5.2 第1课时 勾股定理（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理 【素养目标】 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点） 【情境导入】 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五。 你知道为什么吗？ 【合作探究】 探究点一、 勾股定理的认识及验证 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）： 问题1 试问正方形 、、 的面积之间有什么样的数量关系？ 问题2 图中正方形 、、 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形、、是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位)： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 方法三：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 根据的面积填出下表： 的面积 的面积 的面积 左图 右图 问题4 正方形 、、 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ，，斜边长为 ， 那么 . 两直角边的平方和等于斜边的平方. 下面的动图形象地说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：. 勾股定理：直角三角形两直角边 ， 的平方和，等于斜边 的平方. . 公式变形： ， ， . ，，为正数 探究点二、利用勾股定理进行计算 例1 在 中，已知 ，，，. (1) 若 ，，求 . (2) 若 ，，求 . 【变式题1】在Rt△ABC中，∠C = 90°. (1) 若a : b = 1 : 2，c = 5，求a； (2) 若b = 15，∠A = 30°，求a，c. 【变式题2】在Rt△ ABC 中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 例2 如图，已知在等腰三角形 中，，， 是底边 上的高线，求 的长. 练一练 3.求下列图中未知边长 x，y 的值： 探究点三、勾股数 概念学习：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2 + b 2 = c 2， 那么这个三角形是直角三角形.满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 练一练 4.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 课堂练习 1.下列说法中，正确的是（ ） A. 已知 ，， 是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在 中，，所以 D. 在 中，，所以 2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______. 3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5 4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积. 6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1， 求 △ABC 的周长． 能力提升： 7. 如图，以 Rt△ ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3，求阴影部分的面积. 8. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，S7 的值. 参考答案 探究点一、勾股定理的认识及验证 证法1 证明：∵，，∴.∴. 证法2 毕达哥拉斯证法， 证明：∵ ， ==，∴ .∴ . 证法3 证明：，，. 探究点二、利用勾股定理进行计算 例1 解：(1) 根据勾股定理得，. 因为 ， 所以 . (2) 根据勾股定理得，. 因为 ，所以. 【变式题1】解：(1)设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 ，解得 ，∴ . (2) ∠A = 30°，b = 15，∴ c = 2a. 因此设a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得， 解得. ∴，. 【变式题2】解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当 AB为斜边时，如图 ①，BC = ； 当 BC为斜边时，如图 ②，BC = . 例2 解 根据等腰三角形的性质定理得， 也是底边 上的中线， 因此 .在 Rt 中，由勾股定理得，， 因此 . 故 的长为 12 . 练一练 解：由勾股定理可得 ，解得 . 解：由勾股定理可得 ，解得 . 探究点三、勾股数 练一练 4. A 课堂练习 1. C 2. 36. 3. B 4. A 5.解：设另一条直角边长是 cm.由勾股定理得 ， 即 ，所以 （负值舍去）， 所以另一直角边长为 8 cm.直角三角形的面积是 (). 6. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°.在 Rt △ADB 中， ∵∠B + ∠BAD = 90°，∠B = 45°，∴∠B = ∠BAD = 45°. ∴ BD = AD = 1，∴AB = . 在Rt △ ADC中，∵∠C = 30°，∴ AC = 2AD = 2.∴ CD = ， ∴BC = BD + CD = 1 + . ∴△ABC的周长为AB + AC + BC = . 能力提升： 7. 解：∵，∴. 又∵， ∴.∴；同理可得 又∵， ∴阴影部分的面积为 . 8. ，，. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $