第1章 多知道一点 十字相乘法与分组分解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册因式分解中的十字相乘法与分组分解法，通过复习因式分解与整式乘法的互逆关系及已学的提公因式法、公式法，搭建新旧知识桥梁，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以“探究-观察-总结-应用”为主线，十字相乘法通过表格对比常数项、一次项系数与分解结果，结合十字交叉线直观呈现规律，培养数学抽象与几何直观能力。分组分解法“一分二提三套四查”步骤清晰，典例与分层练习结合，提升运算能力与推理意识，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

十字相乘法与分组分解法 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1 学习目标 1. 理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式；（重点） 2. 能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解.（难点） 整式乘法 因式分解 一个多项式 几个整式的积 1.因式分解和整式乘法的关系是？ 2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 是相反方向的变形 ①提公因式法： ②公式法： pa + pb + pc = p(a + b + c) 1. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 复习导入 十字相乘法因式分解 探究：1.计算： (1) (x + 2 )(x + 3) = ___________； (2) (x + 1)(x - 4) =____________； (3) (x + 4 )( x - 2) =____________； 2. 根据题 1 和等式的性质填空： (1) x2 + 5x + 6 = ______________ ； (2) x2 - 3x - 4 =_______________； (3) x2 + 2x - 8 =_______________； x2 + 5x + 6 x2 - 3x - 4 x2 + 2x - 8 ( x + 2 )( x + 3 ) ( x + 1 )( x - 4 ) ( x + 4 )( x - 2 ) 1 探究新知 观察因式分解算结果，你能发现什么规律？ 多项式 常数项 一次项的 系数 分解因式 x2 + 5x + 6 6 5 (x + 2)(x + 3) x2 - 3x - 4 - 4 - 3 (x + 1)(x - 4) x2 + 2x - 8 - 8 2 (x + 4)(x - 2) x2 + (p + q)x + pq = 规律 (x + p) (x + q). 2×3 2 + 3 1×(-4) 1 + (-4) 4×(-2) 4 + (-2) 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解. 多项式 x²＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： x²＋5x＋6 ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 1 1 2 3 1×3＋1×2＝5 典例精析 例1 分解因式：x2－5x＋6. 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为 1×(－3)＋1×(－2)＝－5， 它是一次项的系数，因此 x²－5x－6＝(x－2)(x－3) 1 1 －2 －3 (1) (x－1)(2x－5)＝ ； 合作探究 (2) (3x＋1)(x＋3)＝ ； 2x²－7x＋5 探究：计算： 3x²＋10x＋3 (3) (dx＋m)(ex＋n)＝ . 根据等式的性质填空： (1) 2x²－7x＋5＝ ______________ ； (2) 3x²＋10x＋3＝_______________； (3) dex²＋(em＋dn)x＋mn＝ . dex²＋(em＋dn)x＋mn (x－1)(2x－5) (3x＋1)(x＋3) (dx＋m)(ex＋n) 知识要点 一般地，对于二次多项式 ax²＋bx＋c， ax²＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n) 这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法. ① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a， ② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c， ③ 交叉数的乘积之和 dn＋em 等于一次项系数b， 如图所示，则 d e m n 例2 把多项式 10x²＋23x＋12 因式分解. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4， 2 5 3 4 因此 10x²＋23x＋12＝(2x＋3)(5x＋4) 左边两个数的乘积等于二次项系数10， 右边两个数的乘积等于常数项12， 交叉数的乘积之和为2×4＋5×3＝23， 它是一次项的系数， 练一练 1. 把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为 1×1＋1×(－5)＝－4， 它是一次项的系数，因此 x2－4x－5＝(x＋1)(x－5) 1 1 1 －5 (2) 6x2＋11x＋3. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写3，1， 2 3 3 1 因此 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1). 左边两个数的乘积等于二次项系数6， 右边两个数的乘积等于常数项3， 交叉数的乘积之和为2×1＋3×3＝11， 它是一次项的系数， 利用分组法因式分解 2 例3 把多项式 x3－x²－x＋1 因式分解. 分析：x3－x²－x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为 x3－x² 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解. 例3 把多项式 x3－x²－x＋1 因式分解. 解：x3－x²－x＋1 ＝(x3－x²)－(x－1) ＝x²(x－1)－(x－1) ＝(x－1)(x²－1) ＝(x－1)(x＋1)(x－1) ＝(x＋1)(x－1)². 像例3那样，利用分组来分解因式的方法叫作 分组分解法 小结：分组后再用公式法. 练一练 2. 把下列多项式因式分解： (1) x²－y²－3x－3y； 解：x²－y²－3x－3y ＝(x²－y²)－(3x＋3y) ＝(x－y)(x＋y)－3(x＋y) ＝(x＋y)(x－y－3). (2) x²－10x＋25－y². 解：x²－10x＋25－y² ＝(x²－10x＋25)－y² ＝(x－5)²－y² ＝(x－5＋y)(x－5－y). 1.下列因式分解正确的是( ) A．x3－4x = x(x2－4) B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2) C．x2 + 2x－1 = (x－1)2 D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1 2.把多项式 x2 + mx－5 因式分解成 (x + 5)(x－n)，则 m 的值为( ). A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 5 B A 课堂练习 3.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2； (2) -3a2 + 18a - 24； (3) 2x2 - x - 10. 解：(1) 原式＝2(x2 + 3xy + 2y2) ＝2(x + y)(x + 2y). (2) 原式＝-3(a2 - 6a + 8) ＝-3(a - 2)(a - 4). (3) 原式＝(x + 2)(2x - 5) 1 2 2 -5 4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1. (1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值； (2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值. 解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1 ＝x2＋(3＋a)x＋4， ＝x2－4x＋4， 且 A＋B＝(x－2)2， 所以 3＋a＝－4. 所以 a＝－7. (2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1) ＝x2＋(3－a)x＋6， 且 A＋B＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6， 所以 3－a＝－5. (2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值. 所以 a＝8. 5. 分解因式：3ax＋4by＋4ay＋3bx. 解：3ax＋4by＋4ay＋3bx ＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay) ＝3x(a＋b)＋4y(a＋b) ＝(a＋b)(3x＋4y) 十字相乘法与分组分解法 十字相乘法公式 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) ax²＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n) 一分：先分组； 二提：公因式； 三套：公式； 四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 分组分解法步骤 课堂小结 $