15.4 第3课时 等腰三角形的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握等腰三角形的判定定理，运用定理进行论证和证明； 2.掌握等边三角形的判定定理. 掌握等边三角形的判定定理. 掌握等腰三角形的判定定理，运用定理进行论证和证明. 创设情境 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗？请与你的同学研究讨论后作出判断. 3cm 3cm 测量后发现AB与AC相等 新知引入 知识点1 等角对等边 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形， 简称“等角对等边”. 等腰三角形判定定理的内容如何证明？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：过点A作AD⊥BC, D点为垂足， ∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义） 在△ADB和△ADC中，∵ ∴△ADB≌△ADC.(AAS) ∴AB=AC.(全等三角形的对应边相等) 例题示范 已知：如图，AB = DC，BD = CA， 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌△DCA ，(SSS) ∴∠ADB =∠DAC ，(全等三角形的对应角相等） ∴AE = DE ， (等角对等边） ∴ △AED 是等腰三角形. 新知引入 知识点2 等边三角形的判定 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 由等腰三角形判定定理可得以下推论： 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：若AB=AC , ∠A= 60°. 求证：AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60°. ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴ AB = AC = BC. A B C 证明: ∵AB=AC, ∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形. (三个角都相等的三角形是等边三角形) 如图，在△ABC中，AB=AC, ∠B=60°． 求证：△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. 【验证】 A B C 60° 例题示范 如图，在等边△ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE // BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE 是等边三角形. 随堂练习 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长为______cm. 练习1 9 1 如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 O a b D A 练习2 如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD. 求证： （1）△ABD是等腰三角形. （2）求∠BAD的度数. 练习3 （1）证明：∵AC⊥BD, ∴∠ACB=∠ACD=90°， 又 AC=BC=CD, ∴△ABC ≅△ADC (SAS), ∴AB=AD, 即△ABD是等腰三角形. （2）由（1）可知，AB=AD, ∴∠B=∠D, 又AC=BC=CD, ∴∠B=∠BAC, ∠D=∠DAC. 在△ABD中，∠B+∠BAC+∠DAC+∠D=180°， ∴2(∠BAC+∠DAC)=180° ∴∠BAC+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°. 如图，点E在△ABC 的AC 边的延长线上，点D 在AB 边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE. 求证：△ABC是等腰三角形. 练习4 证明: 过点D作DG∥AC交BC于点G,如图所示. ∵ DG∥AC, ∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 在△GDF 和△CEF 中, ∴ △GDF≌△CEF (ASA) , ∴ GD=CE. ∵ BD=CE , ∴ BD=GD , ∴∠B=∠DGB , ∴∠B=∠ACB ,则AB=AC , ∴△ABC 是等腰三角形. ∠GAF=∠E , DF=EF , ∠DFG=∠EFC , 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 练习5 证明: ∵ AB=BC， ∴△ABC是等边三角形. 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， 归纳小结 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 绿卡图书—走向成功的通行证 $