第二章 一元二次方程 单元检测（一） 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025年北师大九年级上册数学第二章一元二次方程单元检测（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.根据下面表格中的对应值： 判断方程为常数的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程根的情况是(    ) A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程无实数根 D. 方程根的情况不确定 5.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 6.若，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，计划安排场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请个队参加比赛，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 9.商场将进价为元件的某种商品以元件出售时，每天能卖出件．经调查发现，每降价元，每天可多卖出件．若降价元，每天将盈利元，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 10.若关于的一元二次方程的一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于的一元二次方程有一个根为，则          ． 12.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 13.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为          ． 14.某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，第档次最低档次的产品一天能生产件，每件利润元每提高一个档次，每件利润增加元，但一天产量减少件若要使一天的总利润为元，则该产品的质量档次为          ． 15.在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式是常数配成是常数的形式，则的最小值是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共16分。 16.解方程： ．．． 四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 18.本小题分先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式的最小值． 解：． ，．的最小值是． 求代数式的最小值； 求代数式的最大值． 19.本小题分某大樱桃采摘园收费信息如表： 成人票 儿童票 大樱桃价格 不超过人 超过人 元人 元斤 元人 每增加人，人均票价下降元，但不低于儿童票价． 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买． 周末，个成人带领个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了斤大樱桃，则该团需支付的总费用          元 某公司员工均为成人在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？ 20.本小题分根据以下素材，探索完成任务． 素材 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术某泥塑作坊制作泥塑进行销修，月份制作泥塑件，同年月份制作泥塑件． 素材 泥塑的制作成本为元件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量件与每件售价元之间符合一次函数关系． 问题解决 任务 求该泥塑作坊月份到月份制作泥塑数量的月平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元件？ 21.本小题分正月十五是中华民族传统的节日元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要斤汤圆馅和斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产斤汤圆馅或斤汤圆粉每天只能生产其中一种． 若这天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ 为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把这天生产的汤圆在天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为元，当售价为元时每天可售出袋，售价每降低元，每天可多售出袋．汤圆店按售价元销售天后，余下天进行降价促销，第天结束后将还未售出的手工汤圆以元袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利元，则促销时每袋应降价多少元？ 22.本小题分【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程很多同学解不出来． ；． 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程． 如解方程． 解：原方程可变形，得 ， ， ， ， 直接开平方可得 ，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得 ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“”“”“”“”表示的数分别为          ，          ，          ，          ． 【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． 【问题解决】请用“平均数法”解方程： ； ． 23.本小题分【示范操作】方法：用配方法解一元二次方程，变形为，将配方的过程转化为图形的“割”“拼”“补”，如图． 得． 方法：古代数学家赵爽著勾股圆方图注中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用个长为，宽为，面积为的长方形，拼成如图的大正方形，利用大正方形的面积等于个长方形的面积加中空的小正方形面积，得． 【模仿实践】仿方法配方解，先变形为          ，如图，每个小长方形的长为          ，宽为          ，利用图形的面积关系得配方后的方程为          ，解为          ． 【深入探究】仿方法配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了方法设，，则有则，，配方成功，从数到形，又从形回归到数．请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】-1 12.【答案】12 13.【答案】1 14.【答案】6 15.【答案】-5 16.【答案】解：(11=-1+号V3,x2=-1-5 (=亚.-亚 3-+耍，x--耍 4=1+9.x,=1-9 17.【答案】【小题1】 证明：4=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8. :m2≥0，：△>0.·无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 【小题2】 :方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2, X1+x2=m+2,X1x2=m-1."X+x3-X182=9, 即(x1+x2)2-3x182=9.÷(m+2)2-3(m-1)=9. 第1页，共1页 解得m1=-2,m2=1.÷m的值为-2或1. 18.【答案】【小题1】 解：+m+1=m㎡+m+字+是-(m+)+星≥是，“m2+m+1的最小值是是 【小题2】 4-x2+2x=-x2+2x-1+5=-(x-1)2+5≤5，：4-x2+2x的最大值是5 19.【答案】【小题1】 465 【小题2】 设这次参加团建的共x人 若x<10,则20x=221, 解得x=11.05>10(不符合题意，舍去)：x>10 根据题意，得x[20-（x-10)]=221,解得x1=13,82=17. 当x=13时，票价为20-(13-10)=17（元），符合题意： 当x=17时，票价为20-(17-10)=13元<15元，不符合题意，舍去. 答：这次参加团建的共13人 20.【答案】解：任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x· 根据题意，得1000(1+x)2=1440, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去) 答：7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为20%· 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为(n一30)元. 根据题意，得(n-30)(800-10n)=6000, 整理，得n2-110n+3000=0,解得n1=50,n2=60. 又：尽可能让顾客得到实惠，·n=50. 答：该泥塑的售价应定为50元件。 第1页，共1页 21.【答案】【小题1】 解：设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0+品=21， 解得a=9000,符合实际，答：总共生产了9000袋手工汤圆； 【小题2】 设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时， 依题意得，225×2×(25-13)+8(25-13-x)(225+x)=40500, 整理得x2-6x+45=0,b2-4ac=62-4×45<0, ·方程无解，“10天不能全部卖完， :第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 (15-13)·[9000-2×225-8(225+x)]=13500-600x, ·依题意得， 225×2×(25-13)+8(25-13-x)·(225+x)+13500-600x=40500, 整理得300x2-1200x=0,解得X1=0,X2=4, :要降价促销，·x=4, 答：促销时每袋应降价4元. 22.【答案】【小题1】 2 -1 -7 【小题2】 解：原方程可变形，得 [x+1)+2Ix+1)-2]=5, (x+1)2-22=5, (x+1)2=5+22, (x+1)2=9, 第1页，共1页 直接开平方可得x1=2,X2=一4. 【小题3】 解：①原方程可变形，得 [(45-2x+5I(45-2x)-5]=936, (45-2x)2-52=936, (45-2x)2=936+52, (45-2x)2=961, 直接开平方可得x1=7,X2=38; ②50-x(40-2x)=702, 50-x20-x=351, 原方程可变形，得 [(35-x)+15I(35-x)-15]=351, 35-x)2-152=351, (35-x)2=351+152, (35-x)=576, 直接开平方可得x1=11,x2=59 23.【答案】【小题1】 xx+5)=14 x+5 (x+x+5)2=4×14+52 X1=2,X2=-7 【小题2】 解：先变形为2x(2x+5)=6, 画出的应用图形如下： 第1页，共1页 2r+5 2x 2 6 6 2r+5 2x+56 6 2r+5 每个小长方形的长为2x+5,宽为2x, 利用图形的面积关系得配方后的方程为：2x十5+2x=4×6十52， 即(4x+5)2=49 解得x1=主x=-3 【小题3】 解：先变形为xx-7)=一2， 设x=a,x-7=b, ∫ab=-2 则有a-b=7' (a+b)=4×(-2)+72, (x+x-7)2=41,即(2x-7)2=41, 解得x1=，X2=1-里 第1页，共1页2025年北师大九年级上册数学第二章一元二次方程单元检测（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.x2+2x=x2-3 B.ax2+bx+c=0 C.x2=1 D.x2+2y2-1=0 2.用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则b的值为() A号 B号 C.2 D黄 3.根据下面表格中的对应值： 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的范围是() A.3<X<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26 4.一元二次方程x2+2x+5=0根的情况是() A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.方程无实数根 D.方程根的情况不确定 5.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的 两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方 程是() A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0C.x2-5x+2=0D.x2-6x-10=0 6.若a,B是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则a2+3+B的值为() A.2015 B.2022 C.-2015 D.4010 7.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队 参加比赛.设应邀请x个队参加比赛，则x的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车 位的占地面积为520m2,求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为xm,根据题意所列方程为(） 40m 其车位 22m 不车道 宽度 停车位 出口 第1页，共6页 A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-x)(22-x)=520 C.(40-x)(22-2x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 9.商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件.经调查发现，每降价1元， 每天可多卖出5件.若降价x元，每天将盈利1120元，则可列方程为() A.(80-x)30+x)=1120 B.(80-x)(30+5x)=1120 C.(80-50-x)(30+x)=1120 D.(80-50-x)(30+5x)=1120 10.若关于x的一元二次方程ax2一bx=c(ac≠0)的一个实数根为2025，则方程cx2+bx=a(ac≠0)一定 有实数根() A.1 B C.-2025 D.2025 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a=一 12.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人 13.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m,宽15m,在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的 面积为224m2,则图中x的值为· 18m 15m 14.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润 6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若要使一天的总利润为1120元，则该产 品的质量档次为一· 15.在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c(b,c是常数)配成2(x-m)2一 3(m是常数)的形式，则b+c的最小值是· 三、计算题：本大题共1小题，共16分。 16.解方程： (1)3x2+6x-1=0.(2)2x2+10x+4=0;(3)4x2-7x+2=0.(4)-2x2+4x+1=0. 第2页，共6页 四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x子+x2-x1x2=9,求m的值. 18.(本小题8分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 求代数式y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=y+2)2+4. y+2)2≥0，·(y+2)2+4≥4.y2+4y+8的最小值是4. (1求代数式m2+m+1的最小值： (2)求代数式4-x2+2x的最大值. 19.(本小题8分)某大樱桃采摘园收费信息如表： 成人票 儿童票 大樱桃价格 不超过10人 超过10人 每增加1人，人均票价下降1元，但 15元/人 20元/斤 20元/人 不低于儿童票价. 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买， (1)周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃， 则该团需支付的总费用元. (2)某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少 人？ 第3页，共6页 20.(本小题8分)根据以下素材，探索完成任务 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术. 素材1 某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥 塑1440件. 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量 素材2 m(件)与每件售价n(元)之间符合一次函数关系m=-10m+800. 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率. 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价 任务2 应定为多少元/件？ 21.(本小题8分)正月十五是中华民族传统的节日一一元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的 习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤 圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其 中一种) (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把这21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手工 汤圆的成本为13元，当售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆 店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的 价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 22.(本小题9分)【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程很多同学解不出来. ①(50-2x)(40-2x)=936;②50-x)(40-2x)=702. (1)【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程. 如解方程x(x+4)=6. 解：原方程可变形，得 [(x+2)-2][(x+2)+2]=6, 第4页，共6页 (x+2)2-22=6, (x+2)2=6+22, (x+2)2=10, 直接开平方可得 x1=-2+V10,x2=-2-V10 我们称这种解法为“平均数法”· 下面是用“平均数法”解方程(x+2)(x+6)=5时写的解题过程. 解：原方程可变形，得 [(x+)-o][(x+)+o]=5, (x+)2-02=5, (x+)2=5+o2 直接开平方并整理，得x1=,X2=⑧ 上述过程中的“。”“。”“☆”“⑧”表示的数分别为一，一， (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：(x+3)(x-1)=5. (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： ①(50-2x)(40-2x)=936: ②(50-x)(40-2x)=702. 第5页，共6页 23.(本小题10分)【示范操作】方法1：用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0,变形为x(x+2)=24, 将配方的过程转化为图形的“割”“拼”“补”，如图1. 24 x+2 x+1 图1 得(x+1)2=24+12 方法2：古代数学家赵爽著勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个 长为x+2,宽为x,面积为24的长方形，拼成如图2的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的 面积加中空的小正方形面积，得(x+x+2)2=4×24+22. x+2 24 +2 24 24 x+2 图2 图3 (1)【模仿实践】仿方法2配方解x2+5x一14=0，先变形为，如图3，每个小长方形的长为 宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为一，解为一· (2)【深入探究】仿方法2配方解2x2+5x=3,自己画图分析，写出解题过程. (3)【总结提升】小敏同学质疑方法2的局限性：x2+5x+3=0,变形为x(x+5)=一3，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法2中的拼图就是(a+b)2=4ab+(a-b)2模型，于是有了方法3.设x=a,x+5=b, 则有)35则a+6驴=4×(-3)+(-5，c+x+5驴=13，配方成项，从敬到形，又从形园归到 数.请你用小聪的方法3配方解x2-7x+2=0,写出解题过程、 第6页，共6页