4.2.2 证明，举反例（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第4章 三角形 4.2 命题与证明 第2课时 证明，举反例 【学习目标】 1. 并会对假命题举反例. 2. 了解证明的基本步骤和书写格式; 3. 掌握反证法证明的基本步骤和格式. 【学习重点】了解证明的基本步骤和书写格式 【学习难点】掌握反证法证明的基本步骤和格式 【情境导入】 伽利略巧破落体谬论 16世纪,亚里士多德 “重物体下落更快” 的观点深入人心, 大家对此深信不疑. 但年轻的伽利略却对此存疑.他来到比萨斜塔前,周围聚满了好奇的民众. 伽利略一手拿着10磅重的铁球, 一手拿着 1磅重的铁球, 随后同时将两球抛下. 众人惊异地看到,两球几乎同时砸向地面.伽利略随即解释, 若依亚里士多德所言, 两球绑一起, 轻球会拖慢重球,可总重变大又该下落更快,此观点自相矛盾,由此成功推翻. 【合作探究】 探究点一、 举反例 判一判:下列命题是真命题还是假命题? 1. 有理数的绝对值是正数. 2. 如果 ,那么 . 知识要点 探究1: 如何判断一个命题是假命题呢? 一般地,对于一个命题,如果能举出一个例子, 使之符合命题条件,但不满足命题结论,就可判断该命题为假命题,这种做法称为举反例. 例1 命题“如果 ,那么 ” 是真命题还是假命题? 做一做 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1) 若,则； (2) 一个角的余角大于这个角； (3) 若是有理数,则 ; (4) 如果,那么与是对顶角. 探究点二 证明 探究2: 如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题,通常需从命题的条件出发,运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题,进行逻辑推理、计算,得出这个命题的结论成立, 这一过程就是通常所说的证明过程. 归纳总结 真命题证明的一般过程: 例2 证明: 如果实数或实数 , 那么 . 探究点三 反证法 例3 证明: 的三个内角中至少有一个角大于或等于 . 像上例这样, 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时,可以先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾,得出假设不成立,从而判断所求证命题正确, 这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤: (1)假设命题不成立；(2)导出矛盾；(3)肯定结论. 应用反证法的情形: (1) 直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论； (3)结论为 “至少”“至多”“有无穷多个”的一类命题; (4) 结论为 “唯一” 类命题. 用反证法证明时,导出矛盾的几种可能: (1)与原命题的条件矛盾；(2)与假设矛盾； (3)与定义、公理、定理、性质矛盾；(4)与客观事实矛盾. 用反证法证明下例. 例2 证明: 如果实数或实数 ,那么 . 练一练 1. 命题 “三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( ) A. 两个内角是直角 B. 有三个内角是直角 C. 至少有两个内角是直角 D. 没有一个内角是直角 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 不等于 任意的 某个 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 个 至多有（n-1）个 小于 不小于 至多有 个 至少有（n+1）个 对所有 成立 存在某个 不成立 对任何 不成立 存在某个 成立 课堂练习 1. 举反例说明下列命题是假命题: (1) 两个锐角的和是钝角； (2) 如果数的积 ,那么都是正数； (3) 两条直线被第三条直线所截, 同位角相等. 2. 如图,现有以下3个论断: ① ；② ; ③ . 请以其中2个论断为条件, 另一个论断为结论构造命题. (1)你构造的是哪几个命题？ (2)请选择其中一个真命题加以证明. 3. 求证: 中不能有两个钝角. 参考答案 探究点一 举反例 判一判:1. 假命题 如: 0的绝对值是 0 , 不是正数. 2. 假命题 如: ,但 . 例1 解: ,但是 ,因此“如果 ,那么”是假命题. 做一做 解:(1) ,但是 , 因此 “若 ,则 ” 是假命题. (2) 一个角是 ,它的余角是 ,但是 因此 “一个角的余角大于这个角”是假命题.(3), 但是 ,因此 “若 是有理数,则 ”是假命题. (4) 反例:在一个等腰三角形中,两个底角和相等,比如等腰三角形的两个底角都为 ,但这两个角并不是对顶角.因此“如果 ,那么 与 是对顶角”是假命题. 探究点二 证明 例2 证明: 若 ,则 为正数.又 为正数或0 ,从而是正数, 因此 .同理可得,若 ,则 . 探究点三 反证法 例3 证明: 假设的三个内角中没有一个角大于或等于 , 则 ,从而 . 这与 “三角形的内角和等于 ” 矛盾,故假设不成立. 因此, 的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 做一做 证明: 假设 .因为对于任意实数 , 都有 ,要使成立,则且 , 由此可得且 .这与已知条件“实数 或实数 ”矛盾. 所以假设不成立,即如果实数或实数 , 那么 . 练一练 1. C. 课堂练习 1. 举反例说明下列命题是假命题: (1) 直角三角形的两个锐角和不是钝角. (2) -1-3的积是 和-3不是正数. (3) 两条相交的直线、被第三条直线所截 (如图), 所得同位角不相等. 2. 解:(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①. (2) 由①②得③,证明过程如下: . 又 . . . (答案不唯一) 3. 证明: 假设 中有两个钝角,不妨设 , 则 .这与三角形的内角和定理相矛盾, 所以假设不成立, 因此原命题正确,即中不能有两个钝角. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $