第1章 因式分解 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“因式分解”，系统梳理定义、提公因式法、平方差公式及完全平方公式，通过对比整式乘法建立逆向思维，以“定义—方法—例题—训练”为脉络，搭建从公因式确定到公式应用的递进式学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导观察多项式结构，如例2通过系数字母特征提取公因式，结合数学思维强化推理运算，如例4用平方差公式分解展示逻辑过程，借助数学语言实现符号表达与实际应用，如阴影面积计算转化模型。资料例题典型、小结清晰，助力学生构建知识体系，也为教师提供完整教学资源。

小结与复习 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式， 称为把这个多项式_________，也称为__________； 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个多项式的______， 后者是把几个多项式的______化为一个________. 一、因式分解 因式分解 乘积 分解因式 多项式的乘法 相反 多项式 乘积 乘积 要点梳理 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中　 　的字母； (3)各字母的指数：取次数最　 　的． 公因式 公因式 最大公因数 相同 最低 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______提到括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 分配 公因式 因式 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式； (2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. ( a + b )( a - b ) 两 相反 平方 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2， a2 - 2ab + b2 = ( )2. 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____，能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形. 不是 不是 是 不是 不是积的形式 是整式乘法 不是恒等变形 考点讲练 考点二 提公因式法因式分解 例2 分解因式： (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b + c) - 3(b + c)； (3) (a + b)(a - b) - a - b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc). (2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3). (3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 1. 把下列多项式因式分解： 针对训练 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91)＝13×20＝260. (2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14 ＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022. 2. 已知 a = 9 - b，ab = 4，求 a2b ＋ ab2 的值． 解：因为 a = 9 - b，ab = 4，所以 a＋b=9 ， 所以原式 = ab( a＋b ) = 4×9 = 36. 方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案． 针对训练 考点四 平方差公式因式分解 例4 分解因式： (1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2. 解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a ) ＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n) ＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n ) ＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ). 3. 已知 x2 － y2 ＝－1，x ＋ y ＝ ，求 x － y 的值． 解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1， x ＋ y ＝ ， 所以 x － y ＝ －2. 针对训练 4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则S阴影＝( 1002 - 992 ) + ( 982 - 972 ) + … + ( 22 - 12 ) ＝100 + 99 + 98 + 97 + … + 2 + 1 ＝ 5050． 答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2. 考点五 完全平方公式因式分解 例5 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2. 解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a ) ＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2. 5. 已知 a + b = 5，ab = 10，求 a3b + a2b2 + ab3 的值． 解： a3b + a2b2 + ab3 ＝ ab( a2 + 2ab + b2 ) ＝ ab( a + b )2. 当 a + b ＝ 5，ab ＝ 10 时， 原式＝ ×10×52 ＝ 125. 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 课堂小结 见教材章末练习题 课后作业 $