，选取 某一 长 度作为单位长 度，规定 这条直 线 上向右的 方向为正方向，那么相反方向就是负方向，像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴 . 2.画法 步骤 图形 一画：画一条水平直线 二取：在直线的适当位置选取一点作为原点，该点表示数 0 三定：规定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来 四标：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示数 1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示数 -1，-2， -3，…，就得到了数轴 3.对应关系 有理数 都可以用数轴上的点表示数轴上的点不都表示有理数 知识点6.相反数、绝对值的几何意义 项目 相反数 绝对值 几何意义 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等 在数轴上，一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离 示例 知识点7.比较有理数的大小 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 . 比较两个负数的大小的步骤 2. 利用数轴比较有理数大小的法则 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 . 3. 根据数轴的特征“原点的右侧是正数，原点的左侧是负数”，容易得到有理数大小的比较法则： 正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数 . 知识点8.有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时 和为 0 2+(－2)=0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 (－4)+0=－4 注意：有理数加法运算的关键步骤如下 . 知识点9.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 2. 加法运算律的运用技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3) 整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系，易化成同分母) 的数先相加——“同形结合法”； (4) 相加得到整数的几个数先相加——“凑整法” ； (5) 带分数相加时，可先拆成整数与真分数的和，再分别 相加——“拆项结合法” . 知识点10.有理数的减法 1. 法则 减一个数，等于加这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 将减法转化为加法的过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”变成“ +”，减数变成它的相反数； “一不变”是指被减数不变 . 例如： 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点11.有理数的加减混合运算 1.运算方法 在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 例如： 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 4. 运算律 省略加号和括号的形式，可看成是有理数的加法运算，因此，可运用加法运算律来简化计算：(1)在交换加数位置时，要连同加数前面的性质符号一起交换；(2)在运用加法结合律时，有时把减号看作负号 . 知识点12.有理数加减混合运算的实际问题 1. “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 2. 画折线图的步骤 (1) 明确所画的折线图表示的问题； (2)确定一个数为 0 点； (3) 标出横线和纵线表示的量，明确折线图表示的量的单位 ； (4) 选择合 适的单位长度，使得最终画出的折 线图有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化情况； (5) 通常情况下，纵线上选取的最高点比实际最大值略高，最低点比实际最小值略低 . 知识点13.有理数乘法法则 类型 运算法则 运算步骤 示例 同号两数 同号得正， 并把绝对值相乘 (1) 先看有无为 0的因数，若有，则乘积为 0； (2)如果没有为 0的因数，则先确定乘积的符号，再求乘积的绝对值 (+5) × (+3)= 15， (－5) ×(－3)= 15 异号两数 异号得负， 并把绝对值相乘 (－5) ×(+3)= －15， (+5) ×(－3)= －15 一个因数为 0 任何数与 0 相乘，积仍为 0 (－5) × 0= 0， 0×(+3)=0 知识点14.倒数 1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 2. 互为倒数与互为相反数的异同 项目 互为倒数 互为相反数 不同点 特点不同 两数之积等于 1 两数之和等于 0 性质不同 互为倒数的两个数的符号相同 互为相反数且不等于 0 的两个数的符号一正一负 范围不同 只有 0 没有倒数 任意一个数都有相反数 相同点 (1) 都是指两个有理数之间的一种关系； (2)都具有规定性(可规定其中任意一个数是加另一个数的倒数或相反数)、相对性(倒数或相反数是相对于另一个数而言的)、成对性(倒数或相反数是成对出现的) 知识点15.有理数乘法法则的推广 1. 几个不等于 0 的有理数相乘， 积的符号由负因数的个数决定 . 当负因数有奇数个时，积的符号为负，当负因数有偶数个时，积的符号为正，即“奇负偶正” . 图示： 2. 几个有理数 相乘，有一个因数为 0，结果 就是 0；反之，若几个有理数的乘积为 0，则至少有一个因数为 0. 图示： 知识点16.有理数乘法的运算律 运算律 内容 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 6× (－8)=(－8)× 6 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 [3×(－4)]×(－6)= 3×[(－4)×(－6)] 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 4×(－3+5)= 4×(－3)+4× 5 知识点17.有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 例如： (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×1/b (b ≠ 0) . 例如： (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点18.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 知识点19.乘方的意义 1.乘方的意义 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个 记作 ， 其中 叫作底数， n 叫作指数. 读作“ 的 n 次幂”(或“ 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系 表示 n 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点20.乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算 有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . ，－ 及 (－) 的异同点与联系 项目 － (－) 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相乘的积的相反数 n 个 － 相乘的积 底数不同 － 相同点 指数都是 n 联 系 n 为正奇数 － =(－) ， 且 － ，(－)均与 互为相反数( ≠ 0) n 为正偶数 =(－) ，且 ，(－)均与 －互为相反数 ( ≠ 0) n 为正整数 =－=(－)=0( =0) 知识点21. 的意义 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即 特别解读 表示n个10相乘的积. 知识点22.用科学记数法表示数 科学记数法 定义 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 × 的形式，其中 1 ≤ <10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 的方法 将原数的小数点移到最高数位的数字后边即可得到 的值 确定 n 的方法 ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点23.还原用科学记数法表示的数 还原方法  把用科学记数法表示的数 × 还原成原数时，只需把 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 知识点24.有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点25.“24 点”游戏 “24 点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌 (去掉大、小王)中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次 且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24 或 －24. 其中红色扑克牌代表负数 , 黑色扑克牌代表正数，A， J， Q， K 分别代表 1，11，12，13. 由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到 24 或 －24 具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索 . 知识点26.利用计算器进行有理数的基本运算 1.利用计算器进行有理数的基本运算 利用计算器进行简单计算时，遵循“从左到右”的原则进行，即与算式的书写顺序相同，尤其是有理数的混合运算，也是从左到右，而无需考虑“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 . 2. 使用计算器进行简单运算的步骤与方法开机 (1) 开机：按开机键 ，以接通计算器的电源 ； (2) 输入：按照算式的书写顺序输入数据，即从左往右依次输入，最后按 EXE 键显示计算结果； (3) 关机：先按 键，再按 AC 键，关闭计算器 . 知识点27.准确数与近似数 1. 准确数 与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数 与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 3. 近似数的精确度 近似数与准确 数的接近程度，用精确度表示 . 一个数 四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如 2 =2.333…，结果取 2，就说精确到个位；取 2.3，就说精确到十分位(或精确到 0.1)；取 2.33，就说精确到百分位(或精确到 0.01) . 例如：48 000 精确到万位，则 48 000 ≈ 5× . 4. 近似数的精确度的表达方法 (1)用数位表示，如精确到百分位，千分位等； (2)用小数表示，如精确到 0.1，0.01 等； (3)对带有单位的数用单位表示，如精确到 kg， m 等 . 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 题型二、相反意义的量 2．（2025七年级上·全国·课后作业）请任意写出一个的实际意义： ． 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 题型四、有理数的定义 4．（24-25七年级上·广东肇庆·阶段练习）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型五、0的意义 5．（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 题型六、有理数的分类 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 题型七、带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·四川巴中·期中），，，，，，，中，非负数有 个． 题型八、数轴的三要素及其画法 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 题型九、用数轴上的点表示有理数 9．（2025七年级上·河南开封·专题练习）在数轴上表示下列各数． ，，，，， 题型十、利用数轴比较有理数的大小 10．（2025七年级上·全国·课后作业）已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图，其中离原点距离最远的点是 ． 题型十一、数轴上两点之间的距离 11．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 题型十二、数轴上点的平移（动点问题） 12．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 题型十三、相反数的定义 13．（2025七年级上·全国·课后作业）5月2日的世界泳联跳水世界杯总决赛上，中国跳水女将全红婵与陈芋汐凭借出色的表现获得女子双人10米跳台的冠军．10的相反数是（   ） A．10 B． C． D． 题型十四、化简多重符号 14．（2023七年级上·广西南宁·竞赛）化简： 题型十五、相反数的应用 15．（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 题型十六、绝对值的几何意义 16．（2025七年级上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十七、求一个数的绝对值 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数2024的绝对值是（ ） A．2024 B． C． D． 题型十八、绝对值非负性 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 题型十九、绝对值的其他应用 19．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）若是实数，则的最小值为 ． 题型二十、有理数大小比较的实际应用 20．（2025七年级上·全国·专题练习）以下我国四个湖的平均海拔高度，最低的是（   ） A．艾丁湖 B．鄱阳湖 C．阳澄湖 D．洞庭湖 题型二十一、有理数加法运算 21．（2023七年级上·北京东城·竞赛）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十二、有理数加法中的符号问题 22．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 题型二十三、有理数加法在生活中的应用 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列问题情境，能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，又下降后的水位变化情况 B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数 C．某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 题型二十四、有理数加法运算律 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 题型二十五、有理数的减法运算 25．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型二十六、有理数减法的实际应用 26．（2025七年级上·全国·课后作业）某《科技名人辞典》记载：斯特拉博，古希腊地理学家、历史学家．如果公元前记为“”，斯特拉博活了 岁． 题型二十七、有理数的加减混合运算 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 题型二十八、有理数加减中的简便运算 28．（2025七年级上·全国·课后作业）请判断下列计算过程是否正确．若不正确，请说明从哪一步开始出现错误及出现错误的原因，并给出正确的计算过程．   第一步   第二步 ．  第三步 题型二十九、有理数加减混合运算的应用 29．（2023七年级上·湖北十堰·专题练习）银行卡上一般存入为正，支出为负．淘气妈妈的工资卡上有5000元，6月20日她支出3000元，6月28日又存入1500元，现在妈妈工资卡上有 元． 题型三十、省略加法和括号的形式 30．（24-25七年级上·全国·课后作业）将写成省略括号的形式是 ． 题型三十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 题型三十二、两个有理数的乘法运算 32．（22-23七年级上·湖北十堰·开学考试）如果，那么 题型三十三、多个有理数的乘法运算 33．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 题型三十四、有理数乘法的实际应用 34．（2025七年级上·全国·课后作业）现在地面的气温是，某飞机在该地上空处．若高度每增加，气温下降，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 题型三十五、倒数 35．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C．2023 D． 题型三十六、有理数乘法运算律 36．（2025七年级上·全国·单元测试）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）． A． B． C． 题型三十七、有理数的除法运算 37．“题载思想”，刘聪同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自她的一篇究错日记，请你对刘聪所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月23日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 用简便方法计算： 【所属考点】 有理数的运算 【错因分析】 有理数的加法运算算理不透，误把写成，导致本题错误． 【刘聪编题】 用简便方法计算： 题型三十八、有理数除法的应用 38．（2025七年级上·全国·课后作业）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米）．其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升． 题型三十九、有理数乘除混合运算 39．（2025七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四十、有理数乘除中的简便运算 40．（2025七年级上·全国·周测）计算：． 题型四十一、有理数四则混合运算 41．选择你喜欢的方法进行计算 (1) (2) (3) (4) 题型四十二、有理数四则混合运算的实际应用 42．小学六年级毕业时，一个学习小组的4名成员互相交换礼物，每人都收到本小组所有其他成员的礼物，这个小组共送出礼物（   ） A．3件 B．6件 C．12件 D．16件 题型四十三、有理数幂的概念理解 43．（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 题型四十四、有理数的乘方运算 44．（2023七年级上·广西南宁·竞赛）计算的结果是（   ）． A．5 B． C．9 D． 题型四十五、有理数乘方逆运算 45．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 题型四十六、乘方运算的符号规律 46．（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 题型四十七、乘方的应用 47．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 题型四十八、用科学记数法表示绝对值大于1的数 48．（24-25七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)水星和太阳的平均距离约为； (2)地球上海洋的面积约为 题型四十九、算“24”点 49．（2025七年级上·全国·单元测试）有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 题型五十、含乘方的有理数混合运算 50．有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 题型五十一、程序流程图与有理数计算 51．按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 题型五十二、计算器——有理数 52．（2025七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 题型五十四、求近似数的精确度 54．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 题型五十五、近似数推断取值范围 55．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 学科网（北京）股份有限公司 $