第1章 多知道一点 十字相乘法与分组分解法（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

多知道一点 十字相乘法与分组分解法 【学习目标】 1. 理解并掌握用十字相乘法和分组分解法因式分解； 2. 能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解. 【学习重点】十字相乘法和分组分解法因式分解. 【学习难点】灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算. 【复习导入】 1. 因式分解和整式乘法的关系是？ 2. 我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 【合作探究】 探究点一、十字相乘法因式分解 探究：1.计算： (1) (x + 2 )(x + 3) = __________； (2) (x + 1)( x -4) = ___________； (3) (x + 4 )( x - 2) =___________； 2. 根据题1和等式的性质填空： (1) x2 + 5x + 6 = ______________； (2) x2 - 3x - 4 =_______________； (3) x2 + 2x - 8 =_______________； 观察因式分解算结果，你能发现什么规律？ 多项式 常数项 一次项的系数 分解因式 x2 + 5x + 6 x2 - 3x - 4 x2 + 2x - 8 规律：___________________________________. 多项式 x²＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： x²＋5x＋6 归纳总结 ① 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ② 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③ 然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. 例1 分解因式：x2-5x＋6. 计算. (1) (x-1)(2x-5)＝___________________； (2) (3x＋1)(x＋3)＝___________________； (3) (dx＋m)(ex＋n)＝__________________. 根据等式的性质填空： (1) 2x²－7x＋5＝ ______________ ； (2) 3x²＋10x＋3＝_______________； (3) dex²＋(em＋dn)x＋mn＝_______________. 知识要点 一般地，对于二次多项式 ax²＋bx＋c， ① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a， ② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c，d m e n ③ 交叉数的乘积之和 dn＋em 等于一次项系数b， 如图所示，则 ax²＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n) 这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 例2 把多项式 10x²＋23x＋12 因式分解. 练一练 1. 把下列多项式因式分解： (1) x2-4x-5； (2) 6x2＋11x＋3. 探究点二、利用分组法因式分解 例3 把多项式 x3-x²-x＋1 因式分解. 练一练 2. 把下列多项式因式分解： (1) x²-y²-3x-3y； (2) x²-10x＋25-y². 课堂检测 1.下列因式分解正确的是( ) A．x3－4x = x(x2-4) B．x2-x-2 = (x + 1)(x-2) C．x2 + 2x-1 = (x-1)2 D．x2 -2x + 1 = x(x-2) + 1 2.把多项式 x2 + mx-5 因式分解成 (x + 5)(x-n)，则m的值为( ). A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 5 3.因式分解： (1) 2x2 + 6xy + 4y2； (2) -3a2 + 18-24； (3) 2x2 -x-10. 4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax-1. (1) 若 A＋B＝(x-2)2，求 a 的值； (2) 若 A-B 可以分解为 (x-2)(x-3)，求 a 的值. 5. 分解因式：3ax＋4by＋4ay＋3bx. 参考答案 复习导入 1.因式分解和整式乘法是相反方向的变形. 2.①提公因式法：pa + pb + pc = p( a+b+c ) ②公式法：1. a2-b2 = (a+b)(a-b) 2. a2±2ab + b2 = (a±b)2 【合作探究】 探究点一、十字相乘法因式分解 探究 1.（1）x2+5x+6 （2） x2-3x-4 （3）x2+2x-8 2.（1）( x+2 )( x+3 ) （2）( x+1 )( x-4 )（3）( x+4 )( x-2 ) 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解 x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 【典型例题】 例1 x²－5x－6＝(x－2)(x－3) 探究 （1）2x²－7x＋5 （2）3x²＋10x＋3 （3） dex²＋(em＋dn)x＋mn （1）(x－1)(2x－5) （2）(3x＋1)(x＋3) （3）(dx＋m)(ex＋n) 例2 10x²＋23x＋12＝(2x＋3)(5x＋4) 练一练 （1）x2－4x－5＝(x＋1)(x－5) （2） 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1). 探究点二、利用分组法因式分解 例3 解：x3－x²－x＋1＝(x3－x²)－(x－1)＝x²(x－1)－(x－1) ＝(x－1)(x²－1)＝(x－1)(x＋1)(x－1)＝(x＋1)(x－1)². 练一练 2.（1）解：x²－y²－3x－3y＝(x²－y²)－(3x＋3y) ＝(x－y)(x＋y)－3(x＋y)＝(x＋y)(x－y－3). (2) 解：x²－10x＋25－y²＝(x²－10x＋25)－y² ＝(x－5)²－y²＝(x－5＋y)(x－5－y). 课堂检测 1.B 2.A 3.解：(1) 原式＝2(x2+3xy+2y2)＝2(x+y)(x+2y). (2) 原式＝-3(a2-6a+8) ＝-3(a-2)(a-4). (3) 原式＝(x+2)(2x-5) 4.解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4， 且 A＋B＝(x－2)2，＝x2－4x＋4，所以 3＋a＝－4.所以 a＝－7. (2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5-(ax-1)＝x2＋(3-a)x＋6， 且 A＋B＝(x-2)(x-3)＝x2-5x＋6，所以 3－a＝－5.所以 a＝8. 5.解：3ax＋4by＋4ay＋3bx ＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay) ＝3x(a＋b)＋4y(a＋b) ＝(a＋b)(3x＋4y) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $