15.4 第2课时 等腰三角形的性质---三线合一-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的性质-----三线合一 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握等腰三角形顶角平分线与底边上的高，底边上的中线三线合一的性质； 2.掌握用等腰三角形的性质证明两个直角三角形全等. 等腰三角形性质的证明. 运用等腰三角形的性质解题. 等腰三角形的性质： 定理1 等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 回顾复习 新知引入 实验探究 如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的△ABC有什么特点？ A B C 重合的线段 重合的角 　 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC AD是BC边上的中线 AD是∠BAC 的平分线 两底角相等 A B C 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入表中. ∠ADB =∠ADC=90°，AD是边上的高 如图，在△中,. 1.如果作边上的高线，那么平分吗？平分吗？ 2.如果作△的顶角平分线，那么垂直平分吗？ 思考 A B C D ∵AD⊥BC，∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， ∵ ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）， ∴ ，. 证法：作底边上的高线 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.过点A作AD⊥BC，交BC于点D. 求证： ，. 证明： A B C D AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， A B C D 证法：作底边上的高线 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D. 求证： ，AD⊥BC. ∵AD平分∠BAC，∴ ∠BAD ＝∠CAD. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， ∵ ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（SAS），∴ ，. ∵B,D,C在一条直线上，∴＝90°，即AD⊥BC. 证明： AB＝AC（已知）， ∠BAD ＝∠CAD,（已证） AD＝AD（公共边）， 由上面的证明可得，BD=DC，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°. 因此有如下的性质： 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，简称“三线合一”. 新知引入 知识点 等腰三角形的性质----三线合一 例题解读 例1 已知：如图，在△中，，是边上的中线，点是上一点. 求证:. 证明 ∵，是边上的中线，(已知) ∴是边上的高. (三线合一) ∴垂直平分线段. （垂直平分线的定义) ∵点是上一点，(已知) ∴. (垂直平分线的性质) 例2 求证：斜边和一条止角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知:如图(1)，在Rt△和Rt△中，∠ = ∠' =90°， ，求证：Rt△≌Rt△. 证明 如图(2)，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使点A和A' 、点C和C'重合，点B和B'在AC的两侧. ∵∠BCB′=90° + 90° =180°，(等式性质) ∴B，C，B'三点在同一直线上. (平角的定义) ∵AB=A'B'，(已知) ∴∠B=∠B'.（等边对等角） 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， ∵ ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（AAS）. ∠ACB ＝∠A'C'B'（已知）， ∠B ＝∠B',（已证） AB＝A'B'（公共边）， 随堂小测 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 2.如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A. 50° B.60° C.65° D.70° B A 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 (　　) A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECB C．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE D 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的 平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. （1）若∠BAD＝25°，求∠C的度数； （2）求证：EF＝ED. (1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC ＝(180°－ ∠A) =(180°－50°)＝65°. (2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC， 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED. 归纳小结 等腰三角形 定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，简称“三线合一”. 绿卡图书—走向成功的通行证 $