15.4 第1课时 等腰三角形的性质---等边对等角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质----等边对等角 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握等腰三角形两底角相等的性质； 2.掌握等边三角形三个角相等，都为60°的性质. “等腰三角形性质---等边对等角”的证明. 运用等腰三角形的性质解题. 创设情境 画一个等腰三角形ABC.如图，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现折痕AD.观察图形：△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？ （ B ） 新知引入 知识点1 等边对等角 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 由上面的操作，我们可以得到等腰三角形的如下性质： 定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 等腰三角形性质定理1的内容如何证明？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C. 证明：取BC的中点D，连接AD. 在△ABD和△ACD中，∵ ∴△ABD≌△ACD (SSS)， ∴∠B＝∠C. (全等三角形的对应角相等) AB＝AC，(已知) AD＝AD，(公共边) BD＝CD，(已作) 在等边三角形中，三个内角之间的数量关系如何？它们的度数确定吗？ 交 流 类比探究 A B C A B C 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C =60° 推论 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 新知引入 知识点2 等边三角形的性质 例题示范 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数. 例1 解： ∵AB=AC，∠BAC=120°，(已知) ∴∠B=∠C ∵BD=AD，(已知) ∴∠BAD=∠B=30°. (等边对等角) 同理：∠CAE=∠C=30°. ∴∠DAE =∠BAC－∠BAD－∠CAE =120°－30°－30° =60°. =30°. (等边对等角) = ×(180°－120°) = ×(180°－∠BAC) 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，CE=AE，求∠A和∠C的度数. A B C D 解：∵AB = AC，BD = BC = AD，(已知) ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. (等边对等角) 设∠A = x°， 则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x°. (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∵∠ABC =∠C =∠BDC = 2x°， ∴ x + 2x + 2x = 180. (三角形内角和等于180°) 解方程，得 x = 36. ∴∠A = 36°，∠C = 72°. A B C D 随堂练习 练习1 如图，△ABC中， AB=AC，AD=BD， DE⊥AB于点E，若BC=10 ，且△BDC的周长为24，求AE的长. B A D E C 解： ∵BC=10， ∴BD＋CD=14. △BDC的周长为24， ∵AD=BD， ∴AD＋CD=AC=14. ∵AB=AC， ∴AB=14. ∵AD=BD，DE⊥AB， ∴AE= AB=7. B A D E C 练习2 如图，△ABC中， AB=AC，点D在且△ABC外， CD⊥AD于D，CD=BC，求证: ∠ACD=∠B. B A D C 证明: 如图，过点A作AE⊥BC于E， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△ACD . (HL) ∴ ∠ACD=∠B. AB=AC， BE=CD， ∴ ∠AEB =90°. 在Rt△ABE和Rt△ACD中， ∵ ∴ ∠AEB =∠ADC=90°. ∴ ∠ADC=90°. ∵CD⊥AD， ∵AB=AC， ∴BE=BC. ∵CD=BC， ∴BE=CD B A D C E 如图，在等边三角形ABC中，BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，AB＝6 cm.求： (1)∠E的度数； (2)BE的长． 练习3 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE. 又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE， ∴∠E＝ ∠ACB＝30°. (2)∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线， ∴AB＝AC＝BC，D是AC的中点． 又∵AB＝6 cm，∴CD＝3 cm， ∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9 (cm)． 练习4 如图，在△ABC中，过C 作∠BAC 的平分线AD的垂线，垂足为 D, DE∥AB 交 AC 于E . 求证：AE=CE. 证明：延长CD交AB的延长线于P, 在△ADP和△ADC中，∠PAD=∠CAD,AD=AD, ∠PDA=∠CDA,∴△ADP≅△ADC. ∴∠P=∠ACD. 又DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=ACD, ∴DE=EC. 同理可证，AE=DE,∴AE=CE. 练习5 已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD 是∠ADE的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，求△DEC的周长. 解：∵△ABC为等腰三角形，且∠A＝90°， ∴AB=AC, ∠ABC=∠C=45°, ∵DE⊥BC, ∴∠DEB=90°, ∵DB是∠ADE平分线， ∴∠BDA=∠BDE. 在△ADB与△EDB中, ∴△BDA≌△BDE (AAS). ∴BA=BE , DA=DE. ∵△DEC的周长 ＝DE+DC+EC =AD+DC+EC =AC+EC=EB+EC=BC, ∴△DEC的周长为10 cm. 归纳小结 等腰三角形 定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”. 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°. 绿卡图书—走向成功的通行证 $