15.4 第4课时 含30°角的直角三角形的性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第4课时 含30°角的直角三角形的性质 学习目标 1．掌握含30°角的直角三角形的性质． 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算． 学习重难点 探索含30°角的直角三角形的性质. 含30°角的直角三角形的性质的应用. 难点 重点 回顾复习 2.等边三角形的判定: （1）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． 1.等腰三角形的判定： （1）有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）. 创设情境 证明：在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°, ∴∠B =60°． 延长 BC 到 D，使CD = BC，连接 AD， 则 △ACD ≌ △ACB (SAS). ∴ AD = AB, ∠BAC =∠DAC = 30°, ∠BAD = 60°. ∴△ABD 是等边三角形． ∴BD=AB. 又∵ BC =BD, ∴ BC = AB． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A B C D 新知引入 知识点 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt △ ABC 中, ∵∠ C=90°，∠ A=30°， ∴ BC= AB. 几何语言： 例题示范 例4 如图，一艘船上午8:00从 A 处出发，以 10 n mile/h的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30°方向上. 这艘船上午 10：00 到达 B 处，从测得礁石 C 在北偏西 60°的方向上. A B C 60° 30° N 北 （1）画出暗礁C的位置； 解： (1)以 A 为顶点, 向北偏西 30°作射线AD，在点A的正北方向上取一点B, 以 B 为顶点, 向北偏西 60°作射线BE, AD与 BE 交于点 C, 则点 C 为礁石所在地. 解 ：(2) 由题意得∠ACB=60°-30°=30°, ∵∠BAC=30°, ∴∠BCA=∠BAC，∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20 ( n mile), ∴ BC =20 ( n mile). 答：从 B 处到礁石 C 的距离是 20 n mile. （2）求从B处到暗礁C的距离. 解 ：(3) 如图，过点C作 CF ⊥ AB,垂足为点F. ∵∠CBF =60°, ∠CFB =90°, ∴∠BCF =30°. ∴BF =BC=10(n mile). 答:这艘船继续向正北方向航行10 n mile与礁石C的距离最小. （3）这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小? 想一想：图中BC，DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m，∠A =30°.求立柱BC，DE 的长. A B C D E 解： ∵DE⊥AC, BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC=AB, DE= AD. ∴BC=AB=×7.4=3.7(m). 又AD=AB, ∴DE=AD=×3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 随堂练习 1.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则 AC =_____ ． A B C 3 30° 6 2.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C D 3.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的高，∠A＝30°，BD＝2，求 AD 的长． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°. ∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠BDC＝90°. ∴∠BCD＝90°－∠B＝30°. ∴ BC＝2BD＝4. ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴ AB＝2BC＝8. ∴ AD＝AB－BD＝8－2＝6. 4. 如图，在△ ADC 中，AD=CD， 且AB ∥ DC， CB ⊥ AB 于B，CE ⊥ AD 交AD 的延长线于E，连接BE． (1)求证：CE=CB； (2)若∠CAE=30°，CE=2，求AC 的长度． (1) 证明：∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA. ∵ AB ∥ CD， ∴∠ DCA= ∠ CAB， ∴∠ DAC= ∠ CAB. 又∵ CE ⊥ AD，CB ⊥ AB， ∴∠ AEC= ∠ ABC=90° . 又∵ AC=AC， ∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB． (2) 解：∵ CE ⊥ AE， ∴∠ AEC=90° . 在 Rt △ AEC 中， ∵∠ CAE=30°， ∴ AC=2CE=4. 5. 如图， 在△ ABC 中，AB=AC，∠ B=30°，线段AB 的垂直平分线MN 交BC 于D. 求证：CD=2BD． 证明：如图，连接AD， ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线， ∴ AD=BD， ∴∠DAB= ∠B = 30° . 又∵ AB=AC， ∴∠B= ∠C = 30°， ∴∠BAC=120°，∴∠DAC=90°. ∴ CD = 2AD. 又∵ AD=BD， ∴ CD = 2BD． 6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB． 求证：∠BAC=30°． C B A 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵ AC=AC．∴△ACB≌△ACD (SAS)．∴AB=AD． ∵ CD=BC，∴BC=　 BD． 又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD， 即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°． 在Rt△ABC中，∠BAC=30°． C B A D 归纳小结 含30°角的直角三角形的性质 1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在一般情况下，遇到30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线，构造含30°角的直角三角形，解决相关的线段问题． 2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长： 依据：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 用途：求线段长度和证明线段倍分关系． 作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含30°角的直角三角形． 绿卡图书—走向成功的通行证 $