1.1 多项式的因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

1.1 多项式的因式分解 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.理解因式分解的意义和概念； 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点） 学习目标 问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6 ＝ 2×3 问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？ 复习导入 因式分解 1 (1) 因为(x + 1)² = ， 所以 x² + 2x + 1 = (x + 1)( )； (2) 因为 x(x－) = ， 所以 x²－x = x( ). 做一做 x² + 2x + 1 x + 1 x－ x²－x 观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？ 都是一个多项式化为几个多项式的积的形式 整式的乘法 探究新知 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式. 知识要点 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ 由于 x² + 2x + 1 = (x + 1)²， 则 x + 1 是多项式 x² + 2x + 1 的因式. 类似地，由于 x²－x = x(x－)， 则 x 和 x－ 都是 x²－x 的因式. 定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. x² + 2x + 1 = (x + 1)² x²－x = x(x－) 知识要点 例1 填空： 典例精析 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3) = x²－5x＋6， 因此三个空格都填写 x²－5x＋6. x²－5x＋6 x²－5x＋6 x²－5x＋6 x2 － y2 ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 x2 － y2 = ( x + y )( x － y ) 因式分解等式的特征： 左边是多项式， 右边是几个多项式的乘积. 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 是互逆的变形过程，即 (1) x(x－2y) = x2－2xy； (2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1； 典例精析 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. 解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法. (2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. (4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1. (3) 3x2－x = x(3x－)； (4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1). (3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0. 归纳总结 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1) D. ax + bx + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2•2ab F. x + 3 = x (1 + ) × × × × × × 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式； (3) 右边是整式的乘积的形式. 判一判： 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可. 归纳总结 1.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 x2﹣y2 9﹣25x2 x2 + 2x + 1 xy﹣y2 (x + 1)2 y(x﹣ y) (3﹣5x)(3 + 5x) (x + y)(x﹣y) 1. 连线： 课堂练习 2. 根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解： ； 解： 3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为 ( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15. a a b a – b a2 – b2 = (a + b)(a – b) 7. 手工课上，老师给小南同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底．你能帮助小南同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ b a + b 因式分解要注意以下几点： 3. 要分解到不能分解为止. 2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式； 1. 分解的对象必须是多项式； 因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程. 课堂小结 $